Связь между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами

1.

Связь между бесконечно малыми и бесконечно
большими величинами выражается следующей
теоремой:

2.

Если функция α(х) -бесконечно
малая величина при
x x0
x
или при
1
то функция f ( x)
( x)
есть величина бесконечно
большая при
x x0
x
или при

3.

Проведем доказательство для случая x x0
По условию, α(х) -бесконечно малая величина при
x x0 , следовательно
для любого, сколь угодно малого числа ε>0,
найдется такое число δ>0, что при всех х, таких что
|x-x0|<δ, выполняется неравенство:
(x)
Это равносильно неравенству:
1
1
( x)

4.

Следовательно,
f ( x) M , где
1
f ( x)
( x)
Это означает, что f (x)
M
1
является бесконечно большой величиной
при x x
0
Справедлива и обратная теорема:

5.

Если функция α(х) -бесконечно
большая величина при
x x0 или при x
то функция
1
f ( x)
( x)
есть величина бесконечно малая
при
x x0 или при x

6.

Функция
y cos x
является бесконечно малой величиной при x
Тогда функция
1
y
cos x
2
является бесконечно большой величиной при x
2