L_14

1. Раздел 3. Введение в анализ

Тема:
Свойства последовательности.
Функция
Лектор Имас О.Н.

2. Сходящиеся последовательности

Это уже написали
Сходящиеся последовательности
Опр. 17. Если существует конечный предел последовательности {xn},
то она называется сходящейся
1.
Свойства сходящихся последовательностей
Если {xn} сходится, то она имеет единственный предел.
пропустить 15 клеточек
2.
Если lim xn a, то xn = a + αn (αn – б.м.п)
n
3.
Если {xn} сходится, то она ограничена.
ЗАМЕЧАНИЕ: не всякая ограниченная последовательность сходится
СЛЕДСТВИЕ: Всякая неограниченная последовательность расходится
4.
Если lim xn l и xn≠0 и l ≠0, то 1 – ограниченная
n
последовательность
xn
5.
Пусть lim xn a lim yn b тогда a )lim( xn yn ) a b
n
n
n
b)lim xn yn a b
n
xn a
c)lim
n y
b
n
пропустить 20 клеточек
b 0

3.

Предельный переход в неравенствах
6.
7.
Это уже написали
Пусть lim xn a lim yn b , тогда если xn ≤ yn, то a ≤ b
n
n
«Теорема о двух полицейских»
Если ∃ N ∀n >N:
а) n xn zn yn
xn lim yn l
б) lim
n
n
zn l
то существует предел lim
n
пропустить 15 клеточек
Теорема 2 (критерий сходимости Коши)
Для того чтобы последовательность {xn} имела конечный предел,
необходимо и достаточно, чтобы
0 N m, n N | xm xn |
пропустить 10 клеточек

4.

Это уже написали
Как может себя вести последовательность?
Опр. 18. Последовательность {xn} называется
- возрастающей, если ∀n
xn < xn+1; обозначают (↑)
- неубывающей, если ∀ n xn ≤ xn+1;
(↑)
- убывающей, если ∀ n
xn > xn+1;
(↓)
- невозрастающей, если ∀ n xn xn+1;
(↓)
Опр. 18*. Возрастающая и убывающая последовательности
называются монотонными
Опр. 19. Последовательность,
члены которой неизменны для
∀ n, называется постоянной
или
стационарной
последовательностью.
{xn} = a
Оставить место для картинки

5. Предел монотонной последовательности

Это уже написали
Предел монотонной последовательности
Теорема 3 (Вейерштрасса. О существовании предела монотонной последовательности)
Если последовательность {xn} монотонно возрастает (убывает) и
ограничена сверху (снизу), то у нее существует конечный предел,
равный sup{xn} ( inf {xn} ).
пропустить 30 клеточек

6. § 3. Предел и непрерывность функций

Это новое
§ 3. Предел и непрерывность функций
Опр. 20. Пусть даны два множества X и Y. Если каждому элементу х, х∈Х по
определенному правилу (закону) f ставится в соответствие один элемент у, у∈Y то
говорят, что на множестве Х задана функция f .
Пишут:
f
X
Y
или y=f(x)
Основные элементарные функции:
Алгебраические:
y=C y=xα
Трансцендентные:
y=ax
y=logax
Тригонометрические:
y=sin x y=cos x y=tg x y=ctg x
Обратные тригонометрические:
y=arcsin x y=arccos x
y=arctg x
y=arcctg x
ТЕСТ в электронном курсе Т 3.0 ВЫПОЛНИТЬ!
Опр. 21. Функция, которая состоит из конечного числа алгебраических
операций над основными
элементарной функцией
пропустить 5 клеточек
элементарными
функциями
называется

7. Общие свойства функций

Опр. 22. Функция y=f(x) называется ограниченной, если
C R x D[ y] | f ( x) | C
Опр. 23. Функция y = f( x ) называется
а) возрастающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2
f(x1) < f(x2);
при x1< x2
b) убывающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
c) невозрастающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2
f(x1) > f(x2);
f(x1) ≥ f(x2);
d) неубывающей на (a,b), если ∀x1, x2∈(a,b)
при x1< x2
f(x1) ≤ f(x2).
Опр. 24. -окрестностью точки x0∈R называется множество точек x
из R таких, что расстояние от x до x0 не превышает .
Пишут
U( x0 , ) = {x: x∈ R, | x - x0 | < }
Опр. 25. Проколотой
множество
-окрестность
точки
x0,
называется
Ů( x0, ) = {x: x∈R, 0 < | x - x0 | < }

8.

26. Определение предела функции (на языке d) (по Коши)
В силу полноты множества R
a, b R, a b (a b) c R : a c b
lim f ( x) A
x x0
Число А называется пределом (предельным значением) функции f(x) при x
стремящимся к x0, если по любому сколь угодно малому числу ε >0 всегда
можно найти положительное δ такое, что для всех х, удовлетворяющих
условию |x - x0| < δ будет выполняться неравенство | f(x) – A | < ε.
0 d 0 x | x x0 | d | f ( x) A |
пропустить 1.5 страницы

9.

Опр. Определение предела функции по Гейне
(на языке последовательностей).
Пусть y=f(x) определена в Ů(x0, ε). Число А называется пределом функции
f(x) в т. x0 при x→x0, если
∀{xn} ∈ Ů(x0, ε)
То есть верно равенство
из
xn→x0 ⇒
lim f ( xn ) A
f( xn ) → A.
n
Замечание: Определение по Коши равносильно определению по Гейне
Следствия из замечания:
1. Функция f(x) не может иметь двух пределов, т.к. сходящаяся
последовательность f(xn) имеет 1 предел.
2. Все свойства, характерные для предела последовательности, будут
иметь место и для предела функции.
пропустить 10 строк

10.

Свойства пределов функции
(Можно переписать, а можно иметь ввиду)
1. О локальной ограниченности.
Пусть lim
x x0
f ( x) A . Тогда ∃ U( x0 , ), в которой |f( x )| ≤ M.
2. Об устойчивости знака функции.
Пусть lim f ( x) A 0. Тогда ∃ U( x0 , ), в которой
x x 0
sign( f(x) )= sign A.
3. Если y = f ( x ) имеет предел, то ее можно представить как сумму
постоянной, равной этому пределу и б.м.
lim f ( x) A
x x 0
f ( x) A ( x), где ( x) б.м.
4. Об арифметических операциях.
Пусть
и
lim f ( x) A
а) lim[ f ( x) g ( x)] A B
lim g ( x) B. Тогда
b) lim[ f ( x) g ( x)] A B
x x 0
x x 0
x x 0
x x 0
f ( x) A
c) lim
,
x x 0 g ( x)
B
B 0

11.

О предельном переходе
5. Пусть ∀x∈ Ů(x0, d) f ( x ) ≤ g ( x ),
Тогда, A ≤ B
6. Пусть ∀x∈ Ů(x0, d)
Тогда lim F ( x) A
lim f ( x) A
x x 0
lim g ( x) B
x x 0
f ( x ) ≤ F ( x ) ≤ g ( x ) и lim f ( x) lim g ( x) A
x x 0
x x 0
x x 0
7. О пределе сложной функции.
Пусть существуют конечные пределы
lim f ( x) b
x x 0
Пусть ∀x∈ Ů( x0, d) f( x ) ≠ b (т.е. f(x) не const.).
lim F ( y) A
y b
Тогда в точке x0 существует предел сложной функции F ( f (x) ) и
lim F ( f ( x)) lim F ( y)
x x 0
y b

12.

8. Имеют место аналогичные свойства б.м. и б.б. функций.
б.м. функции
1
а) если ( x ) – б.м., то ( x)
– б.б.
б) ( x ) + b ( x ) + … + t ( x ) = g ( x ) – сумма конечного числа б.м. есть б.м.
в) ( x ) .M( x ) = b ( x ) – произведение б.м. на ограниченную есть б.м.
г) ( x ) . b ( x ) = g ( x ) – произведение б.м. на б.м. есть б.м.
д) ( x ) . с = g ( x ) – произведение б.м. на const есть б.м.
б.б. функции
е) F ( x ) + G ( x ) = R ( x ) – сумма б.б. одного знака есть б.б.
ж) F ( x ) .M( x ) = R ( x ) – произведение б.б. на ограниченную и ≠ 0 есть б.б.
з) F ( x ) + M ( x ) = R ( x ) – сумма б.б. и ограниченной есть б.б.
пропустить 20 клеточек