2. Матрица, как оператор. Определитель матрицы

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
1
−1
0
A e₁=A
1
0
=
0
1
O
Исходный единичный
квадрат
x

8.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
1
−1
0
A e₁=A
1
0
=
0
1
O
Преобразуем первый
базисный вектор e₁
x

9.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
1
−1
0
A e₁=A
1
0
=
0
1
O
Преобразуем первый
базисный вектор e₁
x

10.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
1
−1
0
A e₁=A
1
0
=
0
1
O
Преобразуем первый
базисный вектор e₁
x

11.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
1
−1
0
A e₁=A
1
0
=
0
1
A e₁
O
Получили A e₁ =
0
1
x

12.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
1
−1
0
A e₂ = A
−1
0
=
1
0
Преобразуем второй
базисный вектор e₂
A e₁
O
x

13.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
1
−1
0
A e₂ = A
−1
0
=
1
0
Преобразуем второй
базисный вектор e₂
A e₁
O
x

14.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
1
−1
0
A e₂ = A
−1
0
=
1
0
Преобразуем второй
базисный вектор e₂
A e₁
O
x

15.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
1
−1
0
A e₂ = A
−1
0
=
1
0
Получили A e₂ =
A e₁
A e₂
O
−1
0
x

16.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
1
−1
0
A e₁=A
1
0
=
0
1
A e₂ = A
−1
0
=
1
0
Достраиваем образ
единичного квадрата
A e₁
A e₂
O
x

17.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
1
−1
0
A e₁=A
1
0
=
0
1
A e₂ = A
−1
0
=
1
0
Достраиваем образ
единичного квадрата
A e₁
A e₂
O
x

18.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
1
−1
0
A e₁=A
1
0
=
0
1
A e₂ = A
−1
0
=
1
0
Достраиваем образ
единичного квадрата
A e₁
A e₂
O
x

19.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
1
−1
0
A e₁=A
1
0
=
0
1
A e₂ = A
−1
0
=
1
0
Результат: поворот на 90°
против часовой стрелки
площадь сохраняется
A e₁
A e₂
O
x

20.

21.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
−1
A e₁=A
1
0
1
0
=
0
−1
O
Исходный единичный
квадрат
x

22.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
−1
A e₁=A
1
0
1
0
=
0
−1
O
Преобразуем первый
базисный вектор e₁
x

23.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
−1
A e₁=A
1
0
1
0
=
0
−1
O
Преобразуем первый
базисный вектор e₁
x

24.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
−1
A e₁=A
1
0
1
0
=
0
−1
O
Преобразуем первый
базисный вектор e₁
x

25.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
−1
A e₁=A
1
0
1
0
=
0
−1
x
O
Получили A e₁ =
0
−1
A e₁

26.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
−1
A e₂ = A
1
0
1
0
=
1
0
x
O
Преобразуем второй
базисный вектор e₂
A e₁

27.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
−1
A e₂ = A
1
0
1
0
=
1
0
x
O
Преобразуем второй
базисный вектор e₂
A e₁

28.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
−1
A e₂ = A
1
0
1
0
=
1
0
x
O
Преобразуем второй
базисный вектор e₂
A e₁

29.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
−1
A e₂ = A
1
0
1
0
=
1
0
A e₂
x
O
Получили A e₂ =
1
0
A e₁

30.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
−1
A e₁=A
1
0
1
0
=
0
−1
1
0
A e₂ = A
=
1
0
Достраиваем образ
единичного квадрата
A e₂
x
O
A e₁

31.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
−1
A e₁=A
1
0
1
0
=
0
−1
1
0
A e₂ = A
=
1
0
Достраиваем образ
единичного квадрата
A e₂
x
O
A e₁

32.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
−1
A e₁=A
1
0
1
0
=
0
−1
1
0
A e₂ = A
=
1
0
Достраиваем образ
единичного квадрата
A e₂
x
O
A e₁

33.

Каков геометрический эффект применения матрицы
к точкам / векторам двумерной плоскости
y
0
A=
−1
A e₁=A
1
0
1
0
=
0
−1
1
0
A e₂ = A
=
1
0
A e₂
x
O
Результат: поворот на
90° по часовой стрелке
площадь сохраняется
A e₁

34.

35.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
−1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
Исходный единичный
квадрат
O
x

36.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
−1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
Преобразуем первый
базисный вектор e₁
O
x

37.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
−1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
Преобразуем первый
базисный вектор e₁
O
x

38.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
−1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
Преобразуем первый
базисный вектор e₁
O
x

39.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
−1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
Преобразуем первый
базисный вектор e₁
O
x

40.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
−1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
Получили образ первого
базисного вектора
A e₁
O
x

41.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
−1
1
A e₁
0
−1
A e₂ = A
=
1
1
Преобразуем второй
базисный вектор e₂
O
x

42.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
−1
1
A e₁
0
−1
A e₂ = A
=
1
1
Преобразуем второй
базисный вектор e₂
O
x

43.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
−1
1
A e₁
0
−1
A e₂ = A
=
1
1
Преобразуем второй
базисный вектор e₂
O
x

44.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
−1
1
0
−1
A e₂ = A
=
1
1
Получили образ второго
базисного вектора
A e₂
A e₁
O
x

45.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
−1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
A e₂ = A
A e₂
A e₁
0
−1
=
1
1
Достраиваем образ
единичного квадрата
O
x

46.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
−1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
A e₂ = A
A e₂
A e₁
0
−1
=
1
1
Достраиваем образ
единичного квадрата
O
x

47.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
−1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
A e₂ = A
A e₂
A e₁
0
−1
=
1
1
Результат: поворот на 45° и
растяжение в √2 раза
площадь увеличивается в 2 раза
O
x

48.

49.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
3
A=
4
−4
3
A e₁=A
1
3
=
0
4
x
Исходный единичный квадрат
O

50.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
3
A=
4
−4
3
A e₁=A
1
3
=
0
4
x
Преобразуем первый базисный
вектор e₁
O

51.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
3
A=
4
−4
3
A e₁=A
1
3
=
0
4
x
Преобразуем первый базисный
вектор e₁
O

52.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
3
A=
4
−4
3
A e₁=A
1
3
=
0
4
x
Преобразуем первый базисный
вектор e₁
O

53.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
3
A=
4
−4
3
A e₁
A e₁=A
1
3
=
0
4
x
Преобразуем первый базисный
вектор e₁
O

54.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
3
A=
4
−4
3
A e₁
A e₂ = A
−4
0
=
3
1
x
Преобразуем второй базисный
вектор e₂
O

55.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
3
A=
4
−4
3
A e₁
A e₂ = A
−4
0
=
3
1
x
Преобразуем второй базисный
вектор e₂
O

56.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
3
A=
4
−4
3
A e₁
A e₂ = A
−4
0
=
3
1
x
Преобразуем второй базисный
вектор e₂
O

57.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
3
A=
4
−4
3
A e₁
A e₂
A e₂ = A
−4
0
=
3
1
x
Преобразуем второй базисный
вектор e₂
O

58.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
3
A=
4
−4
3
A e₁
A e₁=A
1
3
=
0
4
A e₂ = A
A e₂
−4
0
=
3
1
x
Достраиваем образ единичного
квадрата
O

59.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
3
A=
4
−4
3
A e₁
A e₁=A
1
3
=
0
4
A e₂ = A
A e₂
−4
0
=
3
1
x
Достраиваем образ единичного
квадрата
O

60.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
3
A=
4
−4
3
A e₁
A e₁=A
1
3
=
0
4
A e₂ = A
A e₂
−4
0
=
3
1
x
Достраиваем образ единичного
квадрата
O

61.

Каков геометрический эффект применения матрицы к
точкам / векторам двумерной плоскости
y
3
A=
4
−4
3
A e₁
A e₁=A
1
3
=
0
4
A e₂ = A
A e₂
−4
0
=
3
1
Результат: поворот и увеличение
в 5 раз
Поворот на arctg(4/3) ≈ 53,13°
площадь увеличивается в 25 раз
x
O

62.

63.

Каков геометрический эффект применения матрицы к точкам
/ векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
x
O
Исходный единичный квадрат

64.

Каков геометрический эффект применения матрицы к точкам
/ векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
x
O
Преобразуем первый базисный
вектор e₁

65.

Каков геометрический эффект применения матрицы к точкам
/ векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
x
O
Преобразуем первый базисный
вектор e₁

66.

Каков геометрический эффект применения матрицы к точкам
/ векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
x
O
Преобразуем первый базисный
вектор e₁

67.

Каков геометрический эффект применения матрицы к точкам
/ векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
A e₁
x
O
Преобразуем первый базисный
вектор e₁

68.

Каков геометрический эффект применения матрицы к точкам
/ векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
1
1
A e₁
A e₂ = A
0
1
=
1
1
x
O
Преобразуем второй базисный
вектор e₂

69.

Каков геометрический эффект применения матрицы к точкам
/ векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
1
1
A e₁
A e₂ = A
0
1
=
1
1
x
O
Преобразуем второй базисный
вектор e₂

70.

Каков геометрический эффект применения матрицы к точкам
/ векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
1
1
A e₁
A e₂ = A
0
1
=
1
1
x
O
Преобразуем второй базисный
вектор e₂

71.

Каков геометрический эффект применения матрицы к точкам
/ векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
1
1
A e₁
A e₂
0
1
A e₂ = A
=
1
1
x
O
Преобразуем второй базисный
вектор e₂

72.

Каков геометрический эффект применения матрицы к точкам
/ векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
A e₂ = A
A e₁
A e₂
0
1
=
1
1
x
O
Достраиваем образ единичного
квадрата

73.

Каков геометрический эффект применения матрицы к точкам
/ векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
A e₂ = A
A e₁
A e₂
0
1
=
1
1
x
O
Достраиваем образ единичного
квадрата

74.

Каков геометрический эффект применения матрицы к точкам
/ векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
A e₂ = A
(2; 2)
A e₁
A e₂
0
1
=
1
1
x
O
Достраиваем образ единичного
квадрата

75.

Каков геометрический эффект применения матрицы к точкам
/ векторам двумерной плоскости
y
1
A=
1
1
1
A e₁=A
1
1
=
0
1
A e₂ = A
(2; 2)
A e₁
A e₂
0
1
=
1
1
x
O
Результат: квадрат превращается
в отрезок
Образ квадрата — отрезок от (0; 0) до (2; 2)
площадь образа равна нулю

76. Почему матричное умножение такое «сложное»?

• Поскольку таким образом легко записывать
системы линейных уравнений
3 0
4 5
1 −1
1
0
2