Вычисление криволинейных интегралов 2 рода

1.

Пусть кривая АВ задана параметрически:
x (t )
y (t )
где
и функции
t
(t ) и (t )
непрерывны вместе со своими производными.

2.

Пусть также при изменении параметра t от α к β,
кривая описывается от точки А к В.
Тогда криволинейный интеграл существует и
f ( x, y)dx f ( (t ), (t )) (t )dt
AB
AB
f ( x, y )dy f ( (t ), (t )) (t )dt

3.

Для интеграла общего вида:
P( x, y)dx Q( x, y)dy
AB
( P ( (t ), (t )) (t ) Q ( (t ), (t )) (t )) dt

4.

Если, например, интеграл берется по кривой,
заданной уравнением
y y ( x)
a x b
То
b
f ( x, y)dx f ( x, y( x))dx
AB
a

5.

Если
x x( y )
c y d
То
d
f ( x, y)dy f ( y, x( y))dy
AB
c

6.

1
Вычислить криволинейный интеграл
(x
2
y )dx
2
L
где L- отрезок параболы y=x2, заключенный
между точками х=0 и х=2.

7.

(x
L
2
2
y )dx
2
0
2
x
x
56
x x dx
5 0
15
3
2
4
3
5

8.

2
Вычислить криволинейный интеграл
L
y dx x dy
2
2
x y
2
2
где L- полуокружность
x a cos t
y a sin t
0 t

9.

L
y dx x dy
2
2
x y
2
2
a sin t ( a sin t ) a cos t a cos t
dt
2
2
2
a (sin t cos t )
0
2
2
2
2
2
a (sin t cos t )dt
3
0
3

10.

1
sin t 3 sin t sin 3t
4
1
3
cos t 3 cos t cos 3t
4
3
a
3 sin t sin 3t 3 cos t cos 3t dt
40
a
1
1
5
3 cos t cos 3t 3 sin t sin 3t a
4
3
3
3
0