Лекция 8

1.

Санкт-Петербургский государственный морской технический университет
Кафедра математики
Дисциплина
«Математический анализ»
Раздел 3. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛЕКЦИИ 7

2.

Лекция 8. ПРОДОЛЖЕНИЕ ЛЕКЦИИ 7
В.6. Асимптоты графика функции
В.7. Общий план исследования функций
2

3. Вопрос 6.

В практических задачах часто представляет интерес
исследование поведения функции и формы ее графика при
неограниченном удалении его точек от начала координат. При этом
неограниченно возрастают по абсолютной величине либо обе
координаты точек графика, либо одна из них.
Может случиться, что когда точка M ( x, f ( x)) «стремится по
графику в бесконечность», график у = f (x) неограниченно
приближается к некоторой прямой (рис.7). В этом случае,
расстояние от такой прямой, называемой асимптотой, до графика
у = f (x) стремится к нулю.
Можно выделить следующие типы асимптот.
3

4. Вопрос 6.

4

5. Вопрос 6.

. Наклонные и горизонтальные (как частный случай)
асимптоты.
Определение. Прямая, заданная уравнением у = kx + b,
называется наклонной асимптотой графика функции у = f (x) при
x → +∞ (или при x → –∞), если
lim ( f (x ) − kx − b ) = 0 или f (x ) = kx + b + (x ) ,
(5)
x →
где (x ) → 0 при x → .
5

6. Вопрос 6.

На рис.7 схематически изображены именно наклонные
асимптоты. Если k = 0 , то уравнение y = b задает горизонтальную
асимптоту.
Пусть график функции у = f (x) имеет асимптоту y = kx + b при
x → + (рис.7, а).
f ( x)
k = lim
.
x → +
x
(6)
Тогда из равенства (5) следует, что
b = lim ( f ( x) − kx).
x → +
(7)
если существуют конечные пределы (6) и (7), то из соотношения (7)
сразу получаем (5), т.е. приходим к наличию наклонной асимптоты.
6

7. Вопрос 6.

Вертикальные асимптоты.
Определение. Прямая x = a называется вертикальной
асимптотой графика у = f (x), если хотя бы одно из предельных
lim f (x ) равно + или − . Из
lim f (x ) ,
значений x →
x →a −0
a+0
определения следует, что для отыскания вертикальных асимптот
графика функции у = f (x) нужно найти точки, вблизи которых
данная функция неограниченно возрастает (в частности, точки
бесконечного разрыва). Если a − такая точка, то уравнение x = a
задает вертикальную асимптоту графика функции у = f (x).
7

8. Вопрос 7.

Для исследования функции и построения четкого эскиза ее
графика, можно рекомендовать следующий общий план
исследования.
1. Установить область определения функции. При наличии
точек разрыва найти в них односторонние пределы данной
функции; определить, имеет ли график функции вертикальные
асимптоты.
2. Найти наклонные асимптоты графика функции.
3. Отметить свойства графика функции, не связанные с
производными, например, симметрию и периодичность.
4. Найти точки пересечения графика функции с осями
координат.
5. Вычислив первую производную функции, установить
промежутки ее возрастания и убывания, определить экстремумы.
6. С помощью второй производной исследовать характер
выпуклости графика функции, найти точки перегиба.
8

9. Вопрос 7.

Эскиз графика функции можно уточнить, найдя точки пересечения
кривой с осями координат. Точки пересечения графика функции у = f (x) с
осью Ox определяются из уравнения: f (x) = 0. Точки пересечения графика
функции у = f (x) с осью Oy можно найти, положив x = 0, т.е. вычислив
значения f (0).
Некоторые характерные свойства графика можно установить без
использования производных. В частности, таково свойство периодичности
функции; свойство четности ( f (–x) = f (x)) − график четной функции
симметричен относительно оси Oy , нечетности ( f (–x) = –f (x)) − график
нечетной функции симметричен относительно начала координат.
9

10. Вопрос 7. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. Действия с комплексными числами в различных формах
2. Примеры.
Все рассматриваемые до сих пор задачи решались на множестве
вещественных чисел. Однако для решения многих задач требуется
расширить множество вещественных чисел. Расширением
множества вещественных чисел является множество комплексных
чисел. Перейдем к его построению
10

11. Вопрос 7. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Комплексным числом z называют выражение вида
z = x + jy ,
где x и y – действительные числа ( x, y R ) ; j – мнимая
единица ( j 2 = −1 или j = −1 ) .
Выражение x + jy называется алгебраической формой
комплексного числа (x;y). Число x называют действительной
частью комплексного числа z и обозначают x = Re z , а число y
– мнимой частью числа z и обозначают y = Im z .
11

12. Вопрос 7. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Геометрическая интерпретация комплексных чисел
(рис.1):
r = z 0
= arg z
− .
Рис.1
12

13. Вопрос 7. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Если на плоскости введена прямоугольная декартова система
координат Oxy , то всякое комплексное число ( x; y ) можно
изобразить точкой на плоскости. Плоскость, изображающая
множество комплексных чисел, называется комплексной
плоскостью и обозначается z . Ясно, что при этом
устанавливается взаимно однозначное соответствие между
множеством комплексных чисел и множеством точек комплексной
плоскости (ось ОX – действительная ось, OY – мнимая ось).
13

14. Вопрос 7. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Алгебраическая
форма
z = x + jy,
x = Re z ,
y = Im z
(Рис.1).
Комплексное число z
Тригонометрическая
форма
z = r (cosφ + j sin φ),
Показательная
форма
z = e jφ = cosφ + j sinφ
z = r = x2 + y 2 , ( r 0) ,
φ = arg z , −π φ π.
(Рис.1).
14

15. Вопрос 7. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Значение аргумента, удовлетворяющее условию
−π<φ π называют главным и обозначают arg z , а множество
всех значений аргумента обозначают Arg z и
Arg z = arg z + 2πk , k Z :
y
arctg x , если z I, IV четверти
arctg y + π, если z II четверти
y
x
tg φ = φ=arg z =
x
arctg y − π, если z III четверти
x
π
sign(y ), если x =0, y 0.
2
15

16. Вопрос 7. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

1. В алгебраической форме арифметические действия с
комплексными числами выполняются как действия с двучленами:
z1 + z2 = ( x1 + jy1 ) + ( x2 + jy2 ) = ( x1 + x2 ) + j ( y1 + y2 );
z1 − z2 = ( x1 + jy1 ) − ( x2 + jy2 ) = ( x1 − x2 ) + j ( y1 − y2 );
z1 z2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + j ( x1 y2 + x2 y1 ) ;
z1 z1 z2 ( x1 + jy1 ) ( x2 − jy2 ) x1 x2 + y1 y2
x2 y1 − x1 y2
=
=
=
+j
,
2
2
2
2
z2 z2 z2 ( x2 + jy2 ) ( x2 − jy2 )
x2 + y2
x2 + y2
где
z2 = ( x2 − jy2 )
- комплексно сопряженное к числу
z2 = ( x2 + jy2 ) .
16

17. Вопрос 7. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Чтобы найти сумму или разность двух чисел, заданных в
тригонометрической (показательной) форме, необходимо оба числа
записать предварительно в алгебраической форме и после этого
выполнить указанное действие.
3. Возведение в степень и извлечение корня n-й степени.
Если z = r (cosφ + j sin φ) = re jφ , то:
z n = r n ( cos nφ + j sin nφ ) = r n e jφn – формула Муавра,
j
φ + 2πk
φ + 2πk n
n
n
z = r cos
+ j sin
= r e
n
n
где k = 0, 1, 2,..., n − 1.
φ + 2πk
n
,
Итак, n z имеет n различных значений.
17

18. Вопрос 7. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Операции сложения и умножения комплексных чисел в
алгебраической форме можно выполнять по обычным правилам
алгебры многочленов, если учесть, что
j 2 = -1, j 3 = − j , j 4 = 1 и, вообще, j4n+1 =j, j4п+2=-1,j4n+3 = j,
j4n = 1, где п - любое натуральное число.
Таким образом,
1, если n = 4k
j если n = 4k + 1
jn =
−1, если n = 4k + 2
− j , если n = 4k + 3, k = 0,1, 2,...
18

19. Вопрос 7. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Число z = 0 имеет модуль, равный нулю, а аргумент для него
не определяется. Зная модуль и аргумент комплексного числа,
можно по формулам x = r cos ; y = r sin найти ее вещественную
x и мнимую y части. Наоборот, зная вещественную и мнимую
части комплексного числа, можно найти модуль этого числа по
формуле
r = x2 + y 2 ,
которая получена после возведения в квадрат каждой из частей
равенств x = r cos ; y = r sin , сложения и извлечения квадратного
корня. Аргумент при этом определяется с помощью формул
x
cos = =
r
x
x2 + y 2
,
y
sin = =
r
b
x2 + y 2
.
19

20. Вопрос 7. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Перемножать, делить, возводить в степень, извлекать корень
удобнее, если комплексное число записано в тригонометрической
или показательной формах.
z1 z2 = r1 (cos 1 + j sin 1 ) r2 (cos 2 + j sin 2 ) =
= r1 r2 (cos( 1 + 2 ) + j sin( 1 + 2 )) .
z1 z2 = r1e j 1 r2e j 2 = r1 r2 e j ( 1 + 2 ) .
z1 r1
r1 j ( 1 − 2 )
.
= ( cos( 1 − 2 ) + j sin( 1 − 2 ) ) = e
z2 r2
r2
20

21. Вопрос 7. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Свойства сопряженных чисел и модуля комплексного числа
Re z z
а)
z1 z2 = z1 z2
а)
б)
(z1 z2 ) = z1 z2
б)
z1 + z2 z1 + z2
в)
z1 z1
=
z z
2
2
в)
z1 − z2 z1 − z2
г)
z1 z2 = z1 z2
д)
z1
z1
=
z2
z2
г)
д)
е)
(z ) = z
z z = z
2
Im z z
z + z = 2 Re z
z − z = 2 j Im z
21

22. Вопрос 2. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

4−3j
Пример 1. Записать комплексное число z =
4+3j
в
алгебраической форме.
Решение.
Умножим числитель и знаменатель на число,
сопряженное знаменателю, т.е. на число 4 − 3 j . Будем иметь
4 − 3 j (4 − 3 j )(4 − 3 j ) 16 − 24 j − 9 7 − 24 j 7 24
=
=
=
= −
j.
4 + 3 j (4 + 3 j )(4 − 3 j )
16 + 9
25
25 25
22

23. Вопрос 2. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Пример 2. Записать комплексное число z = −2 + 2 j
тригонометрической форме.
Решение. В соответствии с изложенным можем написать
в
z = (−2)2 + 22 = 2 2, x= - 2 0, y = 2 0 ( x; y) II четверти
y
2
3
= arctg ( ) + = arctg (
)+ = .
x
4
− 2
Следовательно,
данное
комплексное
тригонометрической форме имеет вид
число
в
3
3
z = 2 2 cos + j sin .
4
4
23

24. Вопрос 2. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Пример 3. Найти произведение чисел
3
3
11
11
+ j sin .
z1 = 2 cos
+ j sin
и z2 = 8 cos
8
8
4
4
| z1 |= 2, а | z2 |= 8, то
Решение. Так как
| z1 z2 |= 2 8 = 4. Учитывая, что аргумент произведения
z1 z2 равен сумме аргументов сомножителей, сможем написать
11 3 25
=
+
= , а тогда
4
8
8
25
9
9
25
z1 z2 = 4 cos + j sin = 4 cos 2 + + j sin 2 + =
8
8
8
8
9
9
= 4 cos + j sin .
8
8
24

25. Вопрос 2. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Пример 4. Вычислить по формуле Муавра
( 3 + j) .
Решение. Запишем сначала комплексное число
3
3+ j в
тригонометрической форме 3 + j = 2 cos + j sin .
6
6
3
3
3
3
3
+
j
=
2
cos
+
j
sin
Тогда
= 8(0 + j ) = 8 j.
6
6
(
)
25

26. Вопрос 2. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Пример 5. Найти все значения 3 1 из множества
комплексных чисел.
Решение. Рассматривая число 1 как комплексное число 1 + 0j,
легко заметить, что его модуль равен 1, а главное значение аргумента
равно 0. По формуле (7) имеем
+ 2 k
+ 2 k
n
n
z = r cos
n
+ j sin
n
, k = 0, 1, 2, ..., n − 1.
+ 2 k
+ 2 k
+ j sin
Тогда 1 = 1 cos
, k = 0,1, 2.
3
3
2 k
2 k
,
= 0, т.е. 3 1 = cos
+ j sin
3
3
при k = 0 w1 = cos 0 + j sin 0 = 1,
при
2
2
1
3
0
k = 1 w2 = cos
+ j sin
=− + j
,
3
3
2
2
3
Рис. 2
3
26

27. Вопрос 2. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

при k = 2 w3 = cos
4
4
1
3
+ j sin
=− − j
.
3
3
2
2
Таким образом,
0
Рис. 3
Если корни w1, w2 , w3 , лежащие на окружности соединить
отрезками, то получим правильный треугольник.
27

28. Вопрос 2. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

2
Пример 6. Решить уравнение z + 3z + 3 = 0.
Решение. Используя формулу для решения квадратных
уравнений, можем написать
−3 9 − 12 −3 −3
3
−3
z=
=
=−
.
2
2
2
2
−3 = j 3,
Учитывая,
что
будем
иметь
3
3
3
3
z1 = − +
j , z2 = − −
j.
2 2
2 2
28

29. Вопрос 2. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Пример 7. Пусть z1 = 3 + 4 j – вершина квадрата, лежащая на
окружности x 2 + y 2 = 25 . Найти остальные вершины.
Решение. Имеем z2 = z3 = z4 = z1 = 5
z
z2
z3
y
z1
0
x
5 x
z4
Рис. 4
j
Т.к.
2
= , то достаточно повернуть z1
4
2
на угол
2
последовательно три раза.
Тогда
z2 = z1 e 2 = jz1 = −4 + 3 j
29

30. Вопрос 2. ТЕМА: КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

j
z3 = z2 e 2 = jz2 = −3 − 4 j
j
z4 = z3 e 2 = jz3 = 4 − 3 j .
30