809318bc729248cbb78d1fecb1e437fc

1. Стереометрия

Векторно- координатный
метод в решении задач

2.

Угол между прямыми
р - направляющий вектор прямой а
а
b
р
q - направляющий вектор прямой b
- угол между прямыми
q
p x1 ; y1 ; z1
р
q
cos =
q x2 ; y2 ; z2
| x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2 |
x +y +z x +y +z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2

3.

Задача 1. В единичном кубе A...D1 найдите угол
между прямыми AE и BF, где Е – середина
ребра А1В1 , а F – середина ребра B1С1

4.

z
D1
А1
С1
Е
B1 F
D
А
x
С
y
B

5.

Задача 2. Точка К – середина ребра АА1 единичного куба
АВСDA1B1C1D1. Найдите угол между прямыми А1В и СК.
BA1{0;−1;1};
z
D1
1
(1;0;1)
А1?
1
x1 x2 + y1 y2 + z1 z2
KC{−1;1; − } cos =
2
x12 + y12 + z12 x22 + y22 + z22
С1
В1
cos =
1
0 (− 1) + (− 1) 1 + 1 −
2
1
2
2
2
2
2
0 + (− 1) + 1 (− 1) + 1 + −
2
1
(1;0; 2 )
К?
С(?0;1;0)
D
cos =
1
х
А
1
1
?
В(1;1;0)
cos =
−1
1
2
=
3
2
1
9
2 2
2
4
4
2
2
=
3
2
2
= 450
3
2
2

6.

Задача 3 В правильной треугольной призме ABCA1B1C1
все ребра которой равны 1, найдите косинус угла
между прямыми AD и CE, где D и E - соответственно
середины реберA1C1 иB1C1
D
С1
Решение.
E
B1
А1
С
А
B

7.

Задача 4. В правильной шестиугольной призме A...F1
все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между
прямыми AB1 и BD1
Решение.
F1
D1
E1
B1
А1
E
D
F
А
С1
B
С

8.

Задача 5. В правильной четырехугольной пирамиде
SABCD, все ребра которой равны 1, отмечены точки Е и
F – середины сторон SB и SC соответственно. Найдите
угол между прямыми AE и BF.
Решение.
S
F
E
D
С
О
А
В

9.

Угол между прямой и плоскостью
р х1; у1; z1 - направляющий вектор прямой
n x2 ; у2 ; z2 - нормальный вектор плоскости
а
n ⊥
n
р
sin =
| x1 x2 + y1 y2 + z1 z 2 |
x +y +z x +y +z
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2

10.

Задача 6. Дан прямоугольный параллелепипед
АВСDA1B1C1D1
(АВ = AD = 2, АА1 = 1). Найти угол между прямой АС1 и
плоскостью
АВ1С.
z
B1
C1
D1
A1
C
B
у
D
х
A

11.

Задача 7. В правильной четырехугольной пирамиде
SABCD , все ребра которой равны 1, найдите угол
между прямой DE, где Е- середина апофемы SF грани
ASB и плоскостью ASC
Решение.
z
S(0;0;
2
)
2
1
4
Е(0; ;
С
1
F(0; ;0)
2
О
1
2
1
2
D( ;− ;0)
x
2
) 1 1
4 В(− ; ;0)
2 2
А
y

12.

Уравнение плоскости, проходящей через
данную точку перпендикулярно данному
вектору
n{a; b; c}
А( x0 ; у0 ; z0 )
В ( x; y; z )
n ⊥
n{a; b; c}-нормальный
вектор плоскости
А( x0 ; у0 ; z0 )
В( x; y; z )
АB x − x0 ; y − y0 ; z − z0
n АB = 0
a( x − x0 ) + b( y − y 0 ) + c( z − z0 ) = 0
ax + by + cz + d = 0
, где d = −(ax0 + by0 + cz0 )

13.

Уравнение плоскости
a( x − x0 ) + b( y − y 0 ) + c( z − z0 ) = 0
ax + by + cz + d = 0 , где d = −(ax0 + by0 + cz0 )
Если плоскость проходит через начало координат, то d=0
z
С
Если плоскость пересекает оси
координат в точках А, В, С, то
В
x
А
y
x y z
+ + =1
A B C
уравнение плоскости в отрезках

14.

Задача 8. Составить уравнение плоскости,
проходящей через точки А(-2;3;5), В(4;-3;0), С(0;6;-5)
и найти координаты вектора нормали.
ax + by + cz + d = 0
− 2a + 3b + 5c + d = 0
4a − 3b + d = 0
6b − 5c + d = 0
d = 5c − 6b
− 2a − 3b + 10c = 0
4a − 9b + 5c = 0
Решение.
5
5
a = c, b = c, d = −5c
2
3
5
5
cx + cy + cz − 5c = 0
2
3
15 x + 10 y + 6 z − 30 = 0
n{15;10;6}

15.

Расстояние от точки до плоскости
M ( x0 ; у0 ; z0 )
n{a; b; c}
(M , ) =
| ax0 + by0 + cz0 + d |
a +b +c
2
2
2

16.

Расстояние между
параллельными плоскостями
ax + by + cz + d1 = 0
ax + by + cz + d2 = 0
( , ) =
| d 2 − d1 |
a +b +c
2
2
2

17.

Задача 9. В правильной четырехугольной пирамиде
SABCD, все ребра которой равны 1, найдите расстояние
от середины ребра ВС до плоскости SCD
Решение.
z
S
y
y
А
D
В
M
С
x
А
О
2
D (0;
;0)
2
2
2
С(
;0;0)
В (0;−
;0)
2
2
2
2
М(
;−
;0)
4
4
x

18.

z
Решение.
2
S (0;0;
)
2
(M , ) =
y
2
D (0;
;0)
2
А
В
2
С(
;0;0)
2
2
2
M(
;−
;0)
x
4
4
| ax0 + by0 + cz0 + d |
a2 + b2 + c2
x
y
z
+
+
=1
2
2
2
2
2
2
2x + 2 y + 2z −1 = 0
2
2
+ 2 0 −1|
| 2
+ 2 −
4
4
1
( M , SCD) =
=
2
2
2
6
2 + 2 + 2

19.

Угол между плоскостями
: a1x + b1 y + c1z + d1 = 0
Вектор нормали плоскости : n1{a1 ; b1 ; c1}
: a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
Вектор нормали плоскости : n2 {a2 ; b2 ; c2 }
cos =
| a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 |
2
2
2
2
2
a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2
2

20.

Угол между плоскостями равен углу между
перпендикулярами к этим плоскостям.
a1 x + b1 y + c1 z + d1 = 0 − уравнение плоскости
a2 x + b2 y + c2 z + d 2 = 0 − уравнение плоскости
n
m a1 ; b1 ; c1 ⊥
m
n a2 ; b2 ; c2 ⊥
( )
cos m;n =
a1a2 + b1b2 + c1c2
a +b +c
2
1
2
1
2
1
a +b +c
2
2
2
2
2
2

21.

Задача 10. В единичном кубеA...D1
найдите угол
между плоскостями AD1 E и D1FC , где Е – середина
ребра А1В1 , а F – середина ребра B1С1
Решение.
z
Е
А1
B1
A(0;0;0)
С1
D
x
B
А
С
D1 (1;0;1)
ax + by + cz + d = 0
F
D1
1
Е (0; ;1)
2
y
d = 0
a + c + d = 0
1
b+c+d =0
2
Уравнение плоскости AD1E :
Вектор нормали плоскости AD1E :
с = −а
b = 2a
ax + 2ay − az = 0
x + 2y − z = 0
n1{1;2;−1}

22.

z
Е
А1
D1 (1;0;1)
B1
С1
D
x
B
А
С (1;1;0)
ax + by + cz + d = 0
F
D1
1
F ( ;1;1)
2
а + с + d = 0
1
a+b+c+d = 0
2
a + b + d = 0
y
С
a = 2c
b=c
d = −3c
2cx + cy + cz − 3c = 0
Уравнение плоскости
D1FC : 2 x + y + z − 3 = 0
Вектор нормали плоскости
D1FC : n2 {2;1;1}

23.

cos =
| a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 |
2
2
2
2
2
a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2
n1{1;2;−1}
2
n2 {2;1;1}
| 1 2 + 2 1 − 1 1 |
1
cos =
=
12 + 2 2 + (−1) 2 2 2 + 12 + 12 2
=
3

24. Задача 11. В единичном кубе найдите угол между плоскостями (АСD1) и (ВDC1).

A (1; 0; 0) D1 (0; 0; 1)
C (0; 1; 0)
z
D (0; 0; 0) C1 (0; 1; 1)
B (1; 1; 0)
у
х
Запишем уравнения
плоскостей (АСD1) и
(BDC1):

25.

A (1; 0; 0)
ax + by + cz + d = 0
a + d = 0
b + d = 0
c + d = 0
a = −d
b = −d
c = − d
−dx − dy − dz + d = 0
d = 0
a + b + d = 0
b + c + d = 0
d = 0
a = −b
c = −b
−bx + by − bz = 0
C (0; 1; 0)
D1 (0; 0; 1)
D (0; 0; 0)
B (1; 1; 0)
C1 (0; 1; 1)
cos m;n =
( )
m 1;1;1 ⊥ ( ACD1 )
x− y+z =0
n 1; −1;1 ⊥ ( DBC1 )
1 1 − 1 1 + 1 1
1 + 1 + 1 1 + ( −1) + 1
2
1
m; n = arccos
3
( )
x + y + z −1 = 0
2
2
2
2
1
Ответ: arccos
3
2
1
=
3

26. Задача 12. В правильной треугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол между плоскостями (АВС1) и (А1В1С).

z
С1
В1
А1
С
А
х
В
3
1
A ;0;0 B 0;
;0
2
2
1
C1 − ;0;1
2
3
1
A1 ;0;1
B1 0;
;1
2
2
1
C − ;0;0
2
Запишем уравнения
плоскостей (АBС1) и
у (A1B1C):

27.

1
A ;0;0
2
ax + by + cz + d = 0
1
2
a
+
d
=
0
−
2
dx
−
dy − 2dz + d = 0
2
a = −2d
3
3 3
2
2
B 0;
;0 b + d = 0
b
=
−
d
2
x
+
y + 2z −1 = 0
2
2
3
3
2
1
− 1 a + c + d = 0 c = −2d
C1 − ;0;1 2
m 2;
; 2 ⊥ ( ABC1 )
2
3
1
A1 ;0;1
2
3
B1 0;
;1
2
1
C − ;0;0
2
1
2 a + c + d = 0 a = 2d
2
3
d
b + c + d = 0 b =
3
2
c = −2d
1
− 2 a + d = 0
2
2dx +
dy − 2dz + d = 0
3
2
2x +
y − 2z +1 = 0
3
2
n 2;
; −2 ⊥ ( A1 B1C )
3

28.

2
m 2;
; 2
3
cos m;n =
( )
2
n 2;
; −2
3
2 2
2 2 +
− 2 2
3 3
1
=
2
2
2
2
2
2
2
2
7
2 +
+2 2 +
+ ( −2 )
3
3
1
m; n = arccos
7
( )
1
Ответ: arccos
7

29. Задача 13. В правильной шестиугольной призме ребро основания равно 1, а боковое ребро – 2. Найдите угол между плоскостями

(ВА1D1) и
(АА1Е1).
1 3
z
1 3
B ;
;0
2 2
1 3
A1 − ;
; 2
2 2
A − ;
;0
2 2
1
3
E − ; −
; 0
2
2
C (1; 0;0)
х
у
Запишем уравнения
плоскостей (А1BC) и
(AA1E):

30.

ax + by + cz + d = 0
1 3
B ;
;0
2 2
1 3
A1 − ;
; 2
2 2
C (1; 0;0)
1
3
b+d =0
a+
2
2
1
3
−
a
+
b + 2c + d = 0
2
2
a + d = 0
1
1
−dx −
dy − dz + d = 0
2
3
1
1
x+
y + z −1 = 0
2
3
a = −d
1
b
=
−
d
3
1
c
=
−
d
2
1 1
m 1;
; ⊥ ( A1 BC )
3 2

31.

1 3
A − ;
;0
2 2
1 3
A1 − ;
; 2
2 2
1
3
E − ; −
; 0
2
2
ax + by + cz + d = 0
1
3
b+d =0
− a +
2
2
1
3
b + 2c + d = 0
− a +
2
2
1
3
b+d =0
− a −
2
2
2dx + 0 y + 0 z + d = 0
2x + 0 y + 0 z +1 = 0
n 2; 0; 0 ⊥ ( A1 AE )
a = 2d
b = 0
c = 0

32.

n 2; 0; 0
1 1
m 1;
;
3 2
cos m;n =
( )
1
1
1 2 +
0 + 0
2
3
2
2
1 1
2
2
2
12 +
+
2
+
0
+
0
2
3
12
=
19
12
m; n = arccos
19
( )
12
Ответ: arccos
19

33.

Задача 14. В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1
стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1
отмечена точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 3 : 2. Найдите угол между
плоскостями АВС и ВЕD1.
D1
FPC – линейный
C1
A1
угол
двугранного угла
FBOC
3
B1
2
F
5E
2
3
2
А
O
C
D
2
В
P

34.

В правильной четырехугольной призме АВСDA1B1C1D1 стороны
основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена
точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 3 : 2. Найдите угол между плоскостями АВС и
ВЕD1.
2 способ.
: a x +b y +c z +d = 0
1
1
1
1
Вектор нормали плоскости
D1
z
C1
2
F
2
2
n ⊥ ( BED1 )
2
А
x
2
В
y
cos =
2
a1 + b1 + c1
2a+3c+d=0
5c+d=0
2a+2b+d=0
E
5
2
1
1
; b2 ; c2 }
| a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 |
E(2;0;3), B(2;2;0),
D
1
2
B1
3
1
: a2 x + b2 y + c2 z + d2 = 0
Вектор нормали плоскости : n {a
cos =
A1
: n {a ; b ; c }
2
2
a2 + b2 + c2
DD1 {0; 0;5},
D1 (0;0;5).
a=c
d=-5c
b=1,5c
2
2x+3y+2z-10=0
n {2;3;2}
0 2 + 0 3+ 5 2
0 2 + 0 2 + 5 2 2 2 + 32 + 2 2
=
2
17