Предел функции. Непрерывность функций одной переменной

1. Раздел 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

1

2. Лекция 2.1

• Два определения предела функции в
точке, их эквивалентность.
• Свойства функций, имеющих предел
• Односторонние пределы и пределы при
стремлении аргумента к бесконечности.
• Бесконечно малые и бесконечно
большие функции.
2

3. Два определения предела функции в точке

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1 ( Гейне ).
y
y = f(x)
f(x2)
f(x3)
A
f(x4)
f(x1)
x
0
x 1 x4
x2
x3
a
r
r
Пусть функция f(x) определена в U r (a).
Число А называется пределом функции f(x) в точке а, если
для любой последовательности значений её аргумента {xn } U r (a),
сходящейся к точке а ( т.е. lim xn a), соответствующая последовательность
n
значений функции {f(хn)} сходится к А ( т.е. lim f ( xn ) A).
В этом случае пишут
lim f ( x) A.
x a
n
3

4.

Примеры.
1.
x2 1
lim
x 1 x 1
xn 1
lim
lim ( xn 1) 2.
n x 1
n
n
2
Возьмем xn 1 при n , xn 1 n.
2.
1
f ( x) sin , x 0. Докажем, что lim f ( x) не существует .
x 0
x
Возьмем xn
1
0 при n .
πn
f ( xn ) sin n 0, т.е. lim f ( xn ) 0.
n
Возьмем xn
'
1
π
2πn
2
0 при n .
Предела нет!!!
π
'
'
f ( xn ) sin 2πn 1, т.е. lim f ( xn ) 1.
n
2
4

5.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2 ( Коши ).
y = f(x)
y
A+ε
U ε ( A)
A
U δ (a).
A-ε
x
0
a-δ
a
a+δ
Пусть функция f(x) определена в U r (a).
lim f ( x) A ε 0 δ δ(ε) 0 : x : 0 x a δ f(x) – A .
x a
Геометрический аналог определения:
lim f ( x) A U ε ( A) U δ (a) : x U δ (а) f ( x) U ε ( A).
x a
ТЕОРЕМА 1.
Два определения предела функции, по Коши и по Гейне, эквивалентны.
5

6. Свойства функций, имеющих предел

ТЕОРЕМА 2. (Об ограниченности функции, имеющей предел.)
Если f(x) имеет предел в точке а, то U δ (a),
в которой функция ограничена.
Доказательство. Пусть lim f ( x) А.
(По опред. предела)
x a
Для ε 1 U δ (a) : x U δ (a)
A - 1 < f(x) < A + 1.
Т.е. f(x) ограничена на множестве U δ (a ).
ТЕОРЕМА 3. (О сохранении функцией знака предела.)
Если lim f ( x) А 0, то U δ (a), в которой f ( x) 0.
x a
Доказательство. lim f ( x) А 0
x a
(По опред. предела)
A
A
A
Для ε
U δ (a) : x U δ (a) A f ( x) A .
2
2
2
Т.е. f(x) > A/2 > 0.
СЛЕДСТВИЕ. Если lim f ( x) А 0, то U δ (a), в которой f ( x) 0.
x a
6

7.

ТЕОРЕМА 4. ( О переходе к пределу в неравенстве)
Если f ( x) 0 в U δ (a) и lim f ( x) А, то А 0.
x a
Доказательство. Воспользуемся определением предела по Гейне.
Возьмем ЧП xn U δ (a) : lim xn a. Тогда lim f ( xn ) A и f ( xn ) 0 n.
n
n
Следовательно, по соответствующей теореме для ЧП, А 0.
Следствие. Если f ( x) 0 в U δ (a) и lim f ( x) А, то А 0.
x a
ТЕОРЕМА 5. (О двух милиционерах.)
Пусть f ( x) g( x) ( x) в U δ (a) и lim f ( x) lim ( x) A. Тогда и lim g ( x) A.
x a
x a
x a
Доказательство. Воспользуемся определением предела по Гейне.
Возьмем ЧП xn U δ (a) : lim xn a.
n
Тогда lim f ( xn ) lim ( xn ) A и f ( xn ) g ( xn ) ( xn ) n.
n
n
7
Отсюда, по т. о двух милиционерах для ЧП, и lim g ( xn ) A, т.е. lim g ( x) A.
n
x a

8.

ТЕОРЕМА 6. (Арифметические свойства пределов функций)
1.
Если f ( x) c - постоянная в U δ (a), то lim f ( x) с.
x a
2. Если lim f ( x) A, lim g ( x) B, тогда существуют и
x a
x a
а) lim ( f ( x) g ( x)) А В;
х а
в ) lim
х а
б ) lim ( f ( x) g ( x)) А В;
х а
f ( x) A
, B 0.
g ( x) B
Доказательство. Докажем свойство 2в.
lim g ( x) В 0.
x a
Следовательно, U δ (a), в которой g( x) 0.
Воспользуемся опр. предела по Гейне. Возьмем ЧП xn U δ (a) : lim xn a.
n
f ( xn ) A
Тогда lim f ( xn ) A, lim g ( xn ) B . По т. о пределе частного для ЧП lim
.
n
n
n g ( x )
B
n
f ( x) A
Это значит, что lim
.
х а g ( x)
B
СЛЕДСТВИЕ из теорем 4, 6.
Если lim f ( x) A, lim g ( x) B и f ( x) g ( x) в U δ (a), то A B.
x a
x a
8

9. Односторонние пределы.

y
A1 +
U ( A1 )
y = f(x)
y
A2 +
U ( A2 )
A2
A1
U (a)
A1 -
a- a
y = f(x)
A2 -
x
U (a)
a
a+
Пусть f ( x) определена в U (a).
r
Число А1 называют пределом слева
функции f(x) в точке а и обозначают
lim f ( x) или f (a - 0), если
x a 0
x
Пусть f ( x) определена в U r (a).
Число А2 называют пределом справа
функции f(x) в точке а и обозначают
lim f ( x) или f (a 0), если
x a 0
> 0 = ( ) > 0: х (а – , a)
f(x) – A1 .
> 0 = ( ) > 0: х (а, a + )
f(x) – A2 .
9

10.

ПРИМЕР.
y
1, x 0,
f ( x) sign x 0, x 0,
1, x 0.
y = signx
1
0
x
–1
lim f ( x) f ( 0) 1,
x 0
lim f ( x) f ( 0) 1.
x 0
Доказать в качестве упражнения:
Для существова ния lim f ( x) необходимо и достаточно, чтобы
x a
существовали пределы этой функции в точке а слева и справа и
lim f ( x) lim f ( x).
x a 0
x a 0
10

11. Пределы функции при стремлении аргумента к бесконечности

y
Пусть f ( x) определена в U r ( ).
A+
A
A-
lim f ( x) А
x
ε 0 δ δ ( ε ) 0 :
x
x δ f ( x) A ε.
0
Пусть f ( x) определена в U r ( ).
y
lim f ( x) А
A+
A
A-
x
ε 0 δ δ ( ε ) 0 :
y
A+
U δ ( )
-
U ε ( A)
0
x δ f ( x) A ε.
U δ ( )
A
A-
0
x
Пусть f ( x) определена в U r ( ).
lim f ( x) А ε 0 δ δ(ε) 0 : x : x δ f ( x) A ε.
x
11
x

12. Бесконечно малые и бесконечно большие функции

y y = (x)
U δ (a)
x
Функцию ( х) называют бесконечно малой при х а, если
lim ( x) 0, т.е. ε 0 U δ (a) : х U δ (a) ( x) ε.
x a
0
a
-
Из определения предела функции в точке а и определения
бесконечно малой при х а функции следует, что
ЗАМЕЧАНИЕ.
lim f ( x) A f ( x) A α( x),
x a
где α( x) б.м. при х а функция .
y
f(х) называют бесконечно большой при х а, если
ε 0 U δ (a) : х U δ (a) f ( x) .
В этом случае пишут
U δ (a)
lim f ( x) .
x
x а
0
Аналогично определяются lim f ( x) ,lim f ( x) , -
x a
a
y = f(x)
x a
а также бесконечно большие при стремлении аргумента к
а + 0, а - 0, + , - , функции.
12

13. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

1.
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при х а функций
есть бесконечно малая при х а функция.
2.
Произведение бесконечно малой при х а функции на ограниченную в
некоторой проколотой окрестности точки а функцию есть бесконечно малая
при х а функция.
3.
Пусть (х) 0 в U (a ).
(х) – бесконечно малая при х а функция тогда и только тогда, когда 1/ (х)
– бесконечно большая при х а.
13

14.

Введем обозначения:
С = const 0;
∞ – бесконечно большая функция произвольного знака;
+ ∞ – бесконечно большая положительная функция;
– ∞ – бесконечно большая отрицательная функция;
0 – бесконечно малая функция;
1 – функция, предел которой равен 1.
C ;
?
0
0
0
C
;
0
C
0;
;
;
00
, C 0,
( )
0, C 0;
( ) .
0
C
1
14

15. СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!

15