Аналитическая+геометрия

1.

Раздел 2
Аналитическая
геометрия на
плоскости

2.

Аналитическая геометрия – это
геометрия, изучаемая средствами
алгебры с использованием систем
координат.

3.

Декартова прямоугольная система координат
определяется заданием линейной единицы для
измерения длин и двух взаимно перпендикулярных
осей, занумерованных в каком-нибудь порядке.
Точка пересечения осей называется началом
координат, а сами оси - координатными осями. Первая
из координатных осей называется осью абсцисс, вторая
- осью ординат.
Начало координат обозначается буквой О, ось абсцисс символом Ох, ось ординат - символом Оу.

4. Простейшие задачи аналитической геометрии

5.

6. 2. Линии первого порядка

7.

Уравнением линии на плоскости (уравнением
поверхности в пространстве) называют
уравнение, которому удовлетворяют
координаты тех и только тех точек, которые
принадлежат линии (поверхности).
Каждому уравнению с двумя (тремя)
переменными соответствует линия на
плоскости (поверхность в пространстве),
являющаяся геометрическим местом тех и
только тех точек, координаты которых
удовлетворяют уравнению.

8. Прямая на плоскости

Основные уравнения прямой на плоскости
1. Уравнение прямой, проходящей через заданную
точку M 0 ( x0 ; y0 ) перпендикулярно
заданному вектору (нормальный вектор) N = A; B
N = A; B A( x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0
M 0 ( x0 ; y0 )
2. Общее уравнение прямой
N = A; B
Ax + By + C = 0
- вектор нормали
3. Уравнение прямой « в отрезках»
x y
+ =1
a b
Y
b
X
a

9. Прямая на плоскости. Основные уравнения

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную
точку M 0 ( x0 ; y0 ) параллельно заданному вектору s = m; n
x − x0 y − y 0
=
m
n
- каноническое уравнение
s = m; n - направляющий вектор
s = m; n
5. Параметрические уравнения
x = mt + x0
y = nt + y 0
M 0 ( x0 ; y0 )
6. Уравнение прямой, проходящей через две
заданные точки M 1 ( x1 ; y1 ) и M 2 ( x2 ; y2 )
x − x1
y − y1
=
x2 − x1 y2 − y1
s = M 1M 2
M 1 ( x1 ; y1 )
M 2 ( x2 ; y 2 )

10. Прямая на плоскости. Основные уравнения

7. Уравнение прямой, проходящей через заданную
точку M 0 ( x0 ; y0 ) с заданным угловым коэффициентом
y − y0 = k ( x − x0 )
k = tg
Y
y
y0
O
x0
X
x
Угловой коэффициент k - это тангенс угла наклона прямой.
Угол отсчитывается от положительного направления оси OX
8. Уравнение прямой с угловым
коэффициентом
y = kx + b
Y
b
O
X

11. Исследование уравнения прямой

1.
A 0, B 0, C 0
2.
A 0, B 0, C = 0
3.
A = 0, B 0, C 0
Ax + By + C = 0
x y
+ =1
a b
y
b
О
x
y
Ax + By = 0,
x y
b
+ = 0, y = − x
a b
a
By + C = 0
y =b
а
x
О
y
b
О
x

12.

4.
A 0, B = 0, C 0
y
Ax + C = 0
x=a
О
5.
A 0, B = 0, C = 0
Ax = 0
x=0
а
y
х=0
x
О
6.
A = 0, B 0, C = 0
By = 0
y=0
x
y
у=0
О
x

13. Задачи на составление уравнений прямой , определение параметров уравнений

1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (2;4)
параллельно прямой
5x − 3 y + 15 = 0 . Построить прямую.
Решение. Нам задано уравнение прямой общего вида
Ax + By + C = 0
N = A; B
-вектор нормали
Сравнивая с заданным уравнением, получаем координаты
вектора нормали N = 5;−3 Так как все параллельные прямые
можно охарактеризовать одним вектором нормали, то можно составить
уравнение параллельной прямой, проходящей через данную
в условии точку. За основу берем уравнение A( x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0
5( x − 2) − 3( y − 4) = 0
5x − 10 − 3 y + 12 = 0
5x − 3 y + 2 = 0
Y
Найдем угловой коэффициент
5x + 2 = 3 y
5
2
y = x+
3
3
N = 5;−3
s = 3;5 -направляющий вектор
k=
5
3
2
3
−
2
5
O
X

14.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через данную точку
M 0 (−3;4) параллельно прямой x − 1 = y + 3
2
−5
Из канонического уравнения заданной прямой можно определить
ее направляющий вектор s = 2;−5
Поскольку для всех параллельных прямых можно взять один и тот
же направляющий вектор, то берем за основу каноническое
уравнение x − x0 y − y 0 и подставляем в него координаты точки
=
m
n
и направляющего вектора
x+3 y−4
=
2
−5
x
Это уравнение можно преобразовать к уравнению
общего вида и к уравнению с угловым коэффициентом
0
−
7
5
y − 72 0
Y
− 5x − 15 = 2 y − 8
− 5( x + 3) = 2( y − 4)
7
−
5x + 2 y + 7 = 0
7
5
5
−
( y − 4) = − ( x + 3)
2
2
5
k
=
−
N = 5;2 - вектор нормали
угловой коэффициент
2
X

15.

3. Составить уравнение прямой, проходящей через точку A(−5;2)
параллельно прямой y = 3x + 5 .
В данном случае прямая задана уравнением с известным
угловым коэффициентом y=kx+b.
K=3
Все параллельные прямые имеют один угловой коэффициент.
Y
Т.о. нам известна точка на прямой и угловой коэффициент.
Y
Берем уравнение y − y0 = k ( x − x0 )
Y
y − 2 = 3( x + 5)
17
y − 2 = 3x + 15
y = 3x + 17
X
− 17 / 3
Записав уравнение в виде 3x − y + 17 = 0 , определим вектор нормали
N = 3;−1 и направляющий вектор
s = 1;3
Для построения прямой используем таблицу
x
y
0
-17/3
17
0

16.

4. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (2;4)
перпендикулярно прямой 5x − 3 y + 15 = 0
M 0 (2;4)
N = 5;−3
5x − 3 y + 15 = 0
Из рисунка видно, что вектор
нормали известной прямой
является направляющим для
искомой прямой, поэтому
используем каноническое уравнение
x − x0 y − y 0
=
m
n
− 3( x − 2) = 5( y − 4)
x−2 y−4
=
5
−3
− 3x + 6 = 5 y − 20
3x + 5 y − 26 = 0
Таким образом, получили общее уравнение прямой, из которого
определяем вектор нормали N = 3;5
Из канонического уравнения можно перейти к уравнению
с угловым коэффициентом
x−2 y−4
=
5
−3
3
− x = y−4
5
3
y =− x+4
5
k = −3 / 5

17.

5. Составить уравнение прямой, проходящей через точку M 0 (4;−1)
перпендикулярно прямой
x = 3t + 1
y = −2t − 5
M 0 (4;−1)
s = 3;−2
A( x − x0 ) + B( y − y0 ) = 0
3( x − 4) − 2( y + 1) = 0
Прямая задана параметрическими
уравнениями, из которых найдем
направляющий вектор s = 3;−2
Из рисунка видно, что
направляющий вектор известной
прямой является вектором нормали
для искомой прямой, поэтому
используем уравнение прямой с
известной точкой и вектором
нормали
3x − 12 − 2 y − 2 = 0
3x − 2 y − 14 = 0
Получили общее уравнение прямой, из которого N = 3;−2 ,
Записав уравнение в виде
3
( y + 1) = ( x − 4) ,
2
3
найдем угловой коэффициент k =
2
s = 2;3

18.

6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку
перпендикулярно прямой y = − 1 x + 3
5
M 0 (3;2)
Из уравнения заданной прямой можно взять угловой коэффициент
k =−
1
5
Из условия перпендикулярности прямых
можно найти угловой коэффициент
перпендикулярной прямой
k1 k 2 = −1
1
1
k2 = − = −
=5
k1
(−1 / 5)
Теперь берем уравнение прямой с угловым коэффициентом и
подставляем координаты точки и значение углового коэффициента
y − y0 = k ( x − x0 )
y = 5x − 13
y − 2 = 5( x − 3) y − 2 = 5x − 15
Или 5x − y − 13 = 0 - общее уравнение N = 5;−1 ,
s = 1;5

19. Взаимное расположение прямых на плоскости

Задачи на взаимное расположение прямых включают следующие
вопросы:
1.
Нахождение точки пересечения.
2.
Нахождение угла между прямыми
3.
Проверка условий параллельности и перпендикулярности
прямых
Для нахождения точки пересечения нужно решить систему,
составленную из уравнений этих прямых, например
2 x − 5 y + 4 = 0
3x + 2 y − 1 = 0
Систему можно решить методом Крамера
−4 −5
= −8 − (−5) = −3
1
2
2 −5
=
= 4 − (−15) = 19
3 2
x =
2 −4
y =
= 2 − (−12) = 14
3 1
x=
x − 3
=
19
Точка пересечения
y=
y
− 3 14
M ;
19 19
=
14
19

20. Нахождение угла между прямыми

.
1 Если прямые заданы общими уравнениями, то угол между
прямыми – это угол между векторами нормалей и используется
формула косинуса угла между векторами
cos =
( N1 N 2 )
=
N1 N 2
A1 A2 + B1 B2
2
2
A1 + B12 A2 + B22
2. Если прямые заданы каноническими уравнениями, то угол между
прямыми – это угол между направляющими векторами
( s1 s2 )
m1m2 + n1n2
cos =
=
2
2
s1 s2
m1 + n12 m2 + n22
3. Если прямые заданы угловыми коэффициентами, то находят
тангенс угла
k −k
tg = 2 1
1 + k1 k 2

21. Проверка условий параллельности и перпендикулярности прямых

1. Условия параллельности прямых
A1 B1
=
A2 B2
m1 n1
=
m2 n2
k1 = k 2
2. Условия перпендикулярности прямых
1 + k1 k 2 = 0
m1m2 + n1n2 = 0
A1 A2 + B1 B2 = 0
1
k2 = −
k1
Расстояние от точки M 1 ( x1 ; y1 ) до прямой Ax + By + C = 0
d=
Ax1 + By1 + C
A2 + B 2
Для нахождения расстояния от точки до прямой нужно координаты точки
Подставить в левую часть уравнения прямой, разделить на длину
вектора нормали и полученное значение взять по абсолютной величине.
Уравнение прямой должно быть приведены к общему виду

22.

x−4 y+9
=
1. Найти угол между прямыми 2 x − y + 3 = 0 и
5
4
Из уравнения первой прямой определяем вектор нормали N1 = 2;−1
Из уравнения второй прямой находим направляющий вектор s = 5;4
Тогда вектор нормали этой прямой N 2 = 4;−5
Используем формулу cos = ( N1 N 2 ) =
N1 N 2
cos =
A1 A2 + B1 B2
2
2
A1 + B12 A2 + B22
2 4 + (−1) (−5)
13
=
4 + 1 16 + 25
5 41
2. Найти расстояние от точки M 0 (−1;−4) до прямой
x y
+ =1
5 7
Приведем сначала уравнение прямой к общему виду
7 x + 5 y = 35
или 7 x + 5 y − 35 = 0 . Теперь можно использовать формулу
d=
Ax1 + By1 + C
A +B
2
2
=
7(−1) + 5(−4) − 35
7 2 + 52
− 62
62
=
=
74
74

23. 3. Кривые 2-го порядка

Общее уравнение прямой на плоскости – есть уравнение
линейное относительно переменных x и y
Ax + By + C = 0
Уравнение кривой 2-го порядка
Ax2 + 2 Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
Ax2 + 2 Bxy + Cy 2 − квадратичная часть
Dx + Ey + F = 0 −
линейная часть
В дальнейшем
будем рассматривать уравнения кривых,
.
в которых отсутствует произведениеxy
Ax2 + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0
К кривым 2-го порядка относятся :
окружность, эллипс, гипербола и парабола.
Основная задача состоит в умении по уравнению определить
тип кривой, привести само уравнение к каноническому
виду и построить кривую в системе координат.

24. 1. Окружность

Определение. Окружностью называется множество точек
плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой центром
Уравнение окружности с центром в начале координат
x2 + y2 = R2
Уравнение окружности со смещенным центромO ' ( x0 ; y0 )
( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = R 2
!
В уравнение окружности входят квадраты переменных,
причем коэффициенты при квадратах и знаки
при них одинаковые.
Y
Y
y0
O
O'
X
O
x0
X

25. Построение окружностей

1. Построить окружность
2. Построить окружность
x2 + y2 = 9
3
( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = 9
Y
O
Y
R=3
3 X
2
O'
−1
3. Построить окружность
y = − 1− x2
Y
y 2 = (− 1 − x 2 ) 2
y2 = 1− x2
y2 + x2 = 1
O
y 0
−1
1 X
O
X

26.

2
2
Построить окружность x + 6 x + y − 4 y = 12
( x − x0 ) 2 + ( y − y 0 ) 2 = R 2
Каноническое уравнение
Формула квадрата суммы и разности двух чисел
( a b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
1. ( x + 6 x) + ( y − 4 y ) = 12
2
2
2
2
2
2
2. ( x + 2 x 3 + 3 − 3 ) + ( y − 2 y 2 + 2 − 2 ) = 12
2
2
Y
3. [( x + 3) − 9] + [( y − 2) − 4] = 12
2
2
4. ( x + 3) 2 + ( y − 2) 2 − 9 − 4 = 12
2
2
(
x
+
3
)
+
(
y
−
2
)
= 25
5.
2
2
2
(
x
+
3
)
+
(
y
−
2
)
=
5
6.
O (−3;2) − центр окружности,
'
R = 5 − радиус окружности
O'
−3
2
O
X

27. 2. Эллипс

Определение. Эллипсом называется множество точек
плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек,
называемых фокусами , есть величина постоянная, равная
длине большой оси 2a .
Каноническое уравнение эллипса
Y
b B1 M ( x; y)
x2 y2
+ 2 = 1, причем
2
A2 F2
a
b
F1 A1
c
O
−a −c
a
X
B2
a 2 = b2 + c 2
−b
F2 (−c;0)
F1 (c;0)
A1 (a;0) A2 (− a;0)
вершины эллипса
B1 (0; b) B2 (0;−b)
фокусы эллипса
A1 A2 = 2a
большая ось эллипса
F1 F2 = 2c фокусное расстояние
B1 B2 = 2b
малая ось эллипса
В уравнение эллипса входят квадраты переменных,
причем знаки при квадратах одинаковые, а коэффициенты
при квадратах разные.
!

28. Разновидности эллипса

Уравнение эллипса со смещенным центром
Y
( x − x0 ) 2 ( y − y0 ) 2
+
=1
2
2
a
b
O ' ( x0 ; y 0 ) - центр эллипса
b
−a
x0
X
y0
a
O'
−b
Если в уравнении эллипса b a , то большой осью будет ось
B1 B2 = 2b , фокусы эллипса будут
B1 b
.
лежать на этой оси и связь
между параметрами эллипса
будет такой:
b2 = a 2 + c2
F1 c
−a
O
.
F2 − c
B2 − b
a

29. Построение эллипса

1. Построить эллипс
x2 y2
+
=1
4
2
Для построения эллипса нужно знать координаты центра и
размеры полуосей a и b
Y
Центр эллипса O(0;0)
2
Полуоси a = 4 a = 2,
b2 = 2 b = 2
2
.
Расстояние между фокусами
−2 − 2
c 2 = a 2 − b 2 = 4 − 2 = 2,
c = 2 , т.е. 2c = 2 2
O
.
2
X
2
− 2
Можно найти площадь фигуры, ограниченной эллипсом по формуле
S = a b
Для данного примера получим
S = 2 2 = 2 2

30.

2. Построить эллипс
9 x 2 + 5 y 2 = 45
Для получения канонического уравнения делаем некоторые
преобразования:
1) Делим все члены уравнения на 45, так чтобы получит единицу
в правой части уравнения
9x2 5 y 2
+
=1
45 45
2) Убираем в знаменатель коэффициенты из числителей
x2
y2
+
=1
45 / 9 45 / 5
x2 y2
+
=1
5
9
Получили уравнение эллипса, из которого определяем положение
Y
центра и размеры полуосей
3
O(0;0) - центр эллипса
a 2 = 5 a = 5,
- полуоси
b2 = 9 b = 3
b a
3) Строим эллипс
− 5
O
5
−3
X

31.

3. Построить кривую
x = −1 + 9 − 4 y 2
Y
2
2
1. ( x + 1) + 4 y = 9
2. x + 1 =
9 − 4y2
3. ( x + 1) = 9 − 4 y
2
2
a
b
−1
O'
O
X
2
2
(
x
+
1
)
+
4
y
=9
4.
2
2
(
x
+
1
)
y
( x + 1) 2 4 y 2
+
=1
+
=1
5.
9
9/4
9
9
Таким образом, центр эллипса имеет координаты O ' (−1;0)
Полуоси эллипса
a 2 = 9 a = 3,
b 2 = 9 / 4 b = 3 / 2 , т.е. a b
При построении необходимо учесть, что уравнение определяет
Только правую половинку эллипса, так как по условию имеем x −1

32.

3x 2 + 6 x + 2 y 2 − 2 y = 0
4. Построить кривую
Данное уравнение определяет эллипс, так как есть квадраты
переменных, знаки при которых одинаковые, а коэффициенты
различные. Кроме того, наличие линейной части уравнения
означает, что центр эллипса смещен от начала координат.
Приводим уравнение к каноническому виду
( x − x0 ) 2 ( y − y0 ) 2
+
=1
2
2
a
b
Используем прием выделения полного квадрата согласно формуле
( a b) 2 = a 2 + 2 a b + b 2
1. 3( x + 2 x) + 2( y − y ) = 0
2
2
2. 3( x + 2 x 1 + 1 − 1 ) + 2( y − 2 y 1 / 2 + (1 / 2) − (1/ 2) ) = 0
3. 3[( x + 1) 2 − 1] + 2[( y − 1 / 2) 2 − 1 / 4] = 0
2
2
2
2
2
4. 3( x + 1) + 2( y − 1 / 2) − 3 − 1 / 2 = 0
5. 3( x + 1) 2 + 2( y − 1 / 2) 2 = 7 / 2
2
2
( x + 1) 2 ( y − 1/ 2) 2
6. 3( x + 1) + 2( y − 1 / 2) = 1
+
=1
7/2
7/2
7/6
7/4
7
O ' (−1;1/ 2) − центр , a = 7 / 6 , b =
− полуоси
2
2
2
Y
2
O'
1/ 2
−1
O
X

33. 3. Гипербола

Определение. Гиперболой называется множество точек
плоскости, разность расстояний которых до двух данных точек,
называемых фокусами ,по абсолютной есть величина
постоянная, равная длине действительной оси 2 a .
Каноническое уравнение гиперболы с центром в начале координат
x2 y2
− 2 =1
2
a b
В этом случае
a − действительная полуось
b − мнимая полуось
Фокусы гиперболы всегда лежат на действительной оси.
Связь между параметрами гиперболы определяется соотношением
c 2 = a 2 + b2
!
В уравнение гиперболы входят квадраты
переменных, причем знаки при квадратах разные.
Асимптоты гиперболы – это прямые к которым гипербола
неограниченно приближается на бесконечности.

34. Построение гиперболы

x2 y2
− 2 =1
2
a b
Построение гиперболы
Для построения гиперболы удобно пользоваться
вспомогательными построениями.
1. В системе координат строим прямоугольник с размерами 2a 2b
на осях OX и OY соответственно.
2. Проводим диагонали этого прямоугольника.
Уравнения диагоналей – это уравнения асимптот гиперболы
b
y = x
a
3. На действительной оси отмечаем вершины гиперболы и от них
ведем ветви гиперболы к асимптотам.
Y
Y
Y
b
−a
a
−b
b
b
X
−a
a
−b
X
−c −a
a c
−b
X

35. Виды гипербол

Y
Рассмотрим другие виды гипербол
Сопряженная гипербола
−
2
2
x
y
+
=1
2
2
a b
c
b
b − действительная полуось
a − мнимая полуось
a X
−c
Равнобочная гипербола
x −y =a
2
2
2
2
x
y
или −
+ 2 =1
2
a
a
2
Y
b
Гипербола со смещенным центром O ( x0 ; y0 )
'
( x − x0 ) ( y − y0 )
−
=1
2
2
a
b
2
2
Гипербола, приведенная к своим асимптотам
xy = a
или
a
y=
x
a
O'
X
Y
X

36.

Рассмотрим примеры построения гипербол
1. Построить гиперболу 4 x 2 − 3 y 2 = 12
2
2
4x 3y
−
=1
12 12
Y
2
x2
y2
−
=1
12 / 4 12 / 3
X
− 3
x2 y2
−
=1
3
4
−2
O(0;0) − центр гиперболы
a2 = 3
3
a = 3 − действительная полуось
b2 = 4 b = 2 −
мнимая полуось
c 2 = a 2 + b 2 = 3 + 4 = 7,
c= 7
2c = 2 7 −
расстояние между фокусами

37.

.
2 Построить кривую
y = − x2 + 4
Возведем в квадрат обе части уравнения
y2 = x2 + 4
Собираем квадраты переменных в левую часть уравнения
− x2 + y2 = 4
Данное уравнение определяет гиперболу, так как знаки при квадратах
переменных разные. Кроме того, данная гипербола
является сопряженной и равнобочной
x2 y2
Можно записать уравнение в виде −
+
=1
4
4
a 2 = 4 a = 2 − мнимая полуось
b 2 = 4 b = 2 − действительная
полуось
Оставляем только нижнюю ветвь
гиперболы, так как по условию
y 0
Y
2
−2
2
−2
X

38.

3. Построить кривую
4 x 2 − 3 y 2 = 12 − 8 x + 12 y
Данное уравнение определяет гиперболу (знаки при квадратах
переменных различные) со смещенным центром (есть линейная часть)
Приведем уравнение к каноническому виду
( x − x0 ) 2 ( y − y0 ) 2
+
= 1
a2
b2
4( x 2 + 2 x) − 3( y 2 + 4 y) = 12
4 x 2 + 8 x − 3 y 2 − 12 y = 12
4( x 2 + 2 x 1 + 12 − 12 ) − 3( y 2 + 2 y 2 + 2 2 − 2 2 ) = 12
4[( x + 1) 2 − 1] − 3[( y + 2) 2 − 4] = 12
4( x + 1) 2 − 4 − 3( y + 2) 2 + 12 = 12
Y
−1
4( x + 1) 2 − 3( y + 2) 2 = 4
4( x + 1) 2 3( y + 2) 2
−
=1
4
4
X
−2
O'
( x + 1) 2 ( y + 2) 2
−
=1
1
4/3
O ' (−1;−2) − центр гиперболы
4
2
b
=
=
− мнимая полуось
a = 1 − действительная полуось
3
3

39. 4. Парабола

Определение. Параболой называется множество точек
плоскости, равноудаленных от одной точки, называемой
фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.
Виды парабол
Парабола с осью симметрии OX
Парабола c осью симметрии OY
y = 2 px
x 2 = 2 py
2
Y
Y
y = −2 px
2
y 2 = +2 px
X
x 2 = +2 py
X
x 2 = −2 py

40.

Парабола со смещенной вершиной O' ( x0 ; y0 )
Парабола с осью симметрии OX
Парабола c осью симметрии OY
( y − y0 ) 2 = 2 p( x − x0 )
( x − x0 ) 2 = 2 p( y − y0 )
Y
Y
y0
O'
x0
!
X
x0
y0
Отличительные признаки уравнения параболы:
отсутствует квадрат одной переменной.
O'
X

41. Построение парабол

Для построения параболы нужно знать:
O' ( x0 ; y0 ) .
◼ Координаты вершины
◼ Ось симметрии параболы (определяется по той переменно,
квадрат которой отсутствует в уравнении)
◼ Направление ветвей (определяется по знаку : если в правой
части канонического уравнения знак плюс, то ветви параболы
идут в положительном направлении оси симметрии, если знак
минус, то в отрицательном )
◼ Параметр параболы p определяется по коэффициенту при
переменной, стоящей в каноническом уравнении в первой
степени, и определяет «ширину» параболы. Знание параметра
помогает более качественно получить начальный участок
параболы.

42.

2
(
y
−
2
)
= 4( x − 1)
1. Построить параболу
Данное уравнение является каноническим уравнением параболы,
так как отсутствует квадрат переменной x . Поэтому осью
симметрии параболы будет ось OX.
Вершина параболы в точке O' (1;2)
Ветви параболы направлены в положительном направлении оси OX,
так как в правой части уравнения знак “плюс”.
2 p = 4 − ширина параболы
p = 2 − параметр параболы
p
=1
2
Y
2
p
O' p p
2
1
X

43.

2. Построить кривую
y = 3 + 2 1− x
Y
y − 3 = 2 1− x
( y − 3) 2 = 4(1 − x)
( y − 3) 2 = −4( x − 1)
y 3
3
O'
X
O
1
O' (1;3) − вершина параболы
Ось симметрии параболы OX, так как отсутствует квадрат
переменной x
Ветви параболы направлены влево, так как в правой части уравнения
получился знак “минус”
p = 2 − параметр параболы
Так как по условию y 3 , то уравнение определяет только
верхнюю ветвь параболы

44.

3. Построить кривую
y = 2 − x2
Преобразуем уравнение
x2 = 2 − y
x 2 = −( y − 2)
Уравнение определяет параболу. Сравнивая с уравнением
( x − x0 ) 2 = 2 p( y − y0 ) , определяем координаты вершины
O' (0;2) . Ось симметрии OY. Ветви направлены вниз.
1 параметр параболы
p= −
2
Y
O' 2
p=
1
2
1 1
O
X

45.

4. Построить параболу
4x2 + 6x + 3 y + 2 = 0
В уравнении отсутствует квадрат переменной y, поэтому оно
определяет параболу с осью симметрии OY.
Проведем преобразования уравнения, чтобы привести его к
каноническому виду ( x − x0 ) 2 = 2 p ( y − y0 )
6
4 x 2 + x + 3 y + 2 = 0
4
3
2
4 x + 2 x + (3 / 4) 2 − (3 / 4) 2 + 3 y + 2 = 0
4
2
3 9
3
9
4 x + − + 3 y + 2 = 0
4 x + − + 3 y + 2 = 0
4 4
4 16
Y
2
3
1
O ' y0
4 x + = − 3 y
4
4
X
x0 O
2
3
1
4 x + = −3 y − или
4
12
2
3
3
1
x + = − y −
4
4
12
3
3 1
O ' − ; − вершина параболы p = − параметр параболы
8
4 12
Ветви параболы направлены вниз
2