Элементы теории подобия

1.

МЕХАНИКА
ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Курс лекций для направления
«Металлургия»

2.

VII. Элементы
теории подобия
2

3.

ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПРОЦЕСС
математическая модель
экспериментальная модель
решение системы сложных
дифференциальных уравнений
известными математическими
методами
получение эмпирических
уравнений
общий случай, но не всегда
возможен
частный случай,
применим не для всех
аналогичных явлений
ТЕОРИЯ ПОДОБИЯ
3

4.

Законами подобия называют связывающие между
собой величины, полученные при исследованиях на
модели, и соответствующие им величины в натуре
Геометрическое подобие
Кинематическое
подобие
Динамическое
подобие
Подобными называют явления, для которых
постоянны отношения характеризующих
их соответственных величин.

5.

Геометрическое подобие
его
модель
(индекс 2)
натурный
объект (поток),
подле-жащий
гидродинамическому
исследованию
(индекс 1)
L1
k
L2
Разделим все линейные размеры натурного
потока на некоторое число k, которое
называется линейным масштабом.
Для площадей
F1
k 2 ;
F2
Для объемов
W1
k 3 .
W2

6.

Кинематическое подобие
Необходимо:
траектории частиц обоих потоков были подобны геометрически.
пропорциональны отрезки траекторий соответствующих частиц
натурного и модельного потоков,
пропорциональны отрезки времени, в течение которых протекают
процессы в натуре и в модели.
Т.е если в первом потоке (натуре) частицы проходят
путь L1 за время t1,
то во втором потоке (модели) –
путь L2 за t2.
Причем, отрезки L1 и L2 должны быть геометрически подобны, а
отношение t1/t2 должно быть одинаковым для сходственных точек
обоих потоков.
Отношение t1/t2 называется масштабом времени и обозначается kt.

7.

Динамическое подобие
Включает в себя геометрическое и кинематическое подобия.
В любых потоках, если физическая природа действующих на
жидкость сил одинакова и силы образуют геометрически подобные
силовые многоугольники, они являются динамически подобными.
Отношение одноименных сил в
сходственных точках в натуре и
на модели постоянны:
P1
k р const
P2
Р – любая сила, в том числе и равнодействующая
kр – масштабный коэффициент, или масштаб сил
К силам, действующим в
потоке жидкости, можно
отнести
силы внутреннего трения жидкости
силы тяжести
силы поверхностного натяжения и др.
7

8.

для скоростей
L
L
1
, 2.
1 t
2 t
1
2
L t
k
L L
1 1
2 1 2
t
t
L t
kt
2
2 1
2 1
для действующих сил
масштаб ускорений
масштаб скоростей
k
kv 1
kt
k
ka 2
kt
2
4
P ma Wa L a L 2 2 2 2
t
t
3
Таким образом, для динамического
подобия необходимо, чтобы силы
находились в соотношении
P1
P2
idem
2 2
2 2
1 1 1 2 2 2
3
P1
1 12 12
2 2
kP
k
k
P vk
2 2
P2
2 2 2
математическим выражением общего закона
динамического подобия, впервые
сформулированным Ньютоном
Критерий Ньютона. Критерий Ньютона
является обобщенным критерием
динамического подобия механических систем.
P
Ne
2 2

9.

Гидродинамические критерии подобия
При исследованиях гидравлических явлений часто выделяют только
одну силу, а действием остальных пренебрегают. В этом случае
применяют частные критерии Рейнольдса, Фруда, Вебера и др.
Безразмерные соотношения разнородных
физических величин называют
критериями подобия.
Критерии подобия всегда имеют физический смысл,
являясь мерами соотношения между какими-то двумя
параметрами, оказывающими существенное
влияние на данный процесс.
9

10.

1. Критерий Рейнольдса
Если основное влияние на движение потока
жидкости оказывают силы вязкости
ρ1, μ1, L1 (d1), υ1
ρ2, μ2, L2(d2), υ2

11.

Вывод:
По закону внутреннего трения эти
d
P
S
силы вязкости могут быть выражены:
dn
Для натурного и модельного потоков
v
или P L2
P1 1 1 1
P2 2 2 2
Приравнивая к основному уравнению 2 2
1 1 1
1 1 1
динамического подобия, получим:
2 2
2 2 2 2 2 2
Преобразуем
1 1 1 2 2 2
1
2
Введя кинематическую вязкость
1 1 2 2
idem
1
2
критерий Рейнольдса
Re
Физический смысл критерия Рейнольдса:
характеризует отношение силы инерции к силе трения (вязкости).

12.

2. Критерий Фруда
Если движение жидкости преимущественно
обусловлено действием сил тяжести, то в
основное уравнение динамического подобия вместо
силы Р надо подставить значение силы тяжести
ρ1, L1(d1), υ1
ρ2, L2(d2), υ2

13.

Вывод:
силы тяжести могут быть выражены:
P mg 3g
для натурного и модельного потоков,
с учетом основного уравнения
динамического подобия, получим:
1 12 12 1 31g1
2 2
2 2 2 2 32 g 2
или после сокращений
закон подобия Фруда
12
22
idem
g1 1 g 2 2
получим
критерий Фруда
Fr
2
g
Физический смысл критерия Фруда:
характеризует отношение силы инерции к силе тяжести.

14.

3. Критерий Вебера
Если преобладающее влияние имеет сила поверхностного
напряжения (например при истечении жидкости из
капиллярных отверстий), то в основное уравнение
динамического подобия вместо силы Р следует подставить
выражение силы поверхностного натяжения
σ1, L1
σ2, L2

15.

Вывод:
силы поверхностного натяжения
могут быть выражены:
2
P p
L
2
для натурного и модельного потоков,
1 12 12 1 1
с учетом основного уравнения
2 2
2 2 2 2 2
динамического подобия, получим:
или после сокращений
закон подобия Вебера
критерий Вебера
получим 2
2 22 2
1 1 1
idem
1
2
We
2
Физический смысл критерия Вебера:
характеризует отношение сил инерции к силам поверхностного
натяжения