Вычисление криволинейных интегралов 1 рода

1.

Предположим, что на кривой L положение точки М
определяется длиной дуги АМ=S, отсчитываемой от
начальной точки А.
Тогда кривая L параметрически выразится уравнениями
вида
x x( s )
y y( s)

2.

При этом функция f(x,y) сведется к сложной функции
f(x(s),y(s)).
Пусть si – длины дуг, соответствующие выбранному
делению дуги АВ точками Ai. Тогда
i si 1 si si
Пусть
si
- значение s, определенное точкой Мi.
si si si 1

3.

Тогда интегральная сумма для криволинейного
интеграла
станет
интегральной
суммой
определенного интеграла:
n
n
f ( , ) f ( x(s ), y(s )) s
i 1
i
i
i
i 1
i
Тогда криволинейный интеграл 1 рода
определенному интегралу по формуле:
i
i
сводится к

4.

L
s
f ( x , y )dS
0
1
f ( x ( s ), y( s ))ds

5.

Пусть теперь кривая L задана параметрически:
x (t )
y (t )
где
и функции
t
(t ) и (t )
непрерывны вместе со своими производными.

6.

Если возрастанию дуги
возрастание параметра t, то
S=AM=S(t)
отвечает
dS S (t )dt
S (t )
dS
(t ) (t )
2
2
(t ) (t )
2
2
dt
Заменяя в (1) переменную в интеграле, получаем:

7.

f ( x, y)dS f ( (t ), (t )) (t ) (t ) dt
2
L
2
2

8.

Таким образом, для вычисления криволинейного
интеграла 1 рода надо заменить в
подынтегральном выражении переменные х и у
через параметр, а дифференциал дуги dS
выразить как функцию параметра.

9.

y y (x )
Если кривая L задана явным уравнением:
где
a x b
тогда
S ( x) 1 y ( x)
2
dS 1 y ( x) dx
2
и выражение (2) преобразуется к виду:

10.

b
f ( x, y)dS f ( x, y( x))
L
a
3
1 y ( x) dx
2

11.

1
Вычислить криволинейный интеграл
1
L x y dS
где L- отрезок прямой y=1/2x-2, заключенный
между точками А(0,-2) и В(4,0).

12.

dS 1 y ( x)
2
L
2
5
1
dx 1 dx
dx
2
2
4
1
1
5
dS
dx
1
x y
2
0 x
x 2
2

13.

5
2
4
0
1
4
1
dx 5
dx 5 ln x 4
x
x 4
0
2
2
8
5 ln 8 ln 4 5 ln 5 ln 2
4
4
0

14.

2
Вычислить криволинейный интеграл
(x
2
y )dS
2
L
где L- окружность
x a cos t
y a sin t
0 t 2

15.

2
2
2
2
2
2
dS (t ) (t ) dt a sin t a cos t dt
a sin 2 t cos2 t dt a dt
2
2
2
2
2
2
2
(
x
y
)
dS
(
a
cos
t
a
sin
t ) a dt
L
0
2
a
3
(cos t sin t ) dt a
2
0
2
2
3
2
3
dt
a
t
2
a
0
3
0