Построение эпюр M, Q и N в балках и рамах

1. Побудова епюр M, Q та N у балках та рамах. Визначення розмірів перерізу

2.

Для заданных балок, закрепленных и
нагруженных как показано на рисунке,
требуется:
1) определить опорные реакции;
2) построить эпюры поперечных сил и
изгибающих моментов, определив их
значения во всех характерных точках, При
этом для каждого участка записать
аналитические выражения Мх и Qy с полным
их исследованием.

3. Задача 1.

Рисуем расчетную схему, заданной балки.
y
RA=24.533 кН
P =40 кН
P =40 кН
RD =24.533кН
z
М =24 кНм
HA
A
C
B
2м
4м
D
1,5 м
1. Определяем опорные реакции.
е
е
е
Fz = 0 : H A = 0
M A = 0 : - 2 ЧP + 6 ЧP + 7,5 ЧRD + M = 0
2 Ч40 - 6 Ч40 - 24
RD =
= - 24.533(кН )
7.5
M D = 0 : 5,5 ЧP - 1,5 ЧP - 7,5 ЧRa + M = 0
RA =
5,5 Ч40 - 1.5 Ч40 + 24
= 24.533(кН )
7.5
Проверка:
е
Fy = 0 : - P + P + RA - RD = - 40 + 40 + 24.533 - 24.533 = 0

4.

2. Определяем значения поперечных сил и изгибающих моментов.
1
z1
RA=24.533 кН
y
P =40 кН
P =40 кН
RD =24.533кН
М =24 кНм
A
C
B
2м
4м
D
1,5 м
1
z
Правило знаков
при определении
изгибающих моментов Mx
0≤z1 ≤ 2м
Mx(z1)=RА∙z1;
Mx(0)= 24,533∙0 = 0 (кНм);
Mx(2)= 24,533∙2 = 49,067кНм;
Qy(z1)=RА=24.533кН − const
при определении
поперечных сил
Qy
+
-
+
-

5.

y
2
z2
RA=24.533 кН
P =40 кН
P =40 кН
RD =24.533кН
z
М =24 кНм
A
C
B
2м
4м
D
1,5 м
2
0 ≤ z2 ≤ 4 м
Mx(z2) = RA∙(2+z2) – P ∙z2 – М;
Mx(0) = 24,533∙(2+0) – 40 ∙0 – 24= 25,067 (кНм);
Mx(4) = 24,533∙(2+4) – 40 ∙4 – 24= = – 36,8 (кНм);
Qy(z2) = RA – P = 24,533 – 40= 15,467 (кН) – const;

6.

1
z1
RA=24.533 кН
z2
y
3 z
3
P =40 кН R =24.533кН
D
P =40 кН
z
М =24 кНм
A
C
B
2м
1
4м
D
1,5 м
2
3
0 ≤ z3 ≤ 1,5м
Mx(z3) = – RD ∙z3 ;
Mx(0) = – 24,533 ∙0 = 0 (кНм);
Mx(1,5) = – 24,533 ∙1,5 = = – 36,8 (кНм);
Qy(z3) =RD = 24,533(кН) – const;

7. 3. Построение эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx .

1
z1
RA=24.533 кН
z2
y
3 z
3
P =40 кН R =24.533кН
D
P =40 кН
z
М =24 кНм
C
B
1,5 м
3
2
24,533
1
4м
24,533
24,533
2м
D
+
+
15,667
+
49,067
25,067
Qy, кН
15,667
36,8
+
24,533
A
-
Mx, кНм

8. Задача 2.

A
Задача
2.
М =24 кНм
Rc =20кН
Равнодействующая
q =12 кН/м
RA=28 кН
D
C
2мB
2м
4м
2м
1,5 м
1. Определяем опорные реакции.
е
M A = 0 : - 4 Чq Ч2 + 6 ЧRc - M = 0
Rc =
е
M С = 0 : 4 Чq Ч4 - 6 ЧRA - M = 0
RA =
Проверка:
е
4 Ч12 Ч2 + 24
= 20(кН )
6
4 Ч12 Ч4 - 24
= 28(кН )
6
Fy = 0 : - 4 Чq - RA + Rc = - 4 Ч12 + 28 + 20 = - 48 + 48 = 0

9.

2. Определение внутренних усилий Qy и Mx.
1
z1
RA=28 кН
q =12 кН/м
Rc =20кН
М =24 кНм
A
4м
D
C
B
2м
1,5 м
1
0 ≤ z1 ≤ 4м
Mx(z1) = RA∙z1 – z1∙q∙z1/2;
Qy(z1) = RA – z1∙q;
Mx(0) = 28∙0 – 0∙12∙0/2 = 0;
Qy(0) = 28 – 0∙12 = 28(кН);
Mx(4) = 28∙4 – 4∙12∙4/2=
= 16 (кНм);
Qy(4) = 28 – 4∙12 = –20 (кН);
dM x (z1 )
= R A - z1 Чq = 0
dz1
z1,max =
RA 28
=
= 2.33(м)
q
12
Определим экстремум функции Mx
Mx, max (2,33) = 28∙2,33+2,33∙12∙2,33/2=
= 32,67(кНм);

10.

1
z1
RA=28 кН
2
3 z
3
z2
Rc =20кН
q =12 кН/м
М =24 кНм
A
4м
1
D
C
B
2м
1,5 м
2
3
0 ≤ z2 ≤ 2м
Mx(z2) = RС∙z2 – М;
Mx(0) = 20∙0 – 24= – 24 (кНм);
Mx(2) = 20∙2– 24= 16(кНм);
Qy(z2) = – RС = – 20 (кН) – const;
0 ≤ z3 ≤ 1,5м
Mx(z3) = – М = – 24 (кНм) – const;
Qy(z3) =0;

11. 3. Построение эпюр поперечных сил Qy и изгибающих моментов Mx .

RA=28 кН
Rc =20кН
q =12 кН/м
М =24 кНм
A
4м
D
C
B
2м
1,5 м
28
+
z1, max=2,3
Qy, кН
-
20
20
24
+
16
Mmax=32.67
24
-
Mx, кНм
d 2 M x (z2 )
= - q;
2
dz2

12.

Ra=18 кН
Ra
A
q =12 кН/м
B
q =12 кН/м
2м
Rc =82кН
Rc
P =40 кН
D
C
4м
М =24 кНм
1,5 м
1. Определяем опорные реакции.
е
M A = 0 : - 7,5 ЧP + 2 Чq Ч1- 4 Чq Ч4 + 6 ЧRc - M = 0
Rc =
е
7,5 Ч40 - 2 Ч12 Ч1 + 4 Ч12 Ч4 + 24
= 82(кН )
6
M С = 0 : 1,5 ЧP - 2 Чq Ч5 + 4 Чq Ч2 - 6 ЧRA - M = 0
RA =
1,5 Ч40 - 2 Ч12 Ч5 + 4 Ч12 Ч2 - 24
= - 18(кН )
6
Проверка:
е
Fy = 0 : - P + 2 Чq - 4 Чq - RA + Rc = - 40 + 2 Ч12 - 4 Ч12 - 18 + 82 =
= 106 - 106 = 0

13.

2. Определяем значения поперечных сил и изгибающих моментов.
1
Rc =82кН
z1
q =12 кН/м
Ra=18 кН
A
B
q =12 кН/м
4м
2м
P =40 кН
C
D
М =24 кНм
1,5 м
Балка имеет 3
участка: АВ, ВС,
СD.
1
0 ≤ z1 ≤ 2м
Mx(z1) = – RA∙z1+ z1∙q∙z1/2;
Qy(z1) = – RA+z1∙q;
Mx(0) = – 18∙0+0∙12∙0/2 = 0;
Qy(0) = – 18+0∙12= – 18(кН);
Mx(2) = – 18∙2+2∙12∙2/2=
= – 12 (кНм);
Qy(2) = – 18+2∙12= 6 (кН);
dM x (z1 )
= –R A + z1 Чq = 0
dz1
z1,max =
RA 18
=
= 1.5(м)
q
12
Mx, max (1.5) = – 18∙1,5+1,5∙12∙1,5/2=
= – 13,5 (кНм);

14.

1
z2
z1
Rc =82кН
q =12 кН/м
Ra=18 кН
A
P =40 кН
C
B
q =12 кН/м
4м
2м
0 ≤ z2 ≤ 4м
2
1
D
М =24 кНм
1,5 м
2
Mx(z2) = – RA∙(2+z2)+2∙q∙(1+z2) – z2∙q∙z2/2 ;
Mx(0) = – 18∙(2+0)+2∙12∙(1+0) – 0∙12∙0/2 = – 12(кНм);
Mx(4) = – 18∙(2+4)+2∙12∙(1+4) – 4∙12∙4/2 = – 84 (кНм);
Qy(z2) = – RA+2∙q – z2∙q;
Qy(0) = – 18+2∙12 – 0 ∙ 12= 6 (кН);
Qy(4) = – 18+2∙12 – 4 ∙ 12= -42 (кН);
dM x (z2 )
- RA + 2 Чq - 18 + 2 Ч12
= – RA + 2 Чq - q Чz2 = 0; z 2,max =
=
= 0.5(м)
dz2
q
12
Mx, max (0.5) = – 18∙2,5+2∙12∙1,5 – 0,5 ∙12∙0,5/2 = – 10,5 (кНм);

15.

1
z2
z1
2
Rc =82кН 3z
3
q =12 кН/м
Ra=18 кН
A
P =40 кН
C
B
q =12 кН/м
4м
2м
1
2
D
1,5 м
3
0 ≤ z3 ≤ 1,5м
Mx(z3) = – P∙z3;
Mx(0) = – 40∙0=0;
Mx(1.5) = – 40∙1.5= 60(кНм);
Qy(z3) = P=40 (кН) – const;
3. Строим эпюры изгибающих моментов и
поперечных сил.

16.

1
z2
z1
2
Rc =82кН 3z
3
q =12 кН/м
Ra=18 кН
A
P =40 кН
C
B
q =12 кН/м
4м
2м
1
2
D
М =24 кНм
1,5 м
3
40
+
6
18
42
z2, max=0.5
84
60
2
d M x (z2 )
= - q;
dz22
Qy, кН
-
d 2 M x (z1 )
= q; z1, max=1.5
2
dz1
40
13.5
-
12
10.5
-
-
Mx, кНм