О сохранении и нарушении равносильности при решении уравнений и неравенств

1. О сохранении и нарушении равносильности при решении уравнений и неравенств

2. Равносильны ли уравнения:

а)
x
2
x 1 x 1
x2 1
и
Деление не нарушило равносильность
x2 x 2 x 2
б)
x2 1
и
Деление привело к потере корня 2 и приобретению посторонних корней
в) x
2
x 4 9 x 4
Деление привело к потере корня
г)
x
2
x 2 4 x 2
x2 9
и
и
4
x2 4
Деление привело к приобретению постороннего корня
2
1

3. Равносильны ли уравнения:

2x 1
2x 1
2
x x 6 x 3
и
x2 x 6 x 3
Отбрасывание числителей и уравнивание знаменателей привело к потере
корня
1
2
и приобретению постороннего корня 3.

4. Найдите ошибки в решении неравенства

x 3x 2
0
2
x 5x 6
2
x 2 3x 2 0
2
x 5x 6 0
+
+
1
+
2
2
Ответ:
+
3
2; 3 .

5. Найдите ошибки, сделанные в решении уравнения

x4 x 1 2 x 2 0
x2 x 1 2 x2 0
x2
x 1 2 0
x2 0
x 0
Ответ:
x 0

6. Равносильны ли

а)
x2 x x 2 x
б)
1
3
x
и
в)
1
3
x
и
и
1 3x
1 3x
x 1 x 2 0
г)
и
x 1 x 3
2
д)
x2 2 x 0
x 1 x 2 0
2
x 1 x 3
и
x 1 x 2 0
x 3
x 2
0
x 1 x 3

7.

3
3
2x 1 3 6x 1 3 2x 1
3
2x 1 6x 1
3
a b
3
3
2x 1
a3 b3 3ab a b
8x 2 3 3 2 x 1 3 6 x 1
3
3
2x 1 3 6x 1 2x 1
8x 2 3 3 2 x 1 3 6 x 1 3 2 x 1 2 x 1
3 3 2x 1 3 6x 1 3 2 x 1 6 x 3
.
3
2 x 1 3 6 x 1 3 2 x 1 2 x 1
2 x 1 6 x 1 2 x 1 2 x 1
3
2 x 1 6 x 1 2 x 1 2 x 1
2 x 1 16 x 2 0
x
1
2
или
x 0
2
0

8.

tg x 1 8 ctg x
4
1 tg x
8
1
1 tg x
tg x
cos x 0
или
x
2
k, k Z
1 tg x tg x tg x 1 tg x 8 1 tg x tg k 1 8 ctg k
tg x tg x tg x tg x 8 8 tg x
2
2
6 tg x 8
tg x
4
3
4
x arctg n, n Z
3
Ответ: x arctg
2
4 2
tg k 1 8 ctg k
4
2
tg 1 8 ctg
2
4
1 1 8 0
x
2
k, k Z
4
n, n Z ; x k , k Z .
3
2