Тема_3_Элементы_векторной_алгебры_1

1. Тема 3. Элементы векторной алгебры

Альметьевский государственный технологический
университет «Высшая школа нефти»
Тема 3. Элементы векторной
алгебры

2. Вектор

Вектором называется последовательность
чисел, взятых в определённом порядке.
На плоскости вектор обозначается
направленным отрезком.
Обозначение: a, a⃗, AB⃗
a⃗

3. Коллинеарные и нулевой векторы

Векторы называются коллинеарными, если
они принадлежат одной прямой или
параллельным прямым.
a⃗
Вектор называется нулевым, если его
начальная и конечная точки совпадают.
Нулевой вектор не имеет определённого
направления.
b⃗
c⃗
a, b, c коллинеарны

4. Равные векторы

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют
одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление, то есть
a⃗ = b⃗
то есть |a⃗| = |b⃗| и a⃗ ↑↑ b⃗
Векторы, для которых важна точка приложения, называются
присоединёнными (связанными) и используются в некоторых разделах
физики.

5. Линейные операции над векторами

6. Сумма векторов. Правило треугольника

B
b⃗
Суммой a + b векторов a и b называется
вектор, идущий из начала вектора a в конец
вектора b, совпадающего с концом вектора a.
C
a⃗
a⃗ + b⃗
a⃗ + b⃗
A

7. Свойство 1. Переместительное

b⃗
B
a⃗ + b⃗ = b⃗ + a⃗
C
Приложим векторы a и b к общему началу и рассмотрим
параллелограмм ABCD.
a⃗
из ΔABC: AC⃗ = AB⃗ + BC⃗ = a⃗ + b⃗
a⃗
a⃗ + b⃗
из ΔADC: AC⃗ = AD⃗ + DC⃗ = b⃗ + a⃗
A
b⃗
D

8. Сложение векторов: правило параллелограмма

B
Сумма векторов a и b есть диагональ
параллелограмма, построенного на них как на
сторонах, выходящая из общего начала.
AC⃗ = a⃗ + b⃗
C
a⃗
A
a⃗ + b⃗
b⃗
D

9. Свойство 2. Сочетательное

B
(a⃗ + b⃗) + c⃗ = a⃗ + (b⃗ + c⃗)
b⃗
C
Доказательство
(a⃗ + b⃗) + c⃗ = (AB⃗ + BC⃗) + CD⃗ = AC⃗ + CD⃗ = AD⃗
a⃗
c⃗
a⃗ + (b⃗ + c⃗) = AB⃗ + (BC⃗ + CD⃗) = AB⃗ + BD⃗ = AD⃗
D
A
AD⃗

10. Свойство 3. Нулевой вектор

Для любого вектора a существует нулевой вектор 0 такой, что a + 0 = a.
Пусть дан ненулевой вектор a и нулевой вектор CC. Складывая по правилу
треугольника произвольный вектор a с нулевым вектором, получаем, что
a⃗ + CC⃗ = a⃗ + 0 = a⃗
так как длина нулевого вектора равна 0.

11. Свойство 4. Противоположный вектор

Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор (−a) такой,
что
a⃗ + (− a⃗) = 0
Достаточно определить (−a) как вектор, коллинеарный вектору a, имеющий
одинаковую с ним длину и противоположное направление.

12. Свойство 5. Разность векторов

Разностью a − b векторов a и b называется такой
вектор c, который в сумме с вектором b даёт
вектор a.
Чтобы найти разность векторов, их следует
привести к общему началу и из конца
вычитаемого вектора b в конец уменьшаемого
провести вектор. Это и есть вектор разности.
a⃗ − b⃗
a⃗
b⃗

13. Умножение вектора на число

Произведением вектора a на число k называется вектор b, коллинеарный
вектору a, имеющий модуль, равный |k|·|a|, и направление, совпадающее с
направлением a при k > 0 и противоположное a при k < 0.
Свойства умножения вектора на число
1) k(a⃗ + b⃗) = ka⃗ + kb⃗
2) (k + m)a⃗ = ka⃗ + ma⃗
3) k(ma⃗) = (km)a⃗
Следствие: если ненулевые векторы a и b коллинеарны, то существует такое
число k, что
b⃗ = ka⃗

14. Базис и координаты вектора

15. Линейная комбинация. Линейная зависимость

Линейной комбинацией векторов a1, a2, …, an называется выражение вида
k1a1 + k2a2 + … + knan , где ki — const
Векторы a1, a2, …, an называются линейно зависимыми, если найдутся такие
числа k1, k2, …, kn, не все равные нулю, что соответствующая линейная
комбинация векторов равна нулю, то есть
k1a1 + k2a2 + … + knan = 0
Если же равенство возможно только при всех ki = 0, векторы называются
линейно независимыми.

16. Свойства линейной зависимости

Если система векторов содержит нулевой вектор, то она линейно зависима.
Если среди n векторов какие-либо (n − 1) линейно зависимы, то и все n
векторов линейно зависимы.
Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух
векторов является их коллинеарность.
Векторы называются компланарными, если они лежат либо в одной
плоскости, либо в параллельных плоскостях.
Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трёх
векторов является их компланарность.
Любые 4 вектора в трёхмерном пространстве линейно зависимы.

17. Базис

Два линейно независимых вектора на плоскости (или три линейно
независимых вектора в пространстве) образуют базис, если любой
вектор плоскости (пространства) может быть представлен в виде их
линейной комбинации.
Числовые коэффициенты этой линейной комбинации называются
координатами данного вектора в рассматриваемом базисе.
если a⃗, b⃗, c⃗ — базис и d⃗ = ka⃗ + mb⃗ + pc⃗ ,
то числа k, m, p есть координаты вектора d⃗ в базисе a⃗, b⃗, c⃗

18. Свойства базиса

Любые 2 неколлинеарных вектора образуют базис на плоскости, а любые 3
некомпланарных вектора — базис в пространстве.
Разложение данного вектора по данному базису единственно, то есть его
координаты в данном базисе определяются единственным образом.
При сложении двух векторов их координаты относительно любого базиса
складываются.
При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это
число.

19. Проекция вектора на ось

Проекцией вектора AB на ось u называется
длина направленного отрезка A’B’ оси u, где
A’ и B’ — основания перпендикуляров,
опущенных из точек A и B на ось u.
B
AB⃗
A
Обозначение: прu a⃗
A’
B’
u

20. Свойства проекции

1) прu a⃗ = |a⃗| cos φ , где φ — угол между a⃗ и осью u
2) При сложении двух векторов их проекции на любую ось складываются.
3) При умножении вектора на число его проекция умножается на
это число.
Свойства 2 и 3 — линейные свойства проекции.

21. Декартова система координат

Рассмотрим декартову систему координат, базис которой образуют в
пространстве три попарно ортогональных единичных вектора i, j, k.
Тогда любой вектор d может быть представлен в виде их линейной
комбинации:
d⃗ = Xi⃗ + Yj⃗ + Zk⃗
Числа X, Y, Z называются декартовыми координатами вектора.
Декартовы координаты вектора равны его проекциям на оси Ox, Oy, Oz
декартовой системы координат.

22. Направляющие косинусы

Косинусы углов, образованных вектором с осями декартовой системы
координат, называются его направляющими косинусами.
Свойства направляющих косинусов
1) X = |d⃗| cos α , Y = |d⃗| cos β , Z = |d⃗| cos γ
2) cos α = X / √(X2 + Y2 + Z2)
cos β = Y / √(X2 + Y2 + Z2) , cos γ = Z / √(X2 + Y2 + Z2)

23. Скалярное произведение векторов

24. Скалярное произведение

Скалярным произведением векторов a и b
называется число, равное произведению длин
векторов на косинус угла между векторами.
Пусть a и b имеют общее начало, тогда:
a⃗
a⃗ · b⃗ = |a⃗| · |b⃗| · cos φ
φ
b⃗

25. Свойства 1 и 2. Связь с проекцией

1) a⃗ · b⃗ = b⃗ · a⃗
(переместительное)
2) a⃗ · b⃗ = |a⃗| · прa⃗ b⃗
Применим теорему об алгебраической проекции вектора:
a⃗ · b⃗ = |a⃗||b⃗| cos α = |a⃗| · прa⃗ b⃗
Из свойства 2 следует формула:
прa⃗ b⃗ = (a⃗ · b⃗) / |a⃗|

26. Свойства 3 и 4

3) Скалярное произведение вектора на орт другого равно проекции первого
вектора на направление второго.
a⃗ · b⃗0 = |a⃗| · |b⃗0| · cos α =
= |a⃗| · cos α = прb⃗ a⃗
4) Распределительное свойство:
a⃗ (b⃗ + c⃗) = a⃗b⃗ + a⃗c⃗

27. Свойства 5, 6 и 7

5) Постоянный множитель выносится за знак произведения:
(λa⃗) · b⃗ = λ(a⃗b⃗)
6) Скалярный квадрат вектора:
(a⃗)2 = |a⃗|2 ,
(a⃗)2 = |a⃗||a⃗| cos 0° = |a⃗|2
7) Условие ортогональности:
если a⃗ ≠ 0, b⃗ ≠ 0, то a⃗ ⊥ b⃗ , если a⃗ · b⃗ = 0

28. Основные приложения скалярного произведения

1) Угол между векторами:
cos φ = (a⃗ · b⃗) / (|a⃗| · |b⃗|)
2) Проекция вектора на направление другого:
прb⃗ a⃗ = (a⃗ · b⃗) / |b⃗|
3) Работа силы F равна скалярному произведению вектора силы и вектора
перемещения:
A = F⃗ · S⃗
Под действием силы F точка A перемещается в положение точки B, тогда
AB⃗ = S⃗.

29. Скалярное произведение в координатной форме

a⃗ = a1i⃗ + a2j⃗ + a3k⃗ ,
b⃗ = b1i⃗ + b2j⃗ + b3k⃗
a⃗ · b⃗ = (a1i⃗ + a2j⃗ + a3k⃗) · (b1i⃗ + b2j⃗ + b3k⃗) =
= a1b1i⃗2 + a1b2 i⃗ · j⃗ + a1b3 i⃗ · k⃗ + a2b1 j⃗ · i⃗ + a2b2 j⃗2 +
+ a2b3 j⃗ · k⃗ + a3b1 k⃗ · i⃗ + a3b2 k⃗ · j⃗ + a3b3k⃗2 =
= a1b1 + a2b2 + a3b3

30. Пример

a = {1; −5; 12}, b = {1; 5; 2}. Проверить на ортогональность.
Решение
a⃗ · b⃗ = 1·1 + (−5)·5 + 12·2 = 1 − 25 + 24 = 0
значит, a⃗ и b⃗ ортогональны

31. Векторное произведение векторов

32. Правая и левая тройка векторов

Векторы a, b, c образуют правую
тройку векторов, если с конца
третьего вектора кратчайший
поворот от первого ко второму
производится против часовой
стрелки.
c⃗
b⃗
b⃗
a⃗
a⃗
c⃗
правая тройка
левая тройка

33. Векторное произведение

Пусть a не коллинеарен b. Векторным
произведением a и b называется вектор c,
обозначаемый
c⃗ = a⃗ × b⃗
c⃗ = a⃗ × b⃗ или c⃗ = [a⃗ · b⃗]
удовлетворяющий условиям:
1) c⃗ ⊥ a⃗ , c⃗ ⊥ b⃗
b⃗
2) |c⃗| = |a⃗||b⃗| sin φ
3) a⃗, b⃗, c⃗ — правая тройка
a⃗

34. Свойства векторного произведения

1) a⃗ × b⃗ = −b⃗ × a⃗
(антикоммутативное)
2) (λa⃗) × b⃗ = λ(a⃗ × b⃗)
(сочетательное)
3) a⃗ × (b⃗ + c⃗) = a⃗ × b⃗ + a⃗ × c⃗
4) a⃗ × a⃗ = 0
(распределительное)
(sin φ = 0)
5) Векторное произведение коллинеарных векторов равно 0.

35. Векторное произведение в координатной форме

Если направление кратчайшего поворота
от первого множителя до второго
множителя совпадает с направлением
стрелки, то векторное произведение
равно третьему вектору, в противном
случае — противоположному третьего
вектора.
a⃗ = a1·i⃗ + a2·j⃗ + a3·k⃗
×
i⃗
j⃗
k⃗
i⃗
0
k⃗
−j⃗
j⃗
−k⃗
0
i⃗
k⃗
j⃗
−i⃗
0
b⃗ = b1·i⃗ + b2·j⃗ + b3·k⃗
i⃗
k⃗
j⃗