Первообразная и неопределенный интеграл

1. Первообразная.

Тема Урока:

2. Взаимно-обратные операции в математике

Прямая
x2
Обратная
Возведение в квадрат
sin х = a
arcsin a = х a∈[-1;1]
Синус угла
Арксинус числа
(xn)' = nxn-1
Дифференцирование
?

3. По заданным производным найдите исходные функции

y 3x 2
3
y
2 x
y sin x
y x3
y 3 x
4
y x
производные
y cos x
x5
y
5
дифференцирование

4. Пояснение в сравнении

Производная
"Производит" новую ф-ию
Первообразная
Первичный образ
дифференцирование
интегрирование
вычисление производной
восстановление функции из
производной

5. Определение первообразной

y = F(x) называют первообразной для y =
f(x) на промежутке X, если при x ∈ X
F'(x) = f(x)

6. найдите производные функций:

y x2
y x 2 10
y 2 x
y x 2 0,5
y x2 3
F x x c
2
f x 2 x
совокупность первообразных

7. Неоднозначность первообразной

f(x) = 2x
F1(x) = x2
F1'(x) = 2x
F2(x) = x2 + 1
F2'(x) = 2x
F3(x) = x2 + 5
F3'(x) = 2x
y = f(x) имеет бесконечно много
первообразных вида y = F(x)+C, где
C - произвольное число

8.

f(x)
1
F(x)

9.

5
Показать, что функция
x
F ( x) 1
5
является первообразной для функции
4
f ( x) x
Решение:
5
4
x
5x
4
F ( x) 1
x f ( x)
5
5

10.

Показать, что функция F ( x) 1 sin
2x
является первообразной для функции
f ( x) 2 cos 2 x
Решение:
F ( x) 1 sin 2 x 2 cos 2 x f ( x)

11. Правила интегрирования

12.

Найти первообразные для функции
f ( x) 5 x e
3
2 x 7
4 cos x
Решение:
4
x 1 2 x 7
F ( x) 5 e
4 sin x C
4 2

13. Определение неопределённого интеграла

Если у функции y = f(x) на промежутке X есть
первообразная y = F(x), то все множества
функций вида y = F(x)+C называют
неопределенным интегралом от функции
y = f(x)
Обозначается как
∫f(x)dx
неопределенный интеграл f (эф) от x (икс) d (дэ) x (икс)

14. Правила интегрирования

cf ( x)dx c f ( x)dx, c const
( f ( x) g ( x))dx f ( x)dx g ( x)dx
1
f (ax b)dx F (ax b) C , a 0
a

15. Найти одну из первообразных для следующих функций

1) f(x) = 4
2) f(x) = -1
3) f(x) = x
4) f(x) = sin x
5) f(x) = x + 3cos x
3
2

16. Док-ть, что F(x) первообразная для f(x) на заданном промежутке

Условия
Доказательство
Дано: F(x) = 3x
Док-ть: f(x) = 12x
при x ∈ (-∞;+∞)
Найдем производную
4
3
F(x): F'(x) = (3x4)' = 12x3 =
f(x)
F'(x) = f(x), значит
F(x) = 3x
первообразная
для f(x) = 12x3
4

17. Задачи на доказательство: