Основные правила дифференцирования

1.

Производная функции может быть найдена по
схеме:
1
Дадим аргументу х приращение Δх и
найдем значение функции y+Δy=f(x+Δx)

2.

2
Находим приращение функции
Δy=f(x+Δx)-f(x)
3
Составляем отношение:
y
x
4
Находим
y
y lim
x 0
x

3.

Найдем производную функции
1
y x
Дадим аргументу х приращение Δх и
найдем значение функции y+Δy:
y y ( x x)
2
3
3
Находим приращение функции
y ( x x) x
3
3

4.

x 3 x x 3x x x x
3
2
2
3
x(3x 3x x x )
2
3
2
y
Составляем отношение
x
y
2
2
3x 3x x x
x
3

5.

4
y
Находим y lim
x 0
x
y lim (3x 3x x x ) 3x
2
2
2
x 0
0
0
Полученный результат является частным
случаем производной от степенной функции
y x
n
Можно показать, что в общем случае

6.

( x ) n x
n
n 1

7.

1
Производная постоянной величины равна 0:
C 0 (C const )
2
Производная аргумента равна 1:
x 1

8.

3
Производная алгебраической суммы
(разности) конечного числа
дифференцируемых функций равна сумме
(разности) производных этих функций:
(u v) u v

9.

Пусть
u=u(x) и
v=v(x) -дифференцируемые
функции.
Найдем производную функции y=u + v.
Дадим аргументу х приращение Δх, не равное 0,
тогда функции получат значения u+Δu, v+Δv.
y y u u v v

10.

Находим приращение функции
y u u v v u v u v
Составляем отношение
y u v
x
x
Находим предел этого отношения:
y
u v
u
v
y lim
lim
lim
lim
u v
x 0
x 0
x x 0 x
x x 0 x
u
v

11.

4
Производная произведения двух
дифференцируемых функций равна сумме
произведений производной первого
сомножителя на второй и производной
второго сомножителя на первый:
(u v) u v v u

12.

Пусть
u=u(x) и
v=v(x) -дифференцируемые
функции.
Найдем производную функции y=uv.
Дадим аргументу х приращение Δх, не равное 0,
тогда функции получат значения u+Δu, v+Δv.
y y (u u)(v v)

13.

Находим приращение функции
y (u u )(v v) u v
u v u v v u u v u v
u v v u u v
Составляем отношение
y u
v
u v u
v
u v
v u
v u
x
x x
x
x
x
x
x x

14.

Находим предел этого отношения:
u
v
u
v
y lim
v lim
u lim
lim
lim x
x 0 x
x 0 x
x 0 x x 0 x x 0
u
v
u
v
Имеем по определению производной:
u v v u u v 0 u v v u
0

15.

Следствие 1.
Постоянный множитель можно выносить за
знак производной:
(C u ) C u
Следствие2.
Производная произведения нескольких
дифференцируемых функций равна сумме
произведений производной каждого из
сомножителей на все остальные:
(u v w) u v w v u w w u v

16.

5
Производная частного двух дифференцируемых
функций находится по формуле:
u u v v u
2
v
v

17.

1
Найти производную функции
y 15 ( x 1)
4
и вычислить ее значение в точке х=1.

18.

4
4
y 15 ( x 1) 15 ( x 1)
0
15 (4 x ) 60 x
3
3
Находим значение производной в точке х=1:
y (1) 60 1 60
3

19.

2
Найти производную функции
y x ( x 1)
3
4
и вычислить ее значение в точке х=1.

20.

y x
3
(
4
x 1) x ( x 1)
3
4
1 3
3x ( x 1) x x
4
2
9
4
4
9
4
3
4
9
4
1
13
3x 3x x x 3x 2
4
4
2
Находим значение производной в точке х=1:
13 94
25
2
y (1)
1 3 1
4
4

21.

3
Найти производную функции
x 1
y
x
3
и вычислить ее значение в точке х=1.

22.

x
y
3
1 x ( x 1)
x
3x
2
5
2
3
x
1
1 2
3
x ( x 1) x
2
x
5
2
1
1
3x x x
2
2
x
1
2
5
2
5
1
x x
2
2
x
1
2
Находим значение производной в точке х=1:
5 52 1 12
1 1
2
y (1) 2
3
1