Несобственные интегралы

1.

Рассмотрим интегралы, у которых один или оба
предела интегрирования бесконечны, или когда
функция
не
ограничена
на
отрезке
интегрирования.
Такие интегралы называются несобственными.

2.

Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема
на произвольном отрезке [a,t].
Т.е. для t>a определена функция
t
Ф(t ) f ( x)dx
a

3.

Несобственным интегралом
f ( x)dx
a
от функции y=f(x) на полуинтервале
[a, )
называется предел функции Ф(t) при
t
lim
t
t
a
a
f ( x)dx f ( x)dx

4.

Если такой предел существует и конечен,
то несобственный интеграл называется
сходящимся к данному пределу.
Если конечного предела не существует,
то несобственный интеграл называется
расходящимся.

5.

Геометрический смысл несобственного интеграла
основан на геометрической интерпретации
определенного интеграла на отрезке [a,t].
Это площадь бесконечной области, ограниченной
сверху неотрицательной функцией f(x), снизу –
осью х, слева – прямой х=а.

6.

y f (x)
y
x a
x

7.

Вычислить интеграл
1
1 x 2 dx

8.

1
t
1
1
dx lim 2 dx
2
t
x
x
1
1t
1
lim
lim 1 1
t
t
x
t
1

9.

Аналогично можно определить несобственный
интеграл на промежутке ( , b]
b
lim
t
t
b
f ( x)dx
f ( x)dx
Рассмотрим
несобственный
интервале ( , )
интеграл
на
Пусть для некоторого числа a несобственные
интегралы

10.

a
f ( x)dx
и
f ( x)dx
a
- сходятся. Тогда положим
a
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
и интеграл
f ( x)dx
тоже сходится.
Если хотя бы один из интегралов в левой части
расходится, то будет расходится и интеграл
f ( x)dx

11.

Вычислить интеграл
e dx
x

12.

Исследуем на сходимость интегралы
0
e
x
dx
и
0
x
dx
0
e dx lim e dx lim e
0
e
x
x
t
t
t
t
0
e 1 - сходится.
t
x
e
dx lim
x
t
e
dx
lim
e
1
0
0
t
t
e dx
x
- расходится.
- расходится.

13.

В рассмотренных примерах сначала с помощью
первообразной
вычислялся
интеграл
по
конечному промежутку, а затем осуществлялся
переход к пределу.
Если
для
функции
y=f(x)
первообразная F(x) на всем
интегрирования
существует
промежутке
[a, )
то по формуле Ньютона-Лейбница
t
f ( x)dx F (t ) F (a) F ( x)
a
t
a

14.

Отсюда следует, что несобственный интеграл
существует только в том случае, если существует
конечный предел
lim F (t ) F ( )
t
И тогда можно записать:
f ( x)dx F ( x)
a
a
F ( ) F (a)

15.

Аналогично:
b
f ( x)dx F ( x)
f ( x)dx F ( x)
b
F (b) F ( )
F ( ) F ( )

16.

Вычислить интеграл
1
2 x 2 1 dx

17.

1
1 x 1
2 x 2 1 dx 2 ln x 1
2
1 1
0 ln ln 3
2 3

18.

Пусть
функция
y=f(x)
непрерывна,
но
неограничена на полуинтервале [a,b). Для
определенности положим, что она ограничена и
интегрируема на любом отрезке
[ a, b ]
0 b a
но неограничена в любой окрестности точки b
или на промежутке [b , b]

19.

Несобственным интегралом
b
f ( x)dx
a
от функции y=f(x) на полуинтервале
называется предел
b
lim
0
где
0
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
a
[ a, b)

20.

Если такой предел существует и конечен,
то несобственный интеграл называется
сходящимся.
Если конечного предела не существует,
то несобственный интеграл называется
расходящимся.
Точка b называется особой точкой.

21.

Аналогично
можно
ввести
понятие
несобственного интеграла от функции y=f(x)
непрерывной
но
неограниченой
на
полуинтервале (a,b]:
b
lim
0
a
b
f ( x)dx f ( x)dx
a

22.

Вычислить интеграл
1
0
1
dx
x

23.

Особая точка х=0.
1
1 1
2
1
dx 2 x
x
1
1
dx lim 2(1 ) 2
0
x
0
2(1 )

24.

ЗАМЕЧАНИЕ 1.
Если функция y=f(x) неограничена при х=С, где
C ( a, b)
то интеграл
b
f ( x)dx
a
тоже называется несобственным:
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx

25.

ЗАМЕЧАНИЕ 2.
Если a и b – особые точки, т.е. функция y=f(x)
неограничена и интегрируема на интервале
( a, b)
то несобственный интеграл определяется как
b
c
b
a
a
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Где С – произвольная точка на (a,b).

26.

Вычислить интеграл
1
1
1
1 x
2
dx

27.

Особые точки: х=-1, х=1.
1
1
0
1
1 x2
dx lim
0
1
1
1 x2
1
dx lim
0
1
1 x2
0
1
0
lim arcsin x 1 lim arcsin x 0
0
0
lim arcsin( 1 ) lim arcsin( 1 )
0
0
arcsin( 1) arcsin( 1)
2
2
dx

28.

Пусть функция y=f(x) интегрируема на всем
промежутке [a,b], причем b – особая точка. Если
существует первообразная F(x), имеющая предел
в особой точке х=b или непрерывная на отрезке
[a,b], то для вычисления несобственного
интеграла имеет место формула НьютонаЛейбница:
b
a
f ( x)dx F (b) F (a) F ( x) a
b

29.

Вычислить интеграл
1
x
1
2
3
dx

30.

Особая точка
функции
х=0,
однако
3x
первообразная
1
3
непрерывна в этой точке, поэтому данный
интеграл существует:
1
x
1
2
3
dx 3x
1 1
3
1
3(1 ( 1)) 6