a51b4544945544d99decc5a6e36c610d (1)

1. ПОВТОРЕНИЕ. Аксиомы и следствия.

2.

Выполните задания, используя аксиомы стереометрии и
следствия из них.
1)
Прямые a и b пересекают плоскость
α в точках A и B соответственно.
Докажите, что K - точка отрезка AB
лежит в плоскости α.
Доказательство:
1.
A ∈ α, B ∈ α ⇒ AB ⊂ α (поясните по какой аксиоме ).
2.
K ∈ AB ⇒ K ∈ α (по какой аксиоме).

3.

2)
Прямые a и b пересекаются в точке
А. Прямая с пересекает каждую из
прямых a и b, но не проходит через
точку А. Докажите, что прямые a, b
и c лежат в одной плоскости.
Доказательство:
1.
c ∩ a = B, a ⊂ α ⇒ B ∈ α (поясните).
2.
c ∩ b = C, b ⊂ α ⇒ C ∈ α (поясните).
3.
B ∈ α , C ∈ α ⇒ c ⊂ α (поясните).

4.

3)
Из точки А, не лежащей в
плоскости α, проведены лучи c и d,
пересекающие
плоскость
α
соответственно в точках C и D.
Докажите, что плоскости α и ACD
пересекаются по прямой CD.
1.
c ∩ α = C ⇒ C ∈ α,
d ∩ α = D ⇒ D ∈ α (поясните).
2.
A, C, D ∈ (ACD); C, D ∈ α ⇒
α ∩ (ACD) = CD (поясните).

5.

куб,
4)
Дано:
А)
Назовите плоскости, в которых
лежат точки M и N.
Б)
Найдите точку F – точку
пересечения прямых MN и BC.
Каким свойством обладает точка F?
В)
Найдите точку O - точку пересечения
прямой KN и плоскости(ABC).
Г) Найдите линию
пересечения
плоскостей
(MNK) и (ABC).

6.

Решение:
А)
Б)
Продолжим прямую MN за
точку N и прямую BC за точку
C.
т.к. MN ⊂ (BCC₁), BC ⊂ (ABC)
и F ∈ MN и F ∈ BC, ⇒ F ∈
(BCC₁) и F ∈ (ABC).

7.

Решение:
В)
Продолжим прямую KN за
точку K и прямую CD за точку
D.
т.к. CD ⊂ (ABC), KN ⊂ (DCC₁)
и O ∈ KN и O ∈ DC, ⇒ O ∈
(ABC).

8.

Решение:
Г)
Чтобы
найти
линию
пересечения двух плоскостей,
нужно найти две точки, которые
принадлежали бы и плоскости
(MNK), и плоскости (ABC).
1.
O ∈ CD и O ∈ NK ⇒ O ∈(ABC) и
O ∈ (MNK).
2.
F ∈ BC и F ∈ MN ⇒ F ∈ (ABC) и из п. 1, 2 ⇒ (ABC) ∩
F ∈ (MNK).
(MNK) = OF.

9.

5)
Докажите, что все вершины четырехугольника
ABCD лежат в одной плоскости, если его диагонали
AC и BD пересекаются.
1.
AC ∩ BD = O ⇒ AC ∈ α,
BD ∈ α.
2.
A ∈ AC, AC ∈ α ⇒ A ∈ α.
Другие вершины аналогично.
Вычислите площадь четырехугольника, если AC ⊥ BD,
AC = 10 см, CD = 12 см.
Ответ: 60.