Ортогональное проецирование. Проекции точки, прямой, плоскости

1.

П2
Начертательная геометрия и
инженерная графика
Тема 1
Ортогональное
проецирование. Проекции
точки, прямой, плоскости
X12

2. Учебные вопросы:

1. Предмет прикладная геометрия
2. Проективное пространство
3. Принцип проецирования
4. Свойства проецирования
5. Ортогональные проекции (метод Монжа)
2

3. 1. Предмет прикладная геометрия

Чертеж – это язык техники
Гаспар Монж
1. Предмет прикладная геометрия
1.1. Метод начертательной геометрии
Начертательная
геометрия – это раздел
геометрии,
в
котором
трехмерные
пространственные объекты изучаются по их
плоским изображениям – чертежам.
Чертежом называют изображение предмета,
построенное по особым правилам при помощи
чертежных инструментов или средствами
компьютерной графики, в точной зависимости
от размеров и положения в пространстве
соответствующих линий предмета.

4.

1.2. Задачи начертательной геометрии
Начертательная геометрия занимается двумя основными
вопросами:
1. Изучением методов построения изображений
трехмерных пространственных форм на плоскости.
2. Изучением пространственных форм по их плоским
изображениям.
Основные требования, предъявляемые к чертежам:
• наглядность,
• простота и точность выполнения,
• обратимость, то есть возможность решения задачи о
восстановлении формы и размеров изображаемого предмета.

5.

• Чертеж – международный язык общения
техников.
• Начертательная геометрия – грамматика
этого языка (чертежа).
• Начертательная
геометрия
изучает
методы
построения
изображений
пространственных
объектов
на
плоскости,
а
также
способы
преобразования
полученных
изображений для упрощения решения
различных инженерных задач.
5

6. Базовые геометрические элементы начертательной геометрии

7.

• Точка – абстрактное математическое
понятие. Нульмерный объект (не имеет
измерений).
• Линия – непрерывное одномерное
множество точек ( цепочка точек).
Измерение : только длина. Толщины
нет.
• Поверхность – непрерывное
двумерное множество точек. Измерения
: длина, ширина, площадь. Толщины и
объема нет.
7

8.

8

9. Проективное пространство

9

10.

b
N
E
a
В плоскости заданы две пересекающиеся
прямые a и b и точка E.
10

11.

l
3
l
D
C
E
l
2
b
2
3
3
1
1
C
N
C
1
D
2
D
a
В этой же плоскости через точку Е проведем прямые l1,l2, l3 пересекающие прямые a и
b.
в точках D1, D2, D3 и C1, C2, C3 соответственно.
В результате получаем однозначное соответствие
точек D1, D2, D3 прямой a точкам C1, C2, C3 прямой b.
11

12.

l
3
l
1
l
D
3
b
2
C
3
C
2
1
C
N
1
D
2
D
4
l
D
E
4
a
Через точку Е проведем прямую l4 параллельно прямой b.
l4 ∩ a = D4 ; l4 II b l4 ∩ b
Точке D4 прямой a нет соответствующей точки C4 прямой b.
Евклидово пространство неоднородно
12

13.

Для устранения неоднородности
Евклидова пространства
условно принято,
что параллельные между собой прямые
пересекаются
в бесконечно удаленной точке F несобственной точке пространства.
(m n) (m ∩ n = F )
13

14.

l
3
l
1
l
D
C
b
2
C
3
3
2
1
C
N
1
D
2
D
4
l
D
E
4
a
Тогда, если l4 b, то l4 ∩ b = С .
Следовательно, точке D4 прямой a однозначно
соответствует несобственная точка С прямой b.
Евклидово пространство становится
однородным.
14

15.

Евклидово пространство,
дополненное несобственными
элементами,
называют проективным.
15

16.

Виды плоскостей
16

17.

Аксонометрическая проекция - это способ изображения
объёмного предмета на плоскости (чертеже)
с помощью параллельного проецирования.
Перспективная проекция — это способ
отображения трёхмерного пространства на
двумерной плоскости (например, на листе
бумаги или экране), который имитирует то, как
наше зрение воспринимает глубину.
Ортогональные проекции
Все изображения разные, но их объединяет то, что в
основе их построения лежит один и тот же метод –
метод проецирования.
Все изображения, построенные на основе метода
проецирования, называются проекционными
17

18. Принцип проецирования

18

19.

Аппарат проецирования
Задаем произвольную плоскость Пк
Пк – плоскость проекций
k – порядковый номер плоскости, k =1, 2, 3, …, n
19

20.

Задаем произвольную точку S
S – центр проецирования
20

21.

Пк – плоскость проекций
S – центр проецирования
21

22.

В качестве объекта взята произвольная точка А
22

23.

Для получения изображения точки А на плоскости проекций
Пк проведем из центра проецирования S прямую SA.
SA – проецирующая прямая (луч)
23

24.

Определим точку пересечения проецирующей прямой SA с
выбранной плоскостью проекций Пк.
SA ∩ ПК = АК
АК – проекция точки А на плоскости проекций Пк 24

25. Метод проецирования

Пк – плоскость проекций
S – центр проецирования
SA – проецирующая
прямая
А – объект (точка)
SA ∩ ПК = АК
АК – проекция объекта (точки) А на плоскости
проекций Пк
25

26.

Для любой точки пространства
SA ∩ Пк = Aк SВ ∩ Пк = Bк SС ∩ Пк = Cк
SA ∩ SВ ∩ SС ∩ …= S
26

27. Методы проецирования

27

28.

Проецирование
Центральное
Параллельное
28

29.

Центральное проецирование
Центр проецирования
S – вектор проецирования
А – объект
А i – Проекция объекта
Пi – Плоскость проекций
Центральное проецирование — это способ построения проекций, при
котором все проецирующие лучи исходят из одной точки — центра
проецирования.
Через центр и каждую точку объекта проводят прямую (проецирующий
луч).Точка пересечения луча с плоскостью проекций даёт проекцию
соответствующей точки объекта.

30. Центральное проецирование (коническое)

S (центр проецирования)–
реальная точка.
Расстояние от S до
плоскости проекций Пк
измеримая величина.
Ак, Вк, Ск – проекции
точек на плоскости Пк
SA ∩ SB ∩ SC …= S
Точка проецируется в точку
30

31.

Центральное проецирование

32.

Параллельное
проецирование
Косоугольное
Направление проецирования
не перпендикулярно
плоскости проекций
Ортонональное
(прямоугольное)
Направление проецирования
перпендикулярно
плоскости проекций
Параллельное
проецирование
—
это
способ
построения проекций геометрических объектов, при
котором все проецирующие лучи параллельны друг
другу и направлены вдоль заданного направления
32
проецирования на плоскость проекций.

33.

Параллельное проецирование
S – направление
проецирования
k
ki
Пi
Ki– параллельная проекция прямой K на плоскости
При косоугольном проецировании все проецирующие лучи параллельны
друг другу, но они направлены к плоскости проекций под острым углом (то
есть не перпендикулярно).

34. Параллельное проецирование (цилиндрическое)

S (центр проецирования) –
несобственная точка,
проецирование по
заданному направлению S
параллельными прямыми.
S S
SA ∩ SB ∩ SC …= S
следовательно
ПК
s
AK
A
A
sB
s
BK
B
C
CK
C
s
S A S B S C … s
s – направление проецирования;
S s
S s взаимная принадлежность несобственной точки с
направлением проецирования
34

35. Параллельное проецирование

ПК
s
s
AK
A
A
B
B
sC
BK
CK
C
s
(s^Пк)= φ
φ=90º (s Пк) проецирование прямоугольное
(ортогональное)
φ=90º (s Пк) проецирование косоугольное
35

36.

Прямоугольное проецирование
S – направление
проецирования
k
90
90
ki
Пi
Кi - проекция прямой K на плоскости
Если бы лучи падают на плоскость строго под прямым углом — это
прямоугольное (ортогональное) проецирование, которое чаще используют
для рабочих чертежей.

37. Параллельный метод проецирования

Методы проецирования
Параллельный метод проецирования
Если центр проекций удалить в
бесконечность, то угол между
проецирующими лучами будет
стремиться к нулю, и
проецирующие лучи окажутся
параллельными.
1. Проекцией точки является точка
2. Проекцией прямой линии
является прямая линия, за
исключением случая, когда
прямая параллельна
направлению проецирования.
3. При параллельном
проецировании сохраняются
пропорции.
4. Если точка принадлежит какойлибо линии, то проекция этой
точки принадлежит проекции
этой линии.
Рис. 2. Параллельный метод проецирования: s – направление проецирования; [SA), [SB)
и [SC) – проецирующие лучи; A' B' и C' – параллельные проекции точек A, B и C на
плоскость П' в направлении s

38. Проецирование параллельных прямых

Методы проецирования
Проецирование параллельных прямых
Пусть a и b – параллельные прямые. На прямой a отложены отрезки
AB и BC, а на прямой b – отрезок EF = BC. На плоскость П1 они
проецируются соответственно в отрезки A1B1, B1C1, E1F1.
Поскольку AA1 || BB1 || CC1, то AB : BC = A1B1 : B1C1.

39. Свойства проецирования

39

40. Общие свойства проецирования

Точка проецируется в точку
40

41.

Линия проецируется в
линию, причём прямая
линия в общем случае
проецируется в прямую
Если точка принадлежит линии, то проекции
точки принадлежат одноименным проекциям
этой линии.
A m Ak mk
41

42.

При проецировании
сохраняется принадлежность
точки и линии
Проекция прямой, в общем случае, - прямая.
42

43.

Если прямая проходит через центр проецирования S
(или параллельна направлению проецирования s), то
ее проекция вырождается в точку.
(S m) (n II ŝ) (mk и nk - точка)
Такая прямая называется проецирующей.
43

44.

Если прямые пересекаются, то пересекаются и их проекции.
Точки пересечения прямых и их проекций лежат на одной
проецирующей прямой.
(m ∩ n =D) (mk ∩ nk =Dk S DDk )
44

45.

Если плоскость проходит через центр
проецирования (включает в себя) (S Т), то
проекция плоскости вырождается в прямую
линию (Тk – прямая).
S Т Тk – прямая
Такая плоскость называется
проецирующей
45

46.

Если плоская фигура Ф параллельна плоскости проекций
Пк, то ее проекция Фк на эту плоскость подобна самой
фигуре Ф.
Ф II Пк Фк ~ Ф
46

47. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ (МЕТОД МОНЖА)

47

48.

Ортогональные проекции — это метод отображения
трёхмерных объектов на плоскости, при котором
проецирующие лучи параллельны друг другу и
перпендикулярны плоскости проекций. Этот метод
является
частным
случаем
параллельного
проецирования.
48

49.

Эпюр Монжа (от французского épure — «чертёж») — это
способ изобразить объёмную фигуру на плоском листе
бумаги. Это плоская «развёртка» системы трёх взаимно
перпендикулярных плоскостей, на которых с помощью
ортогонального
(прямоугольного)
проецирования
показаны проекции объекта.
Метод разработал французский учёный Гаспар Монж — он
заложил основы современной начертательной геометрии.
49

50.

Метод ортогональных проекций (метод Монжа) основан на том, что
геометрическую фигуру проецируют ортогонально на две взаимно
перпендикулярные плоскости П1 и П2.
Плоскость П1 – горизонтальной плоскостью проекции,
Плоскость П2 – фронтальной плоскостью проекций.
Линия пересечения плоскостей проекций называется осью проекций х12.
Плоскости проекций делят пространство на четыре двугранных угла – четверти (I, II, III,
IV). Для получения плоского чертежа плоскость П1 совмещают с неподвижной
плоскостью П2 поворотом вокруг оси х12 так, как показано стрелками на рис. 3.1. В
50
результате передняя и задняя части плоскости П1 совмещаются соответственно с
нижней и верхней частями плоскости П2.

51.

Полученное таким образом изображение называется эпюром Монжа.
Термин «эпюр» (по-французски – чертеж) соответствует значению
«ортогональный чертеж».
Эпюр Монжа
51

52. МЕТОД  МОНЖА

МЕТОД МОНЖА

53. Ортогональные (прямоугольные) проекции точки. Проецирование точки на три плоскости проекций

Рис. Плоскости проекций: x12= П1∩ П2; y13= П1∩ П3; z23= П2∩ П3

54.

55. Ортогональные (прямоугольные) проекции точки. Проецирование точки на три плоскости проекций

Рис. Проецирование точки на три плоскости проекций

56. ТОЧКА В ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

Ортогональной проекцией точки на плоскость называется основание
перпендикуляра, опущенного из данной точки на эту плоскость.
Проекции точки всегда расположены на прямых, перпендикулярных оси x12 и
пересекающих эту ось в одной и той же точке А x.
а) модель
б) эпюр
Справедливо и обратное, т. е. Если на плоскостях проекций даны
точки А1 и А2 расположенные на прямых, пересекающих ось x12 в точке Аx под прямым
углом, то они являются проекцией некоторой точки А.

57. Точки в различных четвертях пространства

Двухкартинный комплексный чертеж
Прямые линии, соединяющие разноименные проекции точки на эпюре,
называются линиями проекционной связи.

58. ТОЧКА В ОРТОГОНАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ ТРЕХ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ.

В практике изображения различных геометрических объектов, чтобы сделать
проекционный чертеж более ясным, возникает необходимость использовать третью –
профильную плоскость проекций П3, расположенную перпендикулярно к П1 и П2. В
соответствии с ГОСТ 2.305-68 плоскости проекций П1 П2 и П3 относятся к основным
плоскостям проекций. Модель трех плоскостей проекций показана на рисунке 2.3.

59. Получение эпюра

Ок
та
нт
I
II
III
IV
V
VI
VII
VIII
x
+
+
+
+
-
-
-
-
y
+
-
-
+
+
-
-
+
z
+
+
-
-
+
+
-
-
Если точка принадлежит хотя бы
одной плоскости проекций, она
занимает частное положение
относительно плоскостей
проекций. Если точка не
принадлежит ни одной из
плоскостей проекций, она
занимает общее положение.
Плоскости проекций, попарно пересекаясь, определяют три оси 0x, 0y и 0z, которые можно
рассматривать как систему декартовых координат в пространстве с началом в точке 0. Три
плоскости проекций делят пространство на восемь трехгранных углов - октантов. Для получения
эпюра точки в системе трех плоскостей проекций плоскости П1 и П3 вращают, как показано на
рисунке 2.4, до совмещения с плоскостью П2. При обозначении осей на эпюре отрицательные
полуоси обычно не указывают.

60. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК

Можно выделить три основных варианта взаимного расположения точек:
1.Пусть точки А и В расположены в первой четверти так, что:
- YА>YВ. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П2 и ближе к наблюдателю, чем точка В
- ZА>ZВ. Тогда точка А расположена дальше от плоскости П1 и ближе к наблюдателю, чем точка В;
-XА<XВ. Тогда точка В расположена дальше от плоскости П3 и ближе к наблюдателю, чем (при взгляде слева)
точка А;
2.– YА=YВ, то точки А и В равноудалены от плоскости П2 и их горизонтальные проекции расположатся на
прямой А1В1// x12. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П2.
– ZА=ZВ, то точки А и В равноудалены от плоскости П1 и их фронтальные проекции расположатся на прямой
А2В2// x12. Геометрическим местом таких точек служит плоскость, параллельная П1.
– XА=XВ, то точки А и В равноудалены от плоскости П3 и их горизонтальные и фронтальные проекции
расположатся, соответственно, на прямых А1В1// y и А2В2//z . Геометрическим местом таких точек служит
плоскость, параллельная П3.

61. ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ТОЧЕК

3. Если у точек равны две одноименные координаты, то они называются конкурирующими. Конкурирующие
точки расположены на одной проецирующей прямой. На рисунке даны три пары таких точек, у которых:
• XA=XC;ZA=ZC;YA>YC;
• YA=YB;ZA=ZB;XA>XB;
• XА=XD;YА=YD;ZА>ZD;
Соответствующие проекции конкурирующих точек совпадают.
Различают: горизонтально-конкурирующие точки А и D, расположенные на горизонтально-проецирующей
прямой АD ; фронтально-конкурирующие точки A и C расположенные на фронтально-проецирующей
прямой AC; профильно-конкурирующие точки A и B, расположенные на профильно-проецирующей прямой AB.
При проецировании на соответствующую плоскость проекций одна точка «закроет» другую точку,
конкурирующую с ней, соответствующая проекция которой окажется невидимой.

62.

А2
А
П2
А1

63.

А2
А
П2
П1 - горизонтальная плоскость проекций;
П2 - фронтальная плоскость проекций;
П1 П 2
А1 - горизонтальная проекция точки А;
А2 - фронтальная проекция точки А;
А1

64.

А2
А
х12
П1
А1
А1
180
90
П2

65.

А2
Ортогональный чертеж точки
х12
П2
П1
А1

66.

А2
х12
П2
П1
А1
П1 - горизонтальная
плоскость проекций;
П2 - фронтальная
плоскость проекций;
П1 П2 ;
А1 - горизонтальная
проекция точки А;
А2 - фронтальная
проекция точки А;
А1 А2 - линия проекционной связи
всегда оси х12

67.

А2
А
П2
х12
А П2
Признак: А1 х12
А1

68.

А2 А
А П2
Признак:
А1 х12
х12
П2
П1
А1

69.

А2
А
А П1
Признак:
А2 х12
х12
А1

70.

А П1
Признак:
А2 х12
х12
А2
А
А1

71.

В
А2
В2
С1 2 кв.
В1
С
1 кв.
х12
3 кв.
С2
А
D1
D2
А1
4 кв.
D

72.

П2
2 кв.
1 кв.
х12
-П1
3 кв.
П1
4 кв.
-П2

73.

П2
2 кв.
-П1
1 кв.
В
В2
х12
В1
3 кв.
П1
4 кв.
-П2

74.

(-П1) П2
В1
В2
х12
В 2 кв.
Признаки: В1 и В2 лежат выше х12
(-П2)
П1

75.

П2
2 кв.
-П1
1 кв.
х12
С1
3 кв.
П1
4 кв.
С
С2
-П2

76.

(П1)
П2
С1
х12
С 3 кв.
Признаки: С1 лежит выше, а С2 - ниже х12
С2
(-П2) П1

77.

П2
2 кв.
1 кв.
х12
-П1
d1
3 кв.
П1
4 кв.
d2
-П2
D

78.

(-П1) П2
D 4х кв.
12
Признаки: D1 и D 2 лежат ниже х12
d1
d2
(-П2) П1

79.

Возьмем
произвольную
точку А и
плоскость
проекций Пк.
79
79

80.

Спроецируем точку А на плоскость проекций Пк по направлению s.
Полученная проекция Ак точки А не дает возможности точно определить
положение самой точки А в пространстве,
так как проекции Ак соответствует
.
все множество точек, принадлежащих проецирующей прямой, проходящей
через точку А
Одна проекция точки без дополнительных условий
однозначно не определяет ее
. положение в пространстве
80
80

81.

Введем пространственную
ортогональную систему
координат Оxyz с условием, что
координатная плоскость хОу
будет параллельна плоскости
проекций П1. “Привяжем” точку
А к выбранной системе
координат.
81

82.

Ортогонально
спроецируем
систему
координат
Oxyz и
связанную с
ней точку А на
плоскость
проекций П1.
82

83.

В этом случае на
проекции мы имеем
только две
координаты точки А
– xA и yA, но
отображаемые в
истинную величину.
Координата ZA,
определяющая
высоту точки А,
отсутствует.
Как было определено ранее, без дополнительных
условий изображение необратимо
83

84.

Введем вторую
плоскость проекций П2,
параллельную
координатной
плоскости xOz
Ортогонально
спроецируем точку А
совместно с системой
координат Oxyz на
плоскость проекций П2.
Как и предыдущем
случае получаем две
координаты xA и zA в
истинную величину.
Т.е. мы получили все
три координаты точки А
в истинную величину.
84
84

85.

Но координатные
плоскости xOz и xOy
взаимно перпендикулярны.
xOz xOy
Следовательно, плоскости
проекций П1 и П2 также
взаимно перпендикулярны
П 1 П2
Следовательно:
85
85

86.

Ортогональные проекции точки на
две взаимно перпендикулярные
плоскости проекций однозначно
определяют положение точки в
пространстве и делают изображения
обратимыми.
86
86

87. Ортогональная система двух плоскостей проекций

88.

П1 П2
П1 ∩ П2= (1,2)
П1 – горизонтальная плоскость проекций
П2 – фронтальная плоскость проекций
I, II, III, IV – четверти пространства
88

89.

Пространственная
система
координат
совмещается с
плоскостями
проекций так,
чтобы
xOz П2 ,
xOy П1 ,
x (1,2)
89

90.

Для получения
плоскостного
чертежа
горизонтальную
плоскость
проекций П1
поворачивают
вокруг линии
пересечения (1,2)
до совмещения с
плоскостью П2.
90

91.

Плоскости
проекций П1 и П2
совмещены в одну
общую плоскость.
91

92.

Так как плоскости проекций
бесконечны, то их границы
не оказывают.
Координатные оси y и z
также не показывают.
В дальнейшем, когда не
требуется знать положение
объекта в пространстве
относительно системы
координат Oxyz, ось х1,2
также может не изображаться. Получаем безосную
систему.
92

93. Ортогональная система трех плоскостей проекций

93

94.

Вводится третья
плоскость проекций
П3 – профильная
П3 ≡ yOz
П3 П1 и П3 П2;
П3∩П1=(1,3), (1,3) y y1,3
П3∩П2=(2,3), (2,3) z z2,3
П2∩П1=(1,2), (1,2) x x1,2
Пространство разделено на 8 частей - октантов
94

95.

Для перехода от
трехмерного изображения
к плоскостномудвумерному выполняют
следующие действия:
• Положение фронтальной
плоскости проекций П2 не
изменяют;
• горизонтальную плоскость
проекций П1 поворачивают
вокруг оси x1,2 до
совмещения с
фронтальной плоскостью
проекций П2;
• профильную плоскость
проекций П3 поворачивают
вокруг оси z2,3 также до
совмещения с
фронтальной плоскостью
проекций П2.
95

96.

Все три плоскости
проекций совмещены в
одну общую плоскость
96

97. Проецирование точки

97

98. Точка в I-ой четверти

Наглядное изображение
Плоскостное изображение -
Эпюр
98

99.

I
III
II
IV
99

100.

Горизонтальная и фронтальная проекции точки
располагаются на одной прямой, перпендикулярной
оси x1,2
А1А2 х1,2
Расстояние от оси x1,2 до горизонтальной проекции
точки определяет расстояние от самой точки до
фронтальной плоскости проекций.
(х1,2 , А1) = (А, П2) - глубина
Расстояние от оси x1,2 до фронтальной проекции
точки определяет расстояние от самой точки до
горизонтальной плоскости проекций.
(х1,2 , А2) = (А, П1) - высота
100

101. Абсолютные и относительные координаты точки

• zA, zB, zC, yA, yB, yC –
абсолютные координаты;
• z, y – относительные
координаты (приращения).
101

102. Безосный эпюр

• Точка В выше точки А;
• Точка С перед точкой А;
• Точка D ниже точки А и за
точкой А;
• Точка Е выше точки А и
перед точкой А;
• Точка F ниже точки А и
перед точкой А;
• Точка М выше точки А и
за точкой А.
102

103. Проецирование точки в системе трех ортогональных плоскостей проекций

103

104. Точка в первом октанте

Наглядное изображение
(A,П1)=(А2,х1,2)=zА
(A,П2)=(А1,х1,2)=yА
(A,П3)=(А2,z2,3)=хА
Эпюр
абсолютные координаты точки
104

105. Условия, которым должен удовлетворять эпюр точки, расположенной в любой части пространства, в системе трех ортогональных

плоскостей проекций:
• А1А2 х1,2
• А2А3 z2,3
• (A1,x1,2) = (A3,z2,3)
105

106. Переход от эпюра в начертательной геометрии к безосному чертежу

107. Прямая линия

107

108. Способы задания прямой на эпюре

В2
Способы задания прямой
на
А
эпюре х П
В
l
l2
2
2
1,2
l (A,B)
A l
B l
П1
П2
х1,2
П1
2
А2
2
l1
В1
А1
l1
В1
А1
l2
l (С,s)
C l
l ll s
х1,2
П2
П1
х1,2
П2
П1
l2
l1
s2
С2
s2
С1С2
s1
l1
С1
108
s1

109. Положение прямой относительно плоскости проекций

Прямая
общего положения
l II Пk и l Пk
Прямые частного положения
Прямая уровня
Проецирующая
прямая
l II Пk
l Пk
109

110.

ПРЯМЫЕ
ОБЩЕГО
ПОЛОЖЕНИЯ
ЧАСТНОГО
ПОЛОЖЕНИЯ
УРОВНЯ
ПРОЕЦИРУЮЩИЕ
110

111. Прямая общего положения

Это прямая не параллельная и
не перпендикулярная
ни одной
из плоскостей проекций
l II Пk и l Пk
111

112.

Прямая общего положения
l II П1 и l II П2
l П1 и l П2
l1 II x1,2 и l2 II x1,2
l1 x1,2 и l2 x1,2
112

113. Характерная особенность эпюра прямой общего положения – горизонтальная и фронтальная проекции прямой не параллельны и не

перпендикулярны
координатной оси х1,2
113

114. Прямые частного положения

Это прямые параллельные или
перпендикулярные одной из
плоскостей проекций
l II Пk l Пk
114

115. Прямая уровня

Это прямая параллельная
какой-либо одной
плоскости проекций
l II Пк
115

116. Горизонталь

Это прямая параллельная
горизонтальной плоскости
проекций
l II П1 l h
116

117. Горизонталь - h

h II П1
h2 II x1,2
AB h AB II П1 А1В1 IABI
h(AB)^П2 h1(А1В1) ^ x1,2
117

118. Фронталь

Это прямая параллельная
фронтальной плоскости
проекций
l II П2 l f
118

119. Фронталь - f

f II П2
AB f AB II П2
f(AB)^П1
f1 II x1,2
А2В2 IABI
f2(А2В2) ^ x1,2
119

120. Характерная особенность эпюра горизонтали и фронтали – одна из проекций параллельна координатной оси х1,2

120

121. Профильная прямая - p

Это прямая параллельная профильной
плоскости проекций П3
121

122. Проецирующая прямая

Прямая перпендикулярная
одной
из плоскостей проекций
m Пк
122

123. Горизонтально-проецирующая прямая

Это прямая перпендикулярная
горизонтальной плоскости
проекций
m П1
123

124. Горизонтально-проецирующая прямая

m П1 m II П2
AB m AB II П2
m1 – точка m2 x1,2
А1В1 - точка А2В2 IABI
124

125. Фронтально-проецирующая прямая

Это прямая перпендикулярная
фронтальной плоскости
проекций
m П2
125

126. Фронтально-проецирующая прямая

m П2 m II П1
AB m AB II П1
m2 – точка m1 x1,2
А2В2 - точка А1В1 IABI
126

127. Характерная особенность эпюра проецирующей прямой – одна из проекций прямой точка

127

128. Взаимное положение двух прямых

128

129. Пересекающиеся прямые

m∩n=D
mk ∩ nk= Dk
m1 ∩ n1 = D1
m2 ∩ n2 = D2
D1D2 x1,2
129

130. Параллельные прямые

m II n
mk II nk
m1 II n1
m2 II n2
130

131. Скрещивающиеся прямые

m n m II n m ∩ n
Пары точек (1-2) и (3-4) – конкурирующие точки
131

132. Взаимно перпендикулярные прямые

Если
то
m n,
m n m n,
n II Пк ,
m Пк ,
mк n к
132

133.

Пример. Заданы две взаимно перпендикулярные и пересекающиеся
прямые m и n. Прямая n параллельна горизонтальной плоскости проекций,
прямая m – прямая общего положения. Построить эпюр этих прямых.
m n m n
n II П1 n≡h и n2 II х1.2
m П1
m1 n1
133

134.

Пример. Заданы две взаимно перпендикулярные и скрещивающиеся
прямые m и n. Прямая n параллельна фронтальной плоскости проекций,
прямая m – прямая общего положения. Построить эпюр этих прямых.
m n m n
n II П2 n≡f и n1IIх12
m П2
m2 n2
134