Лекция 5

1.

2.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Тема 5.Средние
величины: сущность
и виды

3.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
3

4.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Что такое средние величины
Средние
величины
представляют
собой
обобщающий
статистический
показатель,
который
синтезирует
множество
индивидуальных значений в одно число. Это
мощный инструмент статистики, позволяющий:
• Сжато представлять большие объемы
информации в виде одного значения
• Эффективно сравнивать различные
статистические совокупности между собой
• Сглаживать индивидуальные различия
элементов исследуемого массива данных

5.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Значение средних величин
Средняя величина играет ключевую роль
в статистическом анализе, выступая в
качестве обобщающей характеристики
изучаемого признака. Она позволяет:
- Определить типичный, наиболее характерный
уровень признака в совокупности
- Заложить фундамент для дальнейшего
статистического анализа
- Обеспечить надежное обобщение однородных
данных

6.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Области применения средних
Экономика и финансы
Медицина
Анализ средних показателей
Оценка средних показателей здоровья
заработной платы, цен,
населения, эффективности лечения и
производительности труда и рыночных
анализ результатов клинических
тенденций для принятия
исследований
стратегических решений
Демография и социология
Изучение демографических трендов,
социального благополучия и
общественного мнения на основе
средних показателей

7.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Классификация средних величин
Степенные средние
• Арифметическая
• Геометрическая
• Гармоническая
• Квадратическая
• Кубическая
Структурные средние
• Мода
• Медиана
• Квартили
• Децили
• Перцентили
Выбор конкретного вида средней величины зависит от природы
анализируемых данных и конкретных задач статистического исследования.

8.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Степенные средние:
определение
Степенные средние представляют собой класс
средних величин, которые вычисляются на основе
числовых рядов данных с использованием
операций возведения в степень и извлечения
корня.
Основное свойство
Рассчитываются исключительно для
числовых рядов данных, требуя
количественного выражения изучаемого
признака
Разновидности
Могут быть простыми (когда все значения
признака имеют одинаковый вес) и
взвешенными (учитывающими частоту или
значимость каждого значения)

9.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Виды степенных средних (по степени m)
Значение степени m
Название средней
m = -1
Гармоническая средняя
m=0
Геометрическая средняя
m=1
Арифметическая средняя
m=2
Квадратическая средняя
m=3
Кубическая средняя
Типичное применение
Средние скорости,
тарифы,
производительность
Темпы роста, индексы,
относительные
показатели
Абсолютные значения
признаков
Колеблющиеся величины,
дисперсии
Специальные случаи анализа

10.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Формулы степенных средних
Все степенные средние могут быть представлены с помощью единой обобщающей
формулы, где параметр m определяет конкретный вид средней величины:
Для взвешенных средних формула принимает вид:
где X_i - значения признака, n - количество наблюдений, w_i - веса (частоты)
значений, m - показатель степени, определяющий вид средней.

11.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Средняя арифметическая: свойства
Средняя
арифметическая
является
наиболее распространенным
видом
средней величины благодаря простоте
расчета и интерпретации.
Формулы для расчета:
Основные свойства:
• Сумма отклонений от средней равна нулю
• Сумма квадратов отклонений от
средней минимальна
• Средняя арифметическая нескольких
групп равна средней из средних с
учетом весов

12.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Пример расчёта средней
арифметической
Исходные данные
Рассмотрим набор значений: 4, 6, 8
Формула для расчета
Используем формулу простой средней арифметической:
Вычисление
Подставляем наши значения в формулу:
Средняя арифметическая для данного набора значений равна 6.

13.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Средняя геометрическая:
свойства
Средняя геометрическая особенно важна при анализе динамических процессов и
относительных показателей, таких как темпы роста и индексы.
Основные свойства
Произведение отклонений наблюдений от средней геометрической равно
единице
Область применения
Идеально подходит для оценки средних темпов изменения показателей в
динамических рядах
Ограничения
Может применяться только для положительных значений признака (Xi > 0)

14.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Средняя гармоническая: свойства
Средняя гармоническая представляет собой обратное значение
среднего арифметического из обратных значений признака:
Для взвешенной гармонической средней:
Области применения:
Расчёт средних скоростей движения
Определение средних тарифов и расценок
Анализ показателей плотности и производительности
Ситуации, когда веса обратно пропорциональны значениям
признака

15.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Средняя квадратическая
Средняя квадратическая (среднеквадратическое значение) особенно полезна при
анализе колеблющихся величин, в том числе имеющих разные знаки.
Для взвешенной средней квадратической:
Основное свойство
Всегда больше или равна средней
арифметической тех же значений
Область применения
Используется в технических науках,
физике и статистике при работе с
отклонениями и дисперсиями

16.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Структурные средние: определение
Структурные средние (мода и медиана)
представляют собой особый класс
средних величин, характеризующих
положение
значений
в
ряду
распределения.
В отличие от степенных средних,
структурные не требуют вычислений на
основе всех значений ряда, а выделяют
отдельные
значения,
занимающие
определенное положение в структуре
распределения.
Основные особенности:
• Могут использоваться для нечисловых
(порядковых) данных
• Устойчивы к выбросам и искажениям в
• данных
• Отражают структурные особенности
• распределения
• Применяются при асимметричных
• распределениях

17.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Мода и медиана: формулы
Мода (Mo)
Значение признака, которое
встречается в данном ряду
наиболее
часто.
В
дискретном
ряду
мода
определяется по наибольшей
частоте. В интервальном
ряду мода рассчитывается по
специальной формуле с
учетом частот модального и
соседних интервалов.
Медиана (Me)
Значение признака, которое
делит ранжированный ряд на
две равные части. Для
нечетного числа наблюдений
n медиана — это элемент с
порядковым
номером
(n+1)/2. Для четного n
медиана равна среднему
арифметическому
двух
центральных элементов.

18.

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
x— начало модального интервала, то есть интервала, которому соответствует
наибольшая частота (относительная частота)
nM0(ωM0) — частота (относительная частота) модального интервала
nM0-1 (ωM0-1) — частота (относительная частота) интервала, предшествующего модальному
nM0+1(ωM0+1) — частота (относительная частота) интервала, следующего за модальным
0
18

19. Благодарю за внимание!

Казахский университет технологии и бизнеса им. К.Кулажанова
Благодарю за
внимание!