10 Предел функции

1. Раздел 4 Введение в математический анализ Предел функции

Два определения предела функции в точке
Свойства пределов
Односторонние пределы
Пределы на бесконечности и бесконечные пределы

2.

x2 + x − 2
y=
x −1
(
x − 1)( x + 2 )
y=
= x + 2,
x −1
если x 1
y
3
2
1
0
1
2
x
x2 + x − 2
lim
=3
x→1
x −1
Радел 4. Введение в математический анализ. Предел функции.
2

3. Определение 1. (по Гейне)

f (x )
f ( x12 )
a
f ( x3 )
x3 x0 x2 x1
def 1
1) xn D ( f )
xn = x0
lim f ( x) = a xn : 2) lim
n →
x→ x0
3) xn x0
Ге́нрих Эдуа́рд Ге́йне
1821 – 1881
lim f ( xn ) = a
n →
Раздел 4. Введение в математический анализ. Предел функции.
3

4. Определение 2. (по Коши)

a+
a
a−
x0
x0 − ( )
x0 + ( )
Огюстен Луи Коши
1789 – 1857
Augustin Louis Cauchy
def 2
lim f ( x) = a 0 ( ) : 0 x − x0 ( ) f ( x) − a
x→ x0
Раздел 4. Введение в математический анализ. Предел функции.
4

5.

Теорема.
Определения предела по Гейне и по Коши эквивалентны.
Доказательство
1
Докажем, что из определения по Коши следует определение по Гейне, т. е.
(∗)