Несобственные интегралы

1.

Тема 6. Несобственные интегралы.
b
Если существует конечный предел lim
b
f ( x )dx ,
то этот предел называется
a
несобственным интегралом от функции f(x) на полусегменте [a, ):
Если этот предел существует и конечен, то говорят, что несобственный
интеграл сходится. Если предел не существует или бесконечен, то
несобственный интеграл расходится.
Аналогичные рассуждения можно провести для несобственных интегралов
вида
b
b
a
f ( x)dx a lim
f ( x)dx
и
c
c
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
Признаки сходимости несобственных интегралов.
1) Если для всех х (x a) выполняется условие 0 f ( x) ( x) и интеграл
( x )dx
сходится, то
a
f ( x )dx
a
a
тоже сходится и ( x)dx
a
f ( x)dx .
2) Если для всех х (x a) выполняется условие 0 ( x) f ( x) и интеграл
( x)dx
расходится, то
a
3) Если
f ( x)dx
тоже расходится.
a
f ( x) dx сходится, то сходится и интеграл
a
В этом случае интеграл
f ( x)dx .
a
f ( x)dx
a
называется абсолютно сходящимся.

2.

Интеграл от разрывной функции.
Если в точке х = с функция либо не определена, либо терпит разрыв, то
c
b
a
a
f ( x)dx b limc 0 f ( x)dx .
Если интеграл
b
f ( x)dx
существует, то интеграл
a
c
f ( x)dx
- сходится, если
a
b
c
a
a
интеграл f ( x)dx не существует, то f ( x)dx - расходится.
c
Если в точке х = а функция терпит разрыв, то f ( x)dx lim
a
b a 0
c
f ( x)dx .
b
Если функция f(x) имеет разрыв в точке b на промежутке [a, с], то
с
b
c
a
a
b
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx

3.

Пример
Вычислить несобственный интеграл или
исследовать его на сходимость
Р е ш е н и е.
xdx
0 (x 1)3
Несобственный интеграл первого рода (по бесконечному промежутку) от правильной
рациональной дроби может быть вычислен согласно определению несобственного
интеграла первого рода .
О т в е т: несобственный интеграл сходится и его значение равно 0.5

4.

Пример
Вычислить
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция
разрывна в точках
x 1 и x 3.
Данный интеграл является несобственным интегралом второго рода, так как
верхний предел совпадает со значением
х=1.
О т в е т: данный несобственный интеграл расходится

5.

Пример.
Вычислить
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция разрывна в точке
х=3
и эта точка
принадлежит отрезку интегрирования. Поэтому интеграл разбивается на два,
чтобы особая точка в каждом из них была в конце интервала интегрирования
О т в е т: Несобственный интеграл сходится и равен
3
2
3
1− 9