Интегрирование тригонометрических функций. (Семинар 16)

1. Семинар 16. Интегрирование тригонометрических функций

2.

Рассмотрим основные методы интегрирования тригонометрических
функций
1. В приложениях математического
анализа важное значение имеют
n
интегралы вида sin m x cos xdx
Рассмотрим различные значения параметров m и n
а) Если хотя бы одно из m или n нечетное (m>0,n>0), то интеграл
вычисляется непосредственно.
б) Если оба показателя четные числа (m>0,n>0), то используются формулы
двойного аргумента, понижающие степень, а именно
2 sin 2 x 1 cos 2 x;2 cos 2 x 1 cos 2 x; sin 2 x 2 sin x cos x
С) Если m<0 и n<0 и сумма их четна, то применяется подстановка t=tgx
или t=ctgx. Исходный интеграл сводится к сумме интегралов от степенных
функций.
t2
1
dt
2
t tgx; sin x
;
cos
x
;
dx
1 t 2
1 t 2
1 t 2
Д) Если m<0 и n<0, то единица в числителе представляется как
2
(sin 2 x cos 2 x) k , где 2k=|m+n|-2
Е) Если m=0, n – нечетное отрицательное или n=0, m – нечетное
отрицательное, то используется универсальная подстановка
x
2t
1 t 2
2dt
t tg , sin x
,
cos
t
,
dx
2
1 t 2
1 t 2
1 t 2

3.

x
x
x
2 sin cos
2tg
2
2
2 2t
Так как sin x
2
1
t
2 x
2 x
2 x
sin cos
1 tg
2
2
2
x
sin 2
2
и cos x
x
sin 2 cos 2
2
cos 2
x
1 tg 2
2
x
1 tg 2
2
x
2
2 1 t
x 1 t 2
2
2. Рассмотрим интеграл вида R(sin x, cos x)dx
При вычислении такого интеграла возможны различные случаи
представления подынтегральной функции:
а) Функции sinx, cosx – только в четных2 степенях. Тогда можно
использовать подстановку t tgx, sin 2 x t , cos 2 x 1 , dx dt
1 t 2
1 t 2
1 t 2
Интеграл упрощается.
Замечание Такой же подстановкой вычисляется интеграл вида
R(tgx)dx
Пример
dx
dt
1
1 2tgx 1 t 2 (1 2t ) 5 [ x 2 ln | cos x 2 sin x |] c Это после разложения на
простейшие дроби, вычисления интегралов от них и возврата к старой
переменной.
б) Функция R(sinx,cosx) имеет вид
1
a cos x b sin x c

4.

В этом случае применяется универсальная подстановка
x
2t
1 t 2
2dt
t tg , sin x
,
cos
t
,
dx
2
1 t 2
1 t 2
1 t 2
Замечание Использование универсальной подстановки всегда приводит к
цели, но в силу своей общности она часто не является наилучшей в
смысле краткости и простоты необходимых преобразований.
3. В теории рядов Фурье, важное значение имеют интегралы
sin mx sin nxdx, cos mx cos nxdx, sin mx cos nxdx
Они вычисляются на основании формул тригонометрии:
1
1
sin x sin y [cos( x y ) cos( x y )]; cos x cos y [cos( x y ) cos( x y )];
2
2
1
sin x cos y [sin( x y _ sin( x y )]
2

5.

Многократное интегрирование по частям при вычислении интегралов.
В приложениях математического анализа встречаются интегралы вида
x
m
sin xdx, x m cos xdx, x m e x dx, e x sin xdx, e x cos xdx, m 0, m N
Вычисление таких интегралом требует многократного интегрирования по
частям.
a) x 2 cos xdx u x 2 ; du 2 xdx; dv cos xdx; v sin x x 2 sin x 2 x sin xdx =
u x; du dx; dv sin x; v cos x x 2 sin x 2( x cos x cos xdx) x 2 sin x 2 x cos x 2 sin x c
b) e x cos xdx u cos x; du sin x; dv e x dx; v e x e x cos x e x sin xdx =
u sin x; du dx; dv e dx; v e e
x
x
x
cos x e x sin x e x cos xdx ,
тогда получаем
Замечание Если принять вначале u e x ; dv cos xdx;... , то получим тождество
x
x
e
cos
xdx
e
cos xdx

6.

Примеры с решениями
1) sin 3 x cos 2 xdx (1 cos 2 x) cos 2 xd (cos x) 1 cos 3 x 1 cos 5 x c
3
2) sin
5
1
sin 2 x 1 cos 2 x
x cos 4 xdx (sin x cos x) 2 cos 2 xdx
dx sin 2 x(1 cos 2 x)dx
2
8
2
2
2
1
1
1 1 cos 4 x
1
1
1
2
2
2
sin
2
xdx
sin
2
x
cos
2
xdx
dx
sin
2
xd
(sin
2
x
)
dx
cos 4 xdx
8
8
8
2
16
16
16
1
x sin 4 x sin 3 2 x
3
sin 2 x
c
48
16
64
48
3)
4)
5)
6)
dx
sin 3 x cos x
dt
t3
1
(1 t )
(1 t 2 ) 3 / 2 (1 t 2 )1 / 2
2
1 t 2
1
1
3 dt 2 ln | t | c
ln | tgx | c
t
2t
2tg 2 x
dx
(sin 2 x cos 2 x) 2
dx
ctg 2 x
ctg 4 x
2 3 1 5
dx
2
dx
dx
ctgx
ctg x ctg x c
6
6
2
2
2
sin x
sin x sin x sin x
3
5
sin x
x
tg 2
2 2
2
1 t dt 1 1 ln | t | t c 1 1 ln | tg x | 2 c
dx
2dt
3
sin 3 x
8t 3
8
2
2
8
8t 2 2
2 x
2 2t
8
tg
1 t 1 t 2
2
dx
dt
dt
1 1
t 3
1
tgx 3
ln
c
ln
c
sin 2 x 3 cos 2 x 2 t 2
t2 3 2 3 t 3
2 3 tgx 3
3
1 t 1 t 2 1 t 2

7.

7) dx
1 2tgx
dt
1
[ x 2 ln | cos x 2 sin x |] c
1 t 2 (1 2t ) 5
Это после разложения на простейшие дроби, вычисления интегралов от
них и возврата к старой переменной.
8) sin x sin 5 xdx 1 (cos 4 x cos 6 x)dx 1 sin 4 x 1 sin 6 x c
2
8
12
9) x 2 cos xdx u x 2 ; du 2 xdx; dv cos xdx; v sin x x 2 sin x 2 x sin xdx
u x; du dx; dv sin x; v cos x x 2 sin x 2( x cos x cos xdx) x 2 sin x 2 x cos x 2 sin x c
x
x
x
x
x
10) e cos xdx u cos x; du sin x; dv e dx; v e e cos x e sin xdx =
u sin x; du dx; dv e dx; v e e
x
тогда получаем
x
x
cos x e x sin x e x cos xdx
ex
2 e cos xdx e (cos x sin x) e cos xdx (cos x sin x) c
2
x
x
x
Замечание Если принять вначале u e x ; dv cos xdx;... , то получим тождество
x
x
e
cos
xdx
e
cos xdx

8.

Примеры для самостоятельного решения
1) x sin 2 xdx
2) sin 5 x cos 5 xdx
3)
dx
sin x cos 4 x
4)
5
tg
xdx
5) sin x sin
x
x
sin dx
2
3
6)
dx
1 cos x
7)
sin 2 xdx
1 sin 2 x
8)
dx
3 5tgx
9)
dx
3 5 sin x 3 cos x
10)
dx
sin 2 x cos 2 x