Числовые ряды. Признаки сходимости

1.

ЕН.01 МАТЕМАТИКА

2.

• Числовой ряд – это сумма членов
числовой последовательности вида
a
где
k 1
k
a1 a2 ... an ...
- математический значок суммы
аk – общий
член числового ряда
k – переменная – «счетчик».

3.

n
Записать первые три члена ряда
n 1
Решение:
n 1, a1 12 1 0;
n 2, a2 2 2 1 3;
n 3, a3 32 1 8.
n
n 1
2
1 0 3 8 ...
2
1

4.

Частичной суммой ряда называется
выражение вида:
k
a
n 1
n
число.
, где k – конечное натуральное

5.

говорят что данный ряд сходится, если
существует конечный предел
lim S
n
n
S
который называют суммой ряда.
Если предел последовательности частичных
сумм числового ряда не существует или
бесконечен, то ряд называется расходящимся.

6.

Если общий член ряда не стремится к
нулю, то ряд расходится, т.е. lim an 0
n
Пример 3. Доказать что ряд
расходится.
Решение:
2
1
n 1
lim an lim n 2 1
n
n
т.е. ряд является расходящимся.
Ответ : a 2 1 расходится.
n 1
n

7.

4
Исследовать ряд на сходимость
n 1 n 2
Решение:
4
4
0
n
an lim
lim
0
lim
2 1
n
n n 2
n
1
n
Ответ: ряд сходится.

8.

• Однако в подавляющем большинстве
случаев найти сумму ряда не так-то
просто, и поэтому на практике для
исследования сходимости ряда
используют специальные признаки.

9.

Существует несколько признаков
сходимости ряда:
Необходимый признак сходимости ряда
Признаки сравнения
Признак Даламбера
Признаки Коши
другие признаки

10.

1
Ряд n
n 1
называется
гармоническим рядом.
1
an lim 0
lim
n
n n
но в теории математического анализа
доказано, что гармонический ряд расходится.
1
Ряд называется обобщенным
n 1 n
гармоническим рядом.

11.

1
n 1 n
Данный ряд расходится при α ≤ 1
Данный ряд сходится при α > 1

12.

Рассмотрим два положительных
числовых ряда
и
.
Если известно, что ряд
и выполнено неравенство
…), то ряд
– сходится,
(n = 1, 2, 3,
тоже сходится.

13.

• Рассмотрим два положительных
числовых ряда
и
.
• Если предел отношения общих
членов
этих рядов равен конечному, отличному
от
нуля числу А:
сходятся или
расходятся
, то оба ряда
одновременно.

14.

Исследовать ряд на сходимость 2 1
n n
n 2
Решение: Сравним данный ряд со сходящимся
1
рядом n 2 .
n 2
Используем предельный признак сравнения.
1
Известно, что ряд 2 – сходится.
n 2 n
an
lim
n bn
Если нам удастся показать, что
равен
конечному, отличному от нуля числу, то
будет доказано, что ряд 2 1
– тоже
n 2 n n
сходится.

15.

Пример 4.
Получено конечное, отличное от нуля число,
значит, исследуемый ряд сходится вместе
с рядом 1
2
n
n 2
1
ряд сходится.
2
n 2 n n
Ответ :

16.

Предельный признак сравнения
применяется тогда, когда в общем члене
ряда:
1) В знаменателе находится многочлен.
2) Многочлены находятся и в числителе и в
знаменателе.
3) Один или оба многочлена могут быть
под корнем.

17.

Основные же предпосылки для применения
признака Даламбера следующие:
1) В общий член ряда («начинку» ряда)
входит какое-нибудь число в степени.
2) В общий член ряда входит факториал.

18.

Рассмотрим
положительный
числовой ряд
a
n 1
n
Если существует предел
последующего члена к
an 1
D
lim
n an
отношения
предыдущему:

19.

а) При D < 1, ряд сходится. В частности, ряд
сходится при D = 0.
б) При D > 1, ряд расходится. В частности, ряд
расходится при D = ∞.
в) При D = 1, признак не дает ответа.
Нужно использовать
другой
признак.
Чаще всего единица получается в том
случае, когда признак Даламбера пытаются
применить там, где нужно использовать
предельный признак сравнения.

20.

n n 1
n
4
n 1
2
Исследовать ряд на сходимость
Решение: Используем признак Даламбера:
n 1 2 n 1 1
n 1
an 1
lim
lim
n an
n
2
4
n2 n 1
4n
n 2 3n 1
4 n n 2 2n 1 n 1 1 1
lim
lim 2
n
2
4 4 n n 1
4 n n n 1
n
3 1
2
1
n n 1 1
lim
4 n 1 1 1
4
n n2
4 n n 1 n 1 1
lim
n 1
2
4 n n 1
n
1
таким образом, исследуемый
ряд сходится.

21.

Пример 6.
Исследовать
an 1
lim
lim
n an
n
2 lim
n
ряд на
n 1
n 1
2
3n 5
сходимость.
2 n 1 1
3 n 1 5
2 2 2 n 3n 5
lim
n 1
n
2
n 2 2 3n 8
3n 5
3n 5
2 lim
3n 8
n
5
3
n
8
3
n
2 lim 1 2 1 2 1 следовательно исследуемый
n
ряд расходится.

22.

Рассмотрим положительный числовой
ряд
a
n 1
n
Данный ряд сходится или расходится
вместе с
соответствующим
несобственным
интегралом.

23.

Пример 8.
n 1 6
Исследовать ряд на
dx
2 x 3
1
6
7
2 x 3
1
7
6
1
2n 3
7
сходимость.
7
1
dx 2 x 3 6 d 2 x 3
21
1
1
6 lim 6
3 0 0
2
n 2 x 3
Получено конечное число, значит,
исследуемый ряд сходится вместе с
соответствующим
несобственным
интегралом.