Первообразная и неопределенный интеграл

1.

2.

Определение: Функция F(х) называется первообразной
функции f(х) на промежутке Х, если
x X
F ( x) f ( x)
Теорема: Если функция f(х) непрерывна при x X ,то
для f(х) существует первообразная F(х) на Х.
Замечание 1: Условие непрерывности не является
необходимым для существования первообразной. Пример
разрывной функции, имеющей первообразную:
Пусть
х 0,
0,
f ( x)
1
1
2 х sin x cos x , х 0.
х 0,
0,
F ( х) 2
1
х
sin
, х 0.
x

3.

Пример:
f ( x) x 1 2 x 1 на R.
Найдите первообразную функции
Решение. Данная функция может быть записана в виде:
2 x 2 3 x 1, если x 1,
f x
2 x 2 3 x 1, если x 1.
2
3
F1 ( x) x 3 x 2 x C1 , если x 1;
3
2
2 3 3 2
F2 ( x)
x x x C2 , если x 1.
3
2
Найдем соотношение между С1 и С2 , при котором F1 (1) F2 (1) :
1
С1 С2 .
3
1
2 3 3 2
3 x 2 x x 3 C , если x 1,
F ( x)
2 x3 3 x 2 x C,
если x 1.
3
2

4.

Замечание 2: Если функция f(х) определена на промежутке
Х и в точке
то есть
x0 X имеет разрыв в
lim f ( x) lim f ( x)
x x0 0
виде скачка,
x x0 0
,
то функция f(x) не имеет первообразной на любом
промежутке, содержащем точку x0 .
Теорема 2: Если F(x) одна из первообразных функции f(x),
на промежутке Х, то любая первообразная на этом промежутке
имеет вид F(x)+C.
Определение: Множество всех первообразных функции
f(x) называется неопределенным интегралом от функции
f(x) на этом промежутке и обозначается
f ( x) dx

5.

Основные свойства неопределенного
интеграла.
1.
f ( x)dx f ( x).
2. f x dx f ( x) C.
3. kf ( x) dx k f ( x) dx.
4. f1 x f 2 ( x) dx f1 ( x) dx f 2 ( x) dx.
1
5. f kx b dx F kx b C.
k
6. f x d g x f x g x g x d f x .

6.

7.

1.Табличный.
2.Сведение к табличному преобразованием
подынтегрального выражения в сумму или
разность.
3.Интегрирование с помощью замены
переменной (подстановкой).
4.Интегрирование по частям.

8.

Нахождение интеграла методом преобразования
подынтегральной функции в сумму или разность.
1. sin 3x cos x
1
1
1
sin
4
x
sin
2
x
dx
cos
4
x
cos 2 x C.
2
8
4
dx
cos 2 5 x sin 2 5 x dx
1
1
2. 2
dx
2
2
2
2
2
sin 5 x cos 5 x
sin 5 x cos 5 x
sin 5 x cos 5 x
1
1
ctg 5 x tg 5 x C.
5
5
x 4 3x 2 1
1
1 3
2
3.
dx
x
2
dx
x 2 x arctg x C.
2
2
x 1
x 1
3

9.

Интегрирование методом замены переменной.
3
2
1
1
1 t
1 2
2
2
1. x 3 x 1 dx t dt C 3 x 1 3 x 2 1 C.
6
6 3
9
2
1
2
Пусть
3
x
1
t
,
тогда
6
x
dx
dt
,
т
.
е
.
x
dx
dt .
6
sin 2 x dx
1 7
1 t 6
1
2.
t dt
C
C.
7
6
cos 2 x
2
2 6
12 cos 2 x
1
Пусть
cos
2
x
t
,
тогда
dt
2
sin
2
x
dx
,
т
.
е
.
sin
2
x
dx
dt .
2

10.

е x dx
dt
x
3.
tg
t
C
tg
e
1 C.
2
x
2
cos e 1
cos t
Пусть
e x 1 t , тогда dt e x dx .

11.

Интегрирование выражений, содержащих радикалы,
методом подстановки.
t 2 1
1 4 2
1 5 1 3
1. x 2 x 1 dx
t t dt t t dt t t C
2
2
10
6
1
1
2
2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 C.
10
6
Пусть
t 2 1
2 x 1 t , тогда x
, dx t dt .
2

12.

x dx
2 t
2. 3
2 x
2
3t dt 3 4t 4t
t
3 2
2
4
t 7 dt
12 5 3 8
6t t t C
5
8
12
3
2
2
2
3
2 x 2 x 2 x 3 2 x C.
5
8
2
63 2 x
2
Пусть
3
2 x t , тогда x 2 t 3 ,
т. е. dx 3t 2 dt
.

13.

Интегрирование алгебраических дробей.
x 3
1. 2
dx
x 4
1 5
1
1
dx 5 ln x 2 ln x 2 C.
4 x 2 x 2
4
x 3
a
b
;
2
x 4 x 2 x 2
x 3 a x 2 b x 2 ;
x 3 a b x 2a 2b;
5
a 4 ;
а b 1;
2
a
2
b
3
.
b 1 ;
4
x 3 1 5
1
.
2
x 4 4 x 2 x 2

14.

Интегрирование по частям.
1. x cos x dx x d sin x x sin x sin x dx x sin x cos x C.
2. x e 2 x dx
1
1
1 2x 1 2x
2x
2x
2x
x
de
x
e
e
dx
x e e C.
2
2
2
4
1 2
1 2
2
x
d
cos
2
x
x
cos
2
x
cos
2
x
dx
2
2
1 2
1 2
1
x cos 2 x x cos 2 x dx x cos 2 x x d sin 2 x
2
2
2
1 2
1
x cos 2 x x sin 2 x sin 2 x dx
2
2
1 2
1
1
x cos 2 x x sin 2 x cos 2 x C.
2
2
4
3. x 2 sin 2 x dx

15.

4. e x sin x dx sin x de x e x sin x e x d sin x
e x sin x e x cos x dx e x sin x cos x d e x
e x sin x e x cos x e x d cos x
e x sin x cos x e x sin x dx.
Получили :
x
x
x
e
sin
x
dx
e
sin
x
cos
x
e
sin x dx.
Таким образом : 2 e x sin x dx e x sin x cos x C ,
x
e
значит e x sin x dx sin x cos x C.
2

16.

Используемая литература:
1. Л.И.Звавич; А.Р. Рязановский; А.М.Поташник
«Сборник задач по алгебре и математическому
анализу для 10-11 классов» (учебное пособие
для учащихся школ и классов с углубленным
изучением математики.Москва Новая школа, 1996.
2. Н.Я. Виленкин; О.С. Ивашев-Мусатов; С.И.
Шварцбург «Алгебра и математический анализ для
10 классов». М.:Просвещение, 1995.
3. Н.Я. Виленкин; О.С. Ивашев-Мусатов; С.И.
Шварцбург «Алгебра и математический анализ для
11 классов». М.:Просвещение, 1995.