Механика10

1.

МАЯТНИКИ
Пружинный маятник
Fупр = −kx0
mg = kx0
Fупр = −k ( x + x0 )
ma x = mg − k ( x + x0 ) = mg − kx − kx0 = − kx

2.

= − kx
mx
k
x+ x =0
m
x + x = 0
2
0
Для пружинного маятника:
ω0 =
k
m
m
T0 = 2π
k

3.

Физический и математический маятники
Физический маятник это тело, совершающее
под действием силы
тяжести колебания
вокруг горизонтальной
оси, не проходящей
через его центр масс.

4.

Потенциальная энергия
Wп = − mgh
h = a cos
Wп = − mga cos
Кинетическая энергия
I
Wк =
2
а – расстояние
от точки подвеса
до центра масс
2
Полная энергия
I
− mga cos = const .
2
2

5.

Возьмём производную по
времени:
I (2 )
+ ( mga sin ) = 0
2
С учетом = сократим на :
I + mga sin = 0

6.

= , и для малых углов
Учтем
поворота в радианах
sin
I + mga = 0
mga
+
=0
I

7.

Получили уравнение гармонического
2
колебания вида
x + 0 x = 0 .
Для физического маятника
I
mga T = 2
0 =
0
mga
I

8.

Математический маятник – частный
случай физического, тело с массой
сосредоточено в одной точке.
m
Тело, подвешенное на
нити, можно считать
материальной точкой.

9.

Для математического
маятника
I = m
2
0 =
ω0 =
mga
=
I
g
mg
2
m
T0 = 2π
g

10.

Возьмем физический и математический
маятники. Меняя длину нити математического
маятника , добьемся, чтобы периоды
колебаний совпадали.Такую длину называют приведенной длиной физического
маятника. Обозначим ее L.
мат.
L
I
2π
= 2π
g
mga
I
L=
ma
физ.

11.

Точка O’ - это центр
качания физического
маятника.
Если подвесить
маятник за нее, период
колебаний не
изменится.
Так можно измерить
g.

12.

Затухающие колебания
Уравнение затухающих колебаний
Пусть на маятник массы m кроме квазиупругой
силы Fx = -kx действует сила сопротивления
Fсопр = - rv ,r — коэффициент сопротивления.
Тогда
mx
= − kx − rx

13.

Делим на массу:
r
k
x+ x+ x=0
m
m
Обозначим:
r
k
2
= 2 ,
= 0
m
m
— коэффициент затухания,
0 — собственная циклическая частота.

14.

Уравнение движения принимает вид:
x + 2 x + x = 0
2
0
Это дифференциальное уравнение
затухающих колебаний.

15.

Его решение: x = A0 e
− t
cos( t + 0 )
A0 − начальнаяамплитуда,
0 − начальная фаза колебаний,
− циклическая частота
затухающих колебаний:
= −
2
0
2

16.

График x(t) затухающих колебаний
График амплитуды показан пунктирной линией.
A( t ) = A0e
− t

17.

Характеристики затухания
1. Время релаксации — время, за которое
амплитуда колебаний уменьшается в e раз.
A0
e=
=
e
-
A0e
1
1
= 1 или = ; =

18.

2. Логарифмический декремент затухания натуральный логарифм отношения амплитуд,
взятых через период.
− t
A0e
= ln
=
− ( t +T )
A0e
− t
A0e
T
= ln
= ln e
− t − T
A0e e
= T

19.

1
1
= T=
N
N =
T
− число колебаний за время t

20.

3. Добротность колебательной системы Q пропорциональна отношению энергии системы в данный
момент времени к убыли энергии за период
колебаний.
W
Q = 2
- W
Энергия затухающего колебания:
2
2 −2 t
0
kA e
kA
W=
=
2
2
= W0 e
−2 t
W0 − энергия системы при t = 0.

21.

Возьмем производную:
dW
−2 t
= − 2 W0 e
= −2 W
dt
Убыль энергии за период:
dW
− W = −
T = 2 WT = 2 W
dt
W
Q = 2
=
− W
Q = N

22.

При большом затухании ( 0 ) система
совершает апериодическое движение:
выведенная из положения равновесия,
она возвращается в него, не совершая
колебаний.

23. Вынужденные колебания

Происходят под действием периодической
внешней силы.

24.

Добавим в уравнение движения
периодическую силу
F0 cos t
F0 − амплитуда, − циклическая частота
внешнего воздействия
ma = − kx − rv + F0 cos t
квазиупругая
сила
сила
сопротивления
внешняя
периодическая
сила

25.

F0
r
k
x+ x+ x =
cos t
m
m
m
x + 2 x + x = f 0 cos t
2
0
Дифференциальное уравнение
вынужденного колебания
r
2 =
m
k
=
m
2
0
F0
f0 =
m

26.

Установившиеся вынужденные колебания - это
гармонические колебания с частотой равной
частоте вынуждающей силы .
Амплитуда вынужденных колебаний:
A=
f0
( − ) + 4
2
0
2
2
2
2
Она зависит от амплитуды вынуждающей силы
и от частоты воздействия .

27.

Как А зависит от ?
Пусть нет затухания и = 0.
A=
f0
(
f0
= 2
2
2
−
2
2
2 2
0
− + 4
0
)
Амплитуда колебаний
неограниченно возрастает при
= 0

28.

Если есть затухание, то амплитуда
колебаний резко возрастает при
некоторой частоте внешнего воздействия
р.
Это явление называют
резонансом.
р = − 2
2
0
2

29.

Резонансные кривые при разном уровне
затухания
Aр =
f0
2 02 − 2
1 2 ... 4

30.

Если = 0 (статический случай), то
f0
F0
F0
A = x0 = 2 =
=
2
0 m 0
k
(точка на оси у слева – одинакова для
всех кривых)
При
→ , A → 0.

31.

При малых по резонансной
кривой можно определить
добротность:
Q=
Aр
x0

32.

Вынужденные колебания отстают по
фазе от колебаний вынуждающей
силы на величину
2
0 = arс tg 2
2
0 −

33.

При малом р 0 , и в момент
резонанса отставание происходит на
0 = 2.