Теория рядов

1. ТЕОРИЯ РЯДОВ

2. 1.3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами.

• Признак сравнения.
Пусть
u
n 1
и
n
v
n 1
n
- ряды с положительными членами,
причем un≤vn для всех n, начиная с некоторого. Тогда:
1) если
v
n 1
n
сходится, то сходится и ряд
u
n 1
2) если
u
n 1
n
n
расходится, то расходится и ряд
v
n 1
n

3. Пример 1

Исследовать на сходимость ряд
1
1
1
1
....
...
1 2 1 2 3 1 2 3 4
1 n !

4. Решение

1
1
1
1
....
...
1 2 1 2 3 1 2 3 4
1 n !
Решение
Сравним его с убывающей геометрической прогрессией:
1
1
1
1
2 3 .... n ...
2 2
2
2
Каждый член первого ряда, начиная со второго, меньше
соответствующего члена второго ряда:
1
1
1
1
1
1
2
3 ....
n
1 2 3 2
1 2 3 4 2
1 n ! 2
Второй ряд сходится, следовательно первый ряд сходится.
Ответ: ряд сходится

5. Пример 2

Исследовать на сходимость ряд
1
1
1
1
1
....
...
2
3
4
n

6. Решение

1
1
1
1
1
....
...
2
3
4
n
Решение
Сравним его с гармоническим рядом:
1 1 1
1
1 .... ...
2 3 4
n
Каждый член первого ряда, начиная со второго, больше
соответствующего члена второго ряда:
1
1
2 2
1
1
3 3
....
1
1
n
n
А ряд второй расходится, следовательно расходится и
первый.
Ответ: ряд расходится

7.

• Предельный признак сравнения.
Пусть
u
n 1
n
и
v
n 1
n
- ряды с положительными членами,
Если существует конечный и отличный от нуля предел
отношения одинаковых по номеру членов рядов
un
l lim
n v
n
0 l
то эти ряды одновременно сходятся или расходятся.
Если члены un и vn двух положительных рядов являются
бесконечно малыми одного порядка, то эти ряды сходятся
или расходятся одновременно.

8. Пример 3

Исследовать на сходимость ряд
sin sin
2
sin
3
... sin
n
...

9. Решение

sin sin
2
sin
3
... sin
n
...
Решение
Сравним его с гармоническим рядом:
1 1 1
1
1 .... ...
2 3 4
n
sin
lim
n
1
n
n lim
n
sin
n
n lim
n
sin
n 0
n
Так как гармонический ряд расходится, то и первый ряд
тоже расходится.
Ответ: ряд расходится

10.

В отличие от признаков сравнения, где всё зависит
от догадки и запаса известных сходящихся и
расходящихся
рядов,
признак
Даламбера
позволяет часто решить вопрос о сходимости
ряда, проделав лишь некоторые операции над
самим рядом.

11.

• Признак Даламбера (1717-1783 фр. математик)
Если в ряде с положительными членами
u1 u2 ... un ... un
n 1
выполняется условие
un 1
lim
n u
n
то данный ряд сходится, если ℓ<1;
ряд расходится, если ℓ >1.

12.

Замечание:
1) Если же ℓ=1, то ряд может быть как сходящийся, так и
расходящийся. В этом случае для решения вопроса о
сходимости ряда необходимо применить какой-либо
другой признак или дополнительные исследования.
2) Признак Даламбера целесообразно применять, когда
общий член ряда содержит выражение вида n! или an.

13. Пример 4

Исследовать на сходимость ряд
1
3
5
2n 1
2 3 ....
...
n
2 2
2
2

14. Решение

2n 1
un
2n
un 1
2 n 1 1 2n 1
n 1
n 1
2
2
un 1 2n 1 2n
2n 1
n 1
un
2
2n 1 2(2n 1)
un 1
2n 1
1
2n 1
lim
lim
lim
n u
n 2(2n 1)
2 n 2n 1
n
1
2
1
1
n
lim
1
2 n 2 1
2
n
Ответ: ряд сходится

15. Пример 5

Исследовать на сходимость ряд
1 1 2 1 2 3
n!
2
.... n ...
3
10 10
10
10

16. Решение

n!
un n
10
un 1
n 1 !
10n 1
un 1 (n 1)! 10n
n 1
n 1
un
10
n!
10
un 1
n 1
lim
lim
1
n u
n 10
n
Ответ: ряд расходится

17. Пример 6

Исследовать на сходимость ряд
2 3
n
1 ....
...
3 5
2n 1

18. Решение

n
un
2n 1
un 1
n 1
2n 1
un 1
n 1 2n 1 2 n 2 n 1
un
2n 1
n
2n 2 n
un 1
lim
n u
n
1
1
2 2
2
2n n 1
n n 1
lim
lim
n
n
1
2n 2 n
2
n

19.

Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Но т.к
n
1
lim un lim
0
n
n 2n 1
2
то не
выполняется необходимое условие
сходимости ряда, следовательно ряд расходится.
Ответ: ряд расходится

20. Пример 7

Исследовать на сходимость ряд
1
1
1
1
....
...
1 2 2 3 3 4
n n 1

21. Решение

1
un
n n 1
un 1
1
n 1 n 2
n n 1
un 1
1
n
un
1
n 2
n 1 n 2
un 1
n
1
lim
lim
lim
1
n u
n n 2
n
2
n
1
n

22.

Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Проверим необходимый признак
сходимости ряда:
1
lim un lim
0
n
n n n 1
то есть ряд может быть сходящимся или
расходящимся. Установим сходимость другим
путем:

23.

Заметим, что
1
1
1
n n 1 n n 1
Данный ряд можем записать в виде:
1
1 1 1 1 1 1
1
...
...
1 2 2 3 3 4
n n 1
1
Sn 1
n 1
-частичная сумма
1
lim S n lim 1
1
n
n
n 1
То есть ряд сходится и его сумма равна 1.

24. Пример 8

Исследовать на сходимость ряд
1
1
1
1
1
....
...
2
3
4
n

25. Решение

1
un
n
Решение
un 1
un
1
n
n 1 1
un 1
lim
lim
n u
n
n
un 1
1
n 1
n
n 1
n
n 2
lim
n
1
2
1
n
1
Признак Даламбера не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Установим сходимость другим
путем. Проверим признак сравнения (см. пример 2)
Ответ: ряд расходится

26.

• Признак Коши (Cauchy 1789-1857)
Пусть дан ряд с положительными членами
u1 u2 ... un ... un
n 1
Допустим, что
lim n un
n
существует и
lim n un
n
Тогда данный ряд сходится, если ℓ<1;
ряд расходится, если ℓ >1.
В случае, когда ℓ=1, вопрос о сходимости ряда остается
открытым.

27. Пример 9

Исследовать на сходимость ряд
2
3
n
1 2
3
n
...
...
3 5
7
2n 1
Решение
n
n
1
n
lim un lim
lim
1
n
n
n 2 n 1
2
2n 1
n
n
Ответ: ряд сходится

28. Пример 10

Исследовать на сходимость ряд
2
3
n
1
1
1
1
1 1 1 ... 1 ...
1
2
3
n

29.

Решение
n
1
1
lim un lim 1 lim 1 1
n
n
n
n
n
n
n
Признак Коши не дает ответа на вопрос о
сходимости ряда. Проверим необходимое
условие сходимости ряда:
n
1
lim un lim 1 e 0
n
n
n
Ответ: ряд расходится

30.

• Интегральный признак
Пусть дан ряд с положительными членами
u1 u2 ... un ... un
n 1
причем
u1 u2 u3 ... un ...
и f(x)- такая непрерывная, монотонно убывающая функция,
что f(n)=un.
f ( x) dx
Тогда данный ряд и несобственный интеграл
1
одновременно сходятся или расходятся.

31. Пример 11

Исследовать на сходимость гармонический ряд
1 1
1
1 ... ...
2 3
n

32.

Решение
1
f ( x) ,
x
x 1
1
Эта функция непрерывная, монотонно убывает и f ( n )
n
Следовательно, условия интегрального признака
выполнены. Имеем
1
M
dx
dx
lim
lim ln x
M
M
x
x
1
M
1
lim ln M ln1
M
lim ln M
M
Ответ: ряд расходится

33. Пример 12

Исследовать на сходимость ряд
1
1
2 2
1
3 3
...
1
n n
...

34.

Решение
f ( x)
1
x x
1
Эта функция непрерывная, монотонно убывает и f ( n)
n n
Следовательно, условия интегрального признака
выполнены. Имеем
1
dx
x x
1
2 lim
M
dx
x
3
2
M
lim
M
1
1
1 2
M
1
x dx 2 lim
M
x
32
M
1
Ответ: ряд сходится

35. Обобщенный гармонический ряд

1
1
1
1
1 p p p ...,
p
2
3
4
n 1 n
p 0,
p R
Интегральный признак целесообразно применять для
исследования сходимости обобщенного гармонического
ряда. Признаки Коши и Даламбера ответа о
сходимости не дают.

36.

1
f ( x) p
x
1
Эта функция непрерывная, монотонно убывает и f ( n) p
n
Следовательно, условия интегрального признака
выполнены. Имеем
1
1
,
dx
p 1
p
x
,
p 1
p 1
ряд сходится
ряд расходится
При p=1 имеем гармонический ряд. (см. пример 11)

37. Пример 13

Исследовать на сходимость ряд
1
1
2
5
4
1
3
5
4
...
1
n
5
4
...
Решение
5
Ряд сходится, т.к. p 1
4
Ответ: ряд сходится

38. Пример 14

Исследовать на сходимость ряд
1
1
1
1
...
...
2
3
n
Решение
1
1
f ( n)
1
n
n2
Ряд расходится, т.к.
1
p 1
2
Ответ: ряд расходится

39.

Рассмотренные признаки сходимости (есть и
другие) рядов с положительными членами
позволяют судить о сходимости практически
любого положительного ряда.
Необходимые навыки приобретаются на практике!