Тепломассообмен. Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена. Условия однозначности

1. Тепломассообмен 10

● Система дифференциальных
уравнений конвективного
теплообмена
● Условия однозначности

2. К дифференциальному уравнению теплопроводности в жидкости

z
dQz dz
dQx
wx
dz
dQ y
wy
0
x
dQx dx
dy
dx
dQz
wz
dQy dy
y

3. Уравнение теплового баланса

В математической физике изучают явление в бесконечно
малом объеме dv за бесконечно малый промежуток времени
d , что позволяет пренебречь величинами 2 порядка малости.
Принимаются допущения: тело однородно и изотропно;
физические свойства тела в малом объеме dv постоянны;
внутренние источники теплоты отсутствуют.
По аналогии с дифференциальным уравнением теплопроводности в твердом теле, которое было выведено ранее, можно
получить дифференциальное уравнение теплопроводности
в жидкости (уравнение энергии Фурье – Кирхгофа).
Уравнение теплового баланса:
Q Q1,
(1)
где Q – изменение внутренней энергии объема dv за время d :

4. Ряд Тейлора

Q dv( h )d
Q1
(2)
- изменение внутренней энергии
объема dv за время
теплота, подведенная
конвекцией и теплопроводностью
к объему dv за время
d
.
Теплота на входе вдоль оси х:
Теплота на выходе вдоль оси х:
Если функция
d ;
Q1 Qx1 Qy1 Qz1,
(3)
Qx1 dQx dQx dx ,
(4)
dQx qx dydzd ,
dQx dx qx dx dydzd .
(5)
(6)
qx dx в интервале dx непрерывна и
дифференцируема, то ее можно разложить в ряд Тейлора:
qx dx 2 qx dx 2
qx dx qx
2
...
x 1! x 2!
2
2
q
dx
x
где
0, как величина 2 порядка малости.
2
x 2!
(7)

5. Теплота, подведенная теплопроводностью и конвекцией

Подставляя (5), (6), (7) в (4), имеем теплоту, подведенную
вдоль оси х к бесконечно малому объему dv за бесконечно
малый промежуток времени d :
qx
qx
qx
Qx1 (qx qx
dx)dydzd
dxdydzd
dvd .
x
x
x
q y
Qy1 dQy dQy dy
dvd ,
Аналогично
y
вдоль осей y и z:
q
Qz1 dQz dQz dz z dvd .
z
После подстановки (2), (3), (8), (9), (10) в (1) получаем:
qx q y qz
h
dv( )d (
)dvd ,
x y z
(8)
(9)
(10)

6. Теплота, подведенная к элементарному объему

После сокращения на dv,
где
d
имеем:
qx q y qz
divq
.
x y z
(
h
) divq,
Тогда теплота, подведенная к объему dv за время
конвекцией и теплопроводностью:
где
wx
в единицу времени, кг/(м2с).
Аналогично вдоль оси y
и вдоль оси z:
qy wy h t
y
qz wz h t
z
.
d
t
qx wx h ,
x
расход массы через единицу сечения
;
(11)
(12)

7. Общий вид дифференциального уравнения энергии Фурье-Кирхгофа

qx
h wx
2t
Возьмем производные
(wx h
) 2 ;
x
x
x
x
по координатам х, y, z
2
q y
wy
h
t
от тепловых потоков:
(wy h
) 2 ;
y
y
y
y
qz
h wz
2t
(wz h
) 2 .
z
z
z
z
(13)
(14)
(15)
После подстановки (13), (14), (15) в (11) получим общий
вид дифференциального уравнения энергии Фурье-Кирхгофа:
h
2t 2t 2t
h
h
h
( 2 2 2 ) (wx wy wz )
x
y
z
x y z
w w w
h( x y z ).
x
y
z
(16)

8. Развернутое выражение дифференциального уравнения энергии

В уравнении (16) выражение
wx wy wz
0
x
y
z
(17)
представляет собой дифференциальное уравнение
сплошности (неразрывности) течения жидкости.
Введем также обозначение
оператора Лапласа:
2t 2t 2t
2t
.
x 2 y 2 z 2
(18)
С учетом выражений (17) и (18) уравнение энергии
примет вид:
(
h
h
h
h
wx wy wz ) 2t,
x
y
z
(19)
где энтальпия h = cpt, тогда развернутое уравнение энергии:
t
t
t
t
c p ( wx wy wz ) 2t.
x
y
z
(20)

9. Дифференциальное уравнение энергии Фурье-Кирхгофа

В уравнении (20) выражение в скобках представляет собой
полную (субстанциональную) производную от температуры
t
t
t
t Dt
wx wy wz ,
x
y
z d
где проекции скоростей
x
y
z
wx ; wy ; wz .
жидкости на оси координат:
После деления уравнения (20) на c ,
p
по времени и координатам:
с учетом (21) и обозначения коэффициента
температуропроводности жидкости:
получаем окончательное выражение
дифференциального уравнения энергии:
(21)
a
cp
Dt
a 2t.
d
(22)

10. Дифференциальное уравнение движения жидкости Навье-Стокса

Частным случаем дифференциального уравнения энергии
(22) для твердого тела (wx wy wz 0) является
t
дифференциальное уравнение теплопроводности, которое было выведено ранее:
a 2t
.
Вывод дифференциального уравнения движения жидкости
Навье-Стокса сложен, поэтому
оно приводится без вывода:
где оператор Гамильтона
для давления:
Dw
1
2
g p w,
d
p
p p p
.
x y z
Стрелки в уравнении (1) отмечают векторные величины.
(1)

11. Продольное обтекание жидкостью вертикальной пластины

Невозмущенная
жидкость
w0
0
y
Эпюра скоростей
w
Q
w0
0
Эпюра температур
tc
c
t
k
x
tж

12. Проекции дифференциального уравнения движения на оси координат

При продольном обтекании вертикальной пластины, когда ось
«х» направлена вниз, проекции ускорения на оси координат:
g y gz 0
падения.
, тогда
gx g 9,81м / с2
- ускорение свободного
Dwx
1 p
g
2 wx ;
уравнения Навье-Стокса (1) d
x
на оси координат:
Dwy
1 p
2 wy ;
d
y
В этом случае проекции
Dwz
1 p
2 wz .
d
z
(2)
(3)
(4)

13. Составляющие проекций уравнения движения на оси координат

В левых частях уравнений (2), (3), (4) находятся полные
(субстанциональные) производные от скоростей по времени
Dwx wx
wx
wx
wx
и координатам:
w
w
w
;
d
Dwy
wy
x
wx
x
wy
y
wy
y
wy
z
wz
z
wy
;
d
x
y
z
Dwz wz
w
w
w
wx z wy z wz z ,
d
x
y
z
2
2
2
w
w
wx
x
x
2 wx
;
2
2
2
x
y
z
Введем обозначения
операторов Лапласа:
2 wy
2 wy
2 wy
2 wy
2
2
2
w
w
wz
z
z
2 2 2 ; 2 w
.
z
2
2
2
x
y
z
x
y
z

14. Система дифференциальных уравнений конвективного теплообмена

Дифференциальное уравнение сплошности (неразрывности):
wx wy wz
0,
x
y
z
или в
(5)
векторной форме:
div w 0.
(6)
Итак конвективный теплообмен описывается системой
дифференциальных уравнений:
Чтобы из бесконечного
множества процессов,
описываемых системой
уравнений (7), выделить
конкретный процесс,
надо добавить условия
однозначности.
d
;
c dy
Dt
a 2t;
d
Dw
1
g p 2 w;
d
divw o.
(7)

15. Условия однозначности

● Геометрические условия: вертикальная плоскость длиной
● Физические условия:
, , a, ,
0
;
величины постоянные,
берутся при определяющей температуре. Чаще всего ей
является средняя температура жидкости
● Начальные условия: при
tж .
0 t f ( x, y, z);
● Граничные условия I рода: при
x 0 wx w0; wy wz 0; 0 tж tж 0;
0 x 0; y 0 wx wy wz 0; c tc tж Const.
(8)
В системе дифференциальных уравнений и условиях
однозначности есть три вида величин: независимые переменные -
x, y, z;
постоянные величины -
зависимые переменные -
w0 , 0 ,tж , c , , , a, , ;
, , wx , wy , wz , p.

16. Общие решения задачи конвективного теплообмена

Шесть неизвестных (независимых величин) могут быть
найдены при наличии шести уравнений. С учетом того, что
уравнение Навье-Стокса в проекциях на оси координат дает
три дифференциальных уравнения, общие решения системы
уравнений (7) с граничными условиями (8):
f1( x, y, z, w0 , 0 ,tж , c , , , a, , );
f 2 ( x, y, z, w0 , 0 ,tж , c , , , a, , );
wx f 3 ( x, y, z, w0 , 0 ,tж , c , , , a, , );
wy f 4 ( x, y, z, w0 , 0 ,tж , c , , , a, , );
wz f 5 ( x, y, z, w0 , 0 ,tж , c , , , a, , );
p f 6 ( x, y, z, w0 , 0 ,tж , c , , , a, , ).
(9)