Небесная механика

1.

2017 ( есть дефекты)
Небесная механика
Банникова Е.Ю.

2.

Законы
Кеплера
• Первый закон Кеплера… и длина эллипса
Параметрическое уравнение эллипса
x
acos
y
bsin
Длина эллипса
2
L
yd
dl
rd
2
/2
1 e
2
x
0
E(e)
d
0
2
- полный эллиптический интеграл 2-го рода
sin
2
Длина окружности
E(0)
4aE(e)
/2
L
2 a

3.

Гравитационный потенциал
Материальной
точки
GM
r
Сферической оболочки
Sph
GM
, r a
r
GM
, r a
a
Внутри сферической оболочки пробная частица находится в невесомости.
Теорема Ньютона: обобщение на эллипсоидальный слой

4.

Притяжение пробной частицы внутри сферы:
элементарные соображения
Телесный угол
d
2
21
F
F2
2
dS
r1
1
2
dS
r2
2
dm1 r 2dS r
r12 dm 2 1 r1 dS 2
1
2
2
F
M
2
r
S
Const
2
r

5.

Гравитационный потенциал шара
Потенциал сферы
Sph
GM
r
GM
a
внутр
шар
a
4 G 2
r
,r a
a
4 G a, r a
сфера
внутр
сфера
r
2
4 G
внутр
шар
0
внутр
шар
внеш
шар
внешн
сфера
a
r
dr
rGM
(3
23a
GM
r
r
a2
r dr
r 2)
r

6.

Гравитационный потенциал шара
Теорема Дирихле
4 G , внутри объема
вне объема
r a
r
r a
out
1
r2
2
r r
,
out
0,
1
2
2
r r r
1
0
r
out
out
4 G
c2
r
c2 0, c 2 GM
r
c
out
inner
GM
r
2
3G r2
c
1
r
c2

7.

Гравитационный потенциал шара
Учитываем сшивку на границе
потенциала и силы
out
r a
inner r a
inner
out
r a
Потенциал шара
шар
GM
, r a
r
GM
(3 a2 r 2), r
2a3
r a
a

8.

Гравитационный потенциал
• Интегрирование по объему
• Суммирование по элементарным
составляющим
• Теорема Дирихле
Сфера, цилиндр, шар….

9.

Гравитационный потенциал эллипсоида
Теорема Лапласа
Однородные софокусные эллипсоиды притягивают внешнюю точку с силами,
одинаково направленными, а по величине пропорциональными их массам
Fx
Fx/
Теорема Ляпунова
Шар обладает минимальной потенциальной энергий
M
M/

10.

Задача Эйлера о двух неподвижных массах
• Гравитационный потенциал сжатого
сфероида эквивалентен потенциалу
стержня мнимой длины.
Метод эквигравитирующих стержней

11.

Разложение потенциала в ряд Лапласа

12.

Задача многих тел
• Произвольная инерциальная с.к.
N
Ri
Rj R i
mj
R3
G
j 1
Ri(0)
R
i (t 0 )
R
Ri (t 0 )
i
ij
Порядок системы 6(n+1)
(0)
Первые интегралы:
mi Ri
a,
i
at b
закон движения центра масс
i
Ri m R
i
mi Ri
i
Etot T U
i
I
закон сохранения момента количества движения
закон сохранения энергии
В скалярном виде 10 первых интегралов в произвольной инерциальной с.к.

13.

Задача двух тел:
Произвольная инерциальная с.к.
R1
R
Gm
2 2
3
R2
Gm1 R
1
3
R
R
(0)
R1,2
1
12
(0)
R1,2
R
R (t )
R122
1,2
m
Барицентрическая с.к.
i
i i
3
2
1
m
G (
m1 m2 2)
3
1
2
G ( m
m1 m2 2)
R (t0 )
1,2
1
3
1
0
2
3
2
0
0
0

14.

Задача двух тел
Относительная система координат
r G(M m)
r (0)
r
(0)
r
r3
0
r(t0 )
r(t0 )
Первые интегралы:
r r
I
Etot
T U
момент на единицу массы
Порядок системы =6, но 4 первых (в скалярах) интегралов. Не хватает…..

15.

Задача двух тел. Интеграл Лапласа
r
r I
I
r3
G(M
m)
0
Интеграл Лапласа
r
r
r I
вектор Лапласа
Уравнения связи между первыми интегралами
I
0
Вектор момента и вектор Лапласа перпендикулярны
2
2
2
E
I
tot
5 независимых первых интегралов =>
задача двух тел в относит с.к.
(система 6-го порядка) сводится к одному
уравнению

16.

Задача двух тел. Орбитальная с.к.
h
I
r cos
m
r
M
r (r I )
rr
r
rsin
n
x
r
r 1
I2
r
p
ecos
p
e
r
I2

17.

Задача двух тел

18.

Уравнение Кеплера
n
r2
n
dn(t
)
2
3/2
(1
n
ecos )
0
I
n
tg
p
1 e E
tg
2
1 e 2
Уравнение Кеплера
E
esinE
n(t
)
T
2
a3/2
G(M m)

19.

Смещение перигелия Меркурия
Ньютоновское приближение
du
dn
2
2
u
rg
2GMm2 Em
u
2
I
I
2GM
c2
2
Релятивистская задача
du
d
n
2
ru
g
3
2
u
rgmc2
I2
u
mc
2 22
(1I
E2
)
mc
2 4
Максимальное смещение перигелия наблюдается для Меркурия и составляе
43’’ за 100 лет.

20.

Задача трех тел
r1
1 3
r1
r
x 2ny
y 2nx
r
r
2 2
3
2
U
x
U
y
1,2
U(x, y,z)
U
z
n2
2 (x2
y2 )
Gm1,2
1
2
r
r2
1
z
V2
C
J
2U CJ
- интеграл Якоби (интеграл относительной энергии)

21.

Задача трех тел
V
2
2U C
U(x, y,z)
J
(x
Поверхности нулевой скорости
2
n (x
CJ
2
2 1
y )
r21
2
2
r2
- интеграл Якоби
CJ
n2
2
2
2
y)
1
2
r1
r2

22.

Кривые нулевой скорости
m=0.04;
x0=1.179;y0=0;z0=0.0;
Vx0=0.0;Vy0=-0.238;Vz0=0.0;
m=0.04;
x0=1.12;y0=0;z0=0.0;
Vx0=0.0;Vy0=-0.238;Vz0=0.0;

23.

Точки Лагранжа
L4,L5
r1
r2
2
x 1/ 2
1
y
3/2
1
1/3
L1,L2
r2
L3
r1
2
3
7
1 12
2
1
2
1

24.

Семейство Хильды
Резонанс 3:2
L3,L4,L5 – афелии астероидов

25.

Янус и Эпиметей

26.

Метод Лагранжа оскулирующих элементов
rr
F
возм
3
r
Fвозм
F0
На малом интервале – невозмущенное кеплеровское движения,
соответствующее разным начальным условиям.
Возмущенная орбита является огибающей семейства невозмущенных
Планетные уравнения Лагранжа
dEi
dt
Uвозм
j
(E ,U
i
- возмущающий потенциал
возм
)
i
E
(i, , ,e, p, )

27.

Метод Лагранжа оскулирующих элементов
Разложение, усреднение U….
Вековые (секулярные) возмущения
Астероид, возмущенный Юпитером
a
0
a
e
e0
A(cos0
0
Bt
0
Ct
cos )

28.

Метод Лагранжа или
метод оскулирующих элементов
dEi
dt
i
(t,E j)
Для двух планет
E
E0
A0(t
Ak1,k 2
t0 )
k1,k2
k1 n1
k2n2
Bk1,k 2
1
1
sin(k M
2
2
kM )
k1 n1
k2n2
cos(k M
1
1
2
kM )
2
k1,2 – собственная частота движения
планеты и частота возмущающей силы (m
Периодические возмущения :
Amlp
A(k1 ,k2 )
k1 n1 k 2n 2
T
2
k1 n1 k 2n 2

29.

Метод Лагранжа или
метод оскулирующих элементов
• Резонансные возмущения
Пример – астероид на резонансной орбите с Юпитером
aJ 5.20
aA 3.27
TA
TJ
0.5
2n
J
n
A

30.

Метод Лагранжа или
метод оскулирующих элементов
• Возмущения кеплеровских элементов Юпитер-Сатурн
Пример
Юпитер-Сатурн
TJ
TS
2
5
Эксцентриситет орбиты каждой из планет периодически изменяется
с периодом 70 100лет
Наклонение – 51 000 лет

31.

Метод Лагранжа или
метод оскулирующих элементов
• Короткопериодические возмущения
k1 n1
k2n2
kn
1 1
T
Amlp
A(k1 ,k2 )
k1 n1 k 2n 2
2
k1n1
Периоды возмущений порядка орбитального периода, амплитуда мала.
• Долгопериодические возмущения (при малых k1,k2)
k1 n1 k2n2 0
n1
n
2
k2
k1
Отношение средних движений =простой дроби
- резонансное состояние

32.

Спутник-пастух колец Сатурна
Открытие в 1990г. при анализе
изображений Вояджер-2 (1981г.)
1991г.– официально назван
в честь бога пастухов
Расположен внутри люка Энке
и движется почти в плоскости
экватора Сатурна

33.

Спутник-пастухи Сатурна
Прометей (внутренний)
Пандора (внешний)
Cassini image

34.

Спутники-пастухи
Cassini's confirmation that a small moon orbits within the Keeler gap in Saturn's rings is made all the
more exciting by this image, in which the disk of the 7 kilometer-wide body is resolved for the first
time.
The new body, provisionally named S/2005 S1, was first seen in a time-lapse sequence of images
taken on May 1, 2005, as Cassini began its climb to higher elevations in orbit around.
In the vicinity of the little moon, the Keeler gap edges bear striking similarities to the scalloped edges
of the 322 kilometer-wide Encke gap, where the small moon Pan (25 kilometers across) resides.
From the size of the waves seen in the scalloped edges of the Encke gap, imaging scientists were
able to estimate the mass of Pan. They expect to do the same eventually with S/2005 S1.
This image was obtained with the Cassini spacecraft narrow-angle camera on May 2, 2005, at a
distance of about 594,000 kilometers from Saturn.
https://www.nasa.gov/mission_pages/cassini/multimedia/pia06237.html

35.

Гиперион (спутник перевертыш)
Двуликий… Япет
Спин-орбитальный резонанс
Cassini images

36.

Астероид Круитни
Орбитальный резонанс с Землей 1:1
Проекция на эклиптику
Сопутствующая ситема к.

37.

Сечение Пуанкаре
Сечение (отображение) Пуанкаре – отображение проекции
траектории на выделенную плоскость фазового пространства.
Для траектории на плоскости:
4-х мерное фазовое пространство
(
x, y,x, y)
Одну из переменных можно исключить,
воспользовавшись интегралом Якоби
или полной энергией => 3D фазовое пр-во
(x, y,x )
Выделяем одну из плоскостей, например, y=0 .
Т.о. получаем проекцию на фазовую плоскость
( x,x )

38.

Сечение Пуанкаре
Потенциал Хенона-Хейлиса U(x, y)
E =1/40
tot
N=50 – число частиц
150 периодов
1 2
x
2
y2
2
2x2 y
3
3
y
Траектория одной из частиц
150 периодов

39.

Сечение Пуанкаре
Потенциал Хенона-Хейлиса
E =1/40
tot
1
U(x, y)
2
2
x
y2
2
2x2 y
3
3
y
N=50 – число частиц
a few 100 periods

40.

Сечение Пуанкаре
Потенциал Хенона-Хейлиса
E =1/20
tot
U(x, y)
1 2
x
2
2
y 2x2 y
3
2
3
y

41.

Сечение Пуанкаре
Потенциал Хенона-Хейлиса
E =1/12
tot
U(x, y)
1 2
x
2
2
y 2x2 y
3
2
3
y

42.

Сечение Пуанкаре
Потенциал Хенона-Хейлиса
E =1/8
tot
U(x, y)
1 2
x
2
2
y 2x2 y
3
2
3
y

43.

Сечение Пуанкаре
Потенциал Хенона-Хейлиса
E =1/6
tot
U(x, y)
1 2
x
2
2
y 2x2 y
3
2
3
y