Статистическое моделирование

1.

2. Сложная система

• Наличие большого количества разнородных
взаимодействующих элементов
• Сложность выполняемой системой функции
• Возможность разбиения на подсистемы, цели
функционирования которых подчинены общей цели
функционирования системы
• Наличие управления, разветвленной
информационной сети и интенсивных потоков
информации
• Функционирование в условиях действия большого
количества случайных факторов

3. Случайные воздействия на систему

внешние
связаны со случайными
изменениями той среды, в
которой работает система
Например, «колебание
нагрузки»:
• резкое увеличение числа
заявок на телефонные
разговоры,
• значительные изменения
пассажиропотока на
транспорте,
• включение мощных
потребителей электроэнергии
и др.
внутренние
связаны с ненадежной
работой элементов системы:
случайные выходы
параметров за допустимые
пределы,
выходы из строя отдельных
элементов системы

4. Статистическое моделирование систем на ЭВМ

V={vi}
Y
Х
S
Х={xi}
Yi=F(xi,vi)
Yср=(1/N)(Y1+…+YN)

5. Статистическое моделирование систем на ЭВМ

Общая характеристика метода
статистического моделирования
Статистическое моделирование
воспроизведение с помощью ЭВМ
функционирования
вероятностной модели
некоторого объекта
и оценивание
средних характеристик модели

6. Метод статистического моделирования, или метод Монте-Карло

,
M =m,
D =b2
1
mˆ 1 ... N
N

7. ЦПТ

: Распределение
суммы независимых одинаково
распределенных случайных величин при
больших N сходится по вероятности к
нормальному распределению
z a
1
F x P N x
exp
2
2
2
x
2
dz

8. Статистическое моделирование

распределение
суммы
N 1 ... N
будет приближенно
нормальным с M N a Nm
Nb
2
2

9. Асимптотика ЦПТ

P N mN / b N x
1 x
t2
exp dt
2 x 2
2 x
t2
exp dt x
2 0
2

10. Погрешность вычисления

1 N
xb
x
P i m
N
N i 1
x=2
Ф(x)=0.95

11. Доверительный интервал

1
P
N
N
i 1
xb
1
i
m
N
N
xb
i
x
N
N
i 1

12. Пример решения детерминированной задачи

G
N
N’
P
1 N
M i S P N ' / N
N i 1

13. Статистическое моделирование систем на ЭВМ

• Как выбрать удобную случайную
величину для расчетов?
• Как находить значения
произвольной случайной
величины?

14. Эталон

•Стандартная случайная
величина, равномерно
распределенная на
интервале (0,1)

15. Свойства 

Свойства
• Плотность равномерно распределенной
величины – постоянная, обозначим ее k.
1
kdx 1
0
x
• F (x)=P( <x)= . kdu x
0
• Отсюда следует одно из важных свойств :
• P(x1< <x2)= x2-x1, - вероятность попасть в
интервал равна длине этого интервала!
• M =1/2, D =M 2-(M )2=1/12.

16. Случайные числа и случайные цифры

Получение случайных величин на ЭВМ
Сл.в. γ:
pγ(x)=1, Fγ(x)=x, Mγ=1/2, Dγ=1/12
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1
k 10 k
k 1

17. Три способа получения случайных чисел

Табличный
86515
69186
41686
86522
72587
94377
91641
90795
03393
42163
47171
93000
57802
18867
66515
42502
85181
88059
89688
52452
76773
66434
99224
38967
89342
78416
42499
97526
56558
88955
33181
67248
27589
33346
27256
12332
53758
72664
09082
99528
83935
66447

18. Датчики

∆
(mod 2):
0 при четном и
1 при нечетном
p(0)=p(1)
0 - при 01 и 1 – при 10, тогда P(01)=p(1-p)=P(10)

19.

Псевдослучайные числа
(алгоритмический способ)

20. Статистическое моделирование систем на ЭВМ

Контрольные вопросы
•Метод Монте-Карло
•Погрешность метода
•Доверительный интервал для оцениваемой величины
•Случайные числа и случайные цифры
•«Эталон» случайной величины
•Способы получения случайных чисел

21. Преобразования случайных величин

Моделирование дискретных случайных величин
(1)
x1
p1
x2
p2
. . . xn
,
. . . pn
i
0
p1 p1+p2 p1+p2+p3 …
Pi=P(ξ=xi)
длина
1
i=pi
x

22. Моделирование дискретных случайных величин

Теорема 1: Случайная величина , определенная
формулой
=xi, когда i ,
имеет
распределение вероятностей (1).
Доказательство: P( =xi)=P( i )=длина i=pi,
что и требовалось доказать

23. Пример

• В результате обработки детали на станке
получается 4% брака. Смоделировать
прохождение детали через станок (обработку).
• Возьмем сл. в. = Б Г
0,04 0,96
• If <0,04 then =Б else =Г.
• If <0,96 then =Г else =Б.