Числовые ряды. Общие определения и свойства. Сходимость рядов. Признаки сходимости. (Семинар 25)

1. Семинар 25

Ряды. Числовые ряды. Общие
определения и свойства.
Сходимость рядов. Признаки
сходимости.

2.

Определение
Выражение u1 u 2 ,..., u n ... называется рядом, а числа u1 , u 2 ,..., u n - элементы
(члены) ряда.
Короткая форма записи u n , u n - общий элемент ряда.
n 1
Пусть дан ряд u1 u 2 ,..., u n ... S n u1 u 2 ,..., u n - частичная сумма ряда.
Образуем последовательность частичных сумм ряда
S1 u1 ; S 2 u1 u 2 ;...S n u1 u 2 ... u n ;....
С неограниченным увеличением числа n в сумме S n учитывается все
большее и большее число элементов ряда.
Определение
Если при n существует предел последовательности частичных сумм
данного ряда lim n S n S , ряд называется сходящимся, число S - его суммой.
Запись S u1 u 2 ,..., u n ...
Если последовательность частичных сумм не стремится к пределу, то ряд
называется расходящимся. Выяснять сходимость ряда можно с помощью
признаков сходимости.
Рассмотрим сходящийся ряд S u1 u 2 ,..., u n ...

3.

Определение
Разность между суммой ряда и его n-ой частичной суммой называется n-ым
остатком ряда. Остаток ряда в свою очередь есть сумма бесконечного ряда.
Обозначение rn S S n u n 1 u n 2 ...
Исходный ряд по определению сходится, то есть lim n S n S следовательно,
| rn | | S S n | будет как угодно мало, если n взять достаточно большим.
Таким образом, можно приближенно подсчитать сумму сходящегося ряда,
взяв достаточно большое число первых его элементов. Однако большую
трудность представляет выяснение величины возникающей ошибки.
Свойства сходящихся рядов.
1. Если ряд u1 u 2 ... u n ... сходится и имеет сумму S, то ряд, образованный
из произведений всех элементов данного ряда на одно и то же число k:
ku1 ku2 ... kun ... также сходится и имеет сумму kS.
2. Если сходятся ряды: S ' u1 u 2 ... u n ... S " v1 v2 ... vn ...
То ряд образованный сложением соответствующих элементов данных рядов
(u1 v1 ) (u 2 v2 ) ... (u n vn )... то же сходится и его сумма равна S’+S”

4.

3. Если ряд сходится, то сходится и ряд, полученный из данного путем
приписывания или отбрасывания любого конечного числа элементов.
Необходимый признак сходимости ряда. Гармонический ряд.
Если ряд сходится, то общий элемент стремится к нулю при возрастании его
номера.
Следует помнить, что стремление n-го элемента к нулю не является
достаточным для сходимости ряда.
1 1
1
Рассмотрим ряд 1 ... ... - гармонический ряд.
2 3
n
lim n u n 0 , но ряд расходится, lim n S n .
Признак сравнения
Рассмотрим ряд u1 u 2 ... u n ...(u n 0)
Лемма Если частичные суммы ряда с положительными элементами
ограничены сверху, то ряд сходится. ( S n M )
Замечание Если ряд с положительными элементами расходится, то его
частичные суммы
стремятся к бесконечности, то есть lim n S n или
другая запись u n .
n 1

5.

Пусть даны два ряда с положительными элементами:
uk ; (uk 0) (1) и v k ; (v k 0) (2) и пусть каждый элемент ряда (1) не
k 1
k 1
больше соответствующего элемента ряда (2) u k vk (*).
Тогда:
1) Если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1)
2) Если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2)
Примеры с решениями
n
1. Дан общий элемент ряда u n n . Написать первые четыре элемента ряда
10 1
Решение. n 1 u1 1 / 11; n 2 u 2 2 / 101; n 3 u3 3 / 1001; n 4 u 4 4 / 10001
Ряд можно записать в виде
1
2
3
4
...
11 101 1001 10001
2
3
4
2. Найти общий элемент ряда 2 3 4 5 ...
3 7 11 15
Решение. Показатель степени каждого элемента совпадает с номером этого
элемента, поэтому показатель степени n-го элемента равен n.

6.

Числитель дробей образует арифметическую прогрессию с первым элементом
2 и разностью 1. Поэтому n-ый числитель равен n+1. Знаменатель дробей
образует арифметическую прогрессию с первым элементом 3 и разностью 4.
Поэтому n-ый знаменатель равен 4n-1. Таким образом, общим элементом ряда
n 1
u
является n
4
n
1
3. Найти сумму ряда
Решение. Имеем u n
n
1
1
1
1
...
1 3 3 5 5 7 7 9
1
1 1
1
(2n 1)( 2n 1) 2 2n 1 2n 1 , тогда
1 1
1 1 1
1 1 1
1 1 1
u1 (1 ), u 2 ( ), u 3 ( ), u 4 ( ),...
2 3
2 3 5
2 5 7
2 7 9 , следовательно
1
1 1 1 1
1
1
1
1
S n (1 ...
) (1
2
3 3 5 5
2n 1 2n 1 2
2n 1)
то ряд сходится и его сумма равна ½.
1
1
1
lim
S
lim
(
1
)
. Так как n n 2 n 2n 1 2

7.

2
1
1
1
...
4. Исследовать сходимость ряда
3 3 6 12
Решение. Ряд составлен из членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии и поэтому сходится. Найдем сумму ряда. Здесь a=2/3, q=1/2
(знаменатель прогрессии).
a
2/3
4
S
Следовательно,
1 q
1 1/ 2
3
1
1
1
1
5. Исследовать сходимость ряда 11 12 13 14 ...
Решение. Данный ряд получен из гармонического отбрасыванием первых 10
элементов. Следовательно, он расходится.
1
u
6. Исследовать сходимость ряда с общим элементом n
4 2n 3
Решение. Сравним этот ряд с рядом, у которого общий элемент
1
v n n (т.е. с бесконечно убывающей геометрической прогрессией).
2
Применим признак
сравнения рядов:
n
u
2
1
1
lim n lim
lim
Так как предел конечен и отличен от 0 и
n
n
n
n
n
vn
ряд с vn
4 2 3
4 3/ 2
4
1
сходится, то сходится и данный ряд.
2n

8.

7. Исследовать сходимость ряда 1 1 1 1 ...
2 5 8 11
u
1
/(
3
n
1
)
Решение. Здесь n
Сравним ряд с гармоническим рядом, у
un
n
1
lim
lim
v
1
/
n
:
которого n
Следовательно, данный ряд
n v
n 3n 1
3
n
расходится.
Примеры для самостоятельного решения.
1. Составить формулы общих элементов рядов:
1) 10 100 1000 10000 ... 2) 1 3 5 7 ... 3) 1 1 1 1 ...
7
9
11
13
2
4
6
8
3
5
7
9
2. Найти суммы рядов
1
1
1
1
2n 1
1
1
1
1
1) ... 2) n 2 (n 1) 2 3) 1 3 5 3 5 7 5 7 9 7 9 11 ...
n 1
1 2 2 3 3 4 4 5
3. Исследовать сходимость рядов с помощью признаков сравнения:
1) 1 2 3 4 ... 2) 1 1 1 1 ... 3) 2 1 2 2 1 2 3 1 ...
9 19
29
39
4n
4)
2
n 1 ( 2 n 1)
ln 2
ln 3
ln 4
2n
5) n
6)
n 1 5 1
ln 5
n
n 1 2 n 1
5 1
52 1
53 1