ММ Лекция 1 (1) (1)

1. НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

АВТОР
Понетаева Наталия Христофоровна
nponetaeva@gmail.com
https://elearn.urfu.ru/course/view.php?id=1411
https://opened.ru/course/urfu/GEOM/?session=fall_2016

2. Лекция 1

• Введение
• Метод проецирования. Виды проецирования
• Инвариантные свойства параллельного
проецирования
• Ортогональные проекции точки на три взаимно
перпендикулярные плоскости
• Плоская модель пространства
Понетаева Н.Х.2026/2027

3.

• Начертательная геометрия – одна из
фундаментальных наук, которые
составляют основу инженерного
образования
• Начертательная геометрия формирует
умение выражать инженерную мысль
посредством чертежей, схем и других
конструкторских документов
Понетаева Н.Х.2026/2027

4.

• Изучает
методы
изображения
пространственных
геометрических
фигур на плоскости (методы построения
чертежей)
• Изучает способы решения метрических
и позиционных задач в пространстве по
этим изображениям (методы чтения
чертежей)
Понетаева Н.Х.2026/2027

5.

Начертательная геометрия как наука
была создана в конце 18 века
французским геометром и инженером
ГАСПАРОМ МОНЖЕМ (1746 – 1818)
Понетаева Н.Х.2026/2027

6. Метод проецирования

• Изображение на плоскости проекций
получается при пересечении
проецирующих лучей S с плоскостью
Понетаева Н.Х.2026/2027

7.

Проецирование
Центральное
Параллельное
Косоугольное
S не ⊥ П
Понетаева Н.Х.2026/2027
Ортогональное
(прямоугольное)
S⊥П

8. Центральное проецирование

• Проецирующие лучи проводятся из одной
точки – центра проецирования
• Заданы: плоскость проекций П1 и центр
проецирования S
Понетаева Н.Х.2026/2027

9.

П1 – плоскость проекций
S – центр проецирования
A, B,C, D – точки пространства
D П1
A1, B1, C1, D1 – проекции точек
A, B,C, D на плоскость П1
Понетаева Н.Х.2026/2027

10. Параллельное проецирование

• S→ ∞
• Проецирующие
лучи
параллельны
направлению проецирования
• Заданы: плоскость проекций П1 и
направление проецирования S
Понетаева Н.Х.2026/2027

11.

П1 – плоскость проекций
S – направление проецирования
A, B,C, D, E – точки пространства
D П1
A1, B1, C1, D1, E1 – проекции точек
A, B,C, D на плоскость П1
Понетаева Н.Х.2026/2027

12. Выводы

• Каждой точке пространства соответствует
одна
единственная
проекция
при
заданных S и П1
• Одна проекция точки не определяет
положения точки в пространстве
Понетаева Н.Х.2026/2027

13. Инвариантные (неизменные) свойства параллельного проецирования

• При параллельном проецировании
метрические характеристики
геометрических объектов искажаются
В общем случае происходит искажение
линейных и угловых размеров
Понетаева Н.Х.2026/2027

14. Инвариантные свойства параллельного проецирования

1. Проекция точки есть точка
A → A1
Понетаева Н.Х.2026/2027

15. Инвариантные свойства параллельного проецирования

2. Проекция прямой есть прямая, за
исключением прямой, направление
которой совпадает с направлением
проецирования
Понетаева Н.Х.2026/2027

16. Инвариантные свойства параллельного проецирования

3. Если точка принадлежит прямой, то и
проекция этой точки принадлежит
проекции прямой
A ∊ m ⇨ A1 ∊ m1
Понетаева Н.Х.2026/2027

17.

Понетаева Н.Х.2026/2027

18. Инвариантные свойства параллельного проецирования

4. Если точка делит отрезок в каком-либо
отношении, то и проекция этой точки
делит в таком же отношении проекцию
этого отрезка
Понетаева Н.Х.2026/2027

19. Инвариантные свойства параллельного проецирования

5. Проекции отрезков параллельных
прямых параллельны
Понетаева Н.Х.2026/2027

20.

AB || СD ⇨ A1B1 || С1D1
Понетаева Н.Х.2026/2027

21. Инвариантные свойства параллельного проецирования

6. Проекции пересекающихся прямых
пересекаются
Проекция точки пересечения прямых
есть точка пересечения проекций этих
прямых
Понетаева Н.Х.2026/2027

22.

K=AB ∩ CD ⇨ K1=A1B1 ∩ C1D1
Понетаева Н.Х.2026/2027

23. Инвариантные свойства параллельного проецирования

7. Проекции двух скрещивающихся
прямых в зависимости от направления
проецирования могут или
пересекаться, или быть параллельны
Понетаева Н.Х.2026/2027

24.

Понетаева Н.Х.2026/2027

25.

Понетаева Н.Х.2026/2027

26. Инвариантные свойства параллельного проецирования

8. При ортогональном проецировании
прямой угол проецируется без
искажений, если одна из его сторон
параллельна плоскости проекций, а
другая не перпендикулярна ей
Понетаева Н.Х.2026/2027

27.

∠ABC = 90°, AB || П1, BC не ⊥ П1
⇨∠A1B1C1=∠ABC=90°
BÂ
A
C
B1 Â1
C1
Понетаева Н.Х.2026/2027
A1

28. Инвариантные свойства параллельного проецирования

9. Плоская фигура,параллельная плоскости
проекций, проецируется на эту
плоскость без искажения
Понетаева Н.Х.2026/2027

29.

∆ ABC||П1 ⇨ ∆ A1B1C1 = |∆ ABC|
Понетаева Н.Х.2026/2027

30. Инвариантные свойства параллельного проецирования

10. При параллельном переносе
геометрической фигуры или плоскости
проекций изображение геометрической
фигуры на этой плоскости не меняется
Понетаева Н.Х.2026/2027

31. Ортогональные проекции точки на три взаимно перпендикулярные плоскости проекций

Понетаева Н.Х.2026/2027

32.

П1 ⊥ П2 ⊥ П3
OX ⊥ OY ⊥ OZ
A2AX ⊥ OX
Z
П3
П2
S ⊥ П1
А2
A1AY ⊥ OY
АZ
А3
S ⊥ П2
X
S ⊥ П3
A1AX ⊥ OX
АX
Ï 1
А
O
А1
ÀY
A3AY ⊥ OY
Y
A2AZ ⊥ OZ
A3AZ ⊥ OZ
Понетаева Н.Х.2026/2027

33.

• П1 – горизонтальная плоскость проекций
• П2 – фронтальная плоскость проекций
• П3 – профильная плоскость проекций
• А1 – горизонтальная проекция точки А
• А2 - фронтальная проекция точки А
• А3 - профильная проекция точки А
Понетаева Н.Х.2026/2027

34.

A(X, Y, Z)
• X =АА3 = А2АZ = A1AY = OAX
• Y =АА2 = А3АZ = A1AX = OAY
• Z =АА1 = А2АX = A3AY = OAZ
Понетаева Н.Х.2026/2027

35. Плоская модель пространства

Понетаева Н.Х.2026/2027

36.

• Горизонтальная плоскость проекций П1
вращается вокруг оси ОХ на 90° по
часовой стрелке
• Профильная плоскость проекций П3
вращается вокруг оси ОZ на 90°против
часовой стрелки
Понетаева Н.Х.2026/2027

37.

-Y Z
П2
П3
A3
AZ
A2
A(X, Y, Z)
Z
X
-Y
AY
X
AX
Y
A1
AY
П1
-Z
Понетаева Н.Х.2026/2027
Y
Y

38. Задача Построить ортогональные проекции точки А, удаленной от горизонтальной плоскости проекций П1 на 25 мм., от фронтальной

плоскости проекций П2 –
на 40 мм., от профильной плоскости
проекций П3 – на 30 мм
Понетаева Н.Х.2026/2027

39. Начертательная геометрия Основная литература

• Нартова Л.Г., Якунин В.И. Начертательная
геометрия. Теория и практика : учеб. для вузов-М.:
Дрофа – 2008. – 302 с. : ил.
• Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и
черчение :учеб. для студ. высш. учеб. заведений –
М.: Гуманитар. Изд. центр ВЛАДОС - 2005. – 471 с.:
ил.
• Понетаева Н.Х., Патрушева Н.В. Начертательная
геометрия в примерах и задачах.
Электронный ресурс
• https://elearn.urfu.ru/course/view.php?id=1626
Понетаева Н.Х.2026/2027

40.

6
Z
Ï 3
Ï 2
A2
2
A3
A
Ï 1
5
O
1 AX
X
3 4
Понетаева Н.Х.2026/2027
AZ
A1
7
AY
Y
8