Лекция_13_Интегрирование_тригонометрических_функций

1. Интегрирование тригонометрических и иррациональных функций

Интегрирование тригонометрических функций
Интегрирование иррациональных функций

2. Интегрирование тригонометрических функций

Универсальная тригонометрическая подстановка
Функцию с переменными sin x и cos x, над которыми выполняются
рациональные действия, принято обозначать
R(sin x; cos x )
Вычисление неопределенных интегралов типа:
R(sin x; cos x ) dx
Знак рациональной функции
сводится к вычислению интегралов от рациональной функции с
помощью подстановки, которую называют универсальной:
x2 x
12 tgtg
22
x
2
t
1
t
2
dt
2t
1
t
2dt
2
2
tg t sinsin
x 2 2 22 ; dx
cos
x
2;t
xx x2
arctg
cosdx
2
1t
t tt
1 1t1 tgtg2 2xx 11 1
1 t 2
22

3. Интегрирование тригонометрических функций

На практике применяют и другие, более простые подстановки, в
зависимости от вида подынтегральной функции R (sin x; cos x )
Если функция нечетна относительно sin x, то есть:
R( sin x; cos x ) R(sin x; cos x )
то применяется подстановка cos x = t.
Если функция нечетна относительно cos x, то есть:
R(sin x; cos x ) R(sin x; cos x )
то применяется подстановка sin x = t.
Если функция четна относительно cos x и sin x, то есть:
R( sin x; cos x ) R(sin x; cos x )
тогда:
2
t
1
dt
2
2
tgx t
sin x
; cos x
; dx
2
2
1 t
1 t
1 t 2

4. Интегрирование тригонометрических функций

dx
1 sin x cos x
x
tg t ;
2
2t
sin x
;
2
1 t
1 t 2
2dt
cos x
; dx
2
1 t
1 t 2
2dt
2
2dt
1
t
2
2
2
1 t 2t 1 t
2t
1 t
2
1
t
1
2
1 t 2
1 t
1 t 2
dt
ln t 1 C ln tg x 1 C
t 1
2

5. Интегрирование тригонометрических функций

tgx t ;
dx
2
1 sin x
sin x
t
;
2
1 t
1
dt
cos x
; dx
2
2
1 t
1 t
dt
2
dt
1
dt
2
1
t
arctg 2t C
2
2
t
1 2t
2 t2 1
2
1
2
1 t2
2
arctg
2
2tgx C

6. Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы типа:
m
n
sin
x
cos
x dx
Используются следующие подстановки:
Если n – целое положительное нечетное число: sin x = t
Если m – целое положительное нечетное число: cos x = t
В этих двух случаях можно также произвести «отщепление» одной
из нечетных степеней с последующим внесением под знак
дифференциала.
Если m и n - целые неотрицательные четные числа, то
применяются формулы понижения степени:
1
sin x (1 cos 2 x );
2
2
1
cos x (1 cos 2 x )
2
2
Если m + n - отрицательное четное целое число, то
применяется подстановка: tg x = t

7. Интегрирование тригонометрических функций

7
2
7
3
sin
x
cos
x cos xdx
sin
x
cos
xdx
7
9
(sin
x
sin
x )d (sin x )
sin x(1 sin x)d (sin x)
7
2
1 sin2 x
sin8 x sin10 x
C
8
10
2
4
1
sin
x
dx
2 (1 cos 2x ) dx
1
1
1
2
1 2 cos2x cos 2x dx 4 dx 2 cos 2xdx
4
1
1
1
1
1
1 cos4 x dx 4 x 4 sin 2 x 8 x 32 sin 4 x C
8

8. Интегрирование тригонометрических функций

1
13
sin 3 x cos 3 xdx
1
13
В данном случае m , n ,
3
3
1 13
12
m n 4
3 3
3
1
13
sin 3 x cos 3 xdx
cos
sin 1 / 3 x
13 / 3
x
cos x cos x cos x
tg 1 / 3 x
4
dx
tg 1 / 3 x
2
dx
2
dx
cos x cos
sin 1 / 3 x
1/ 3
12 / 3
x
1
tg 3 x tg 2 x 1 d tgx
1
7
1
7
tg 3 x tg 3 x d tgx tg 3 xd tgx tg 3 xd tgx
10
4
3
3
tg 3 x tg 3 x C
10
4
dx

9. Интегрирование тригонометрических функций

sin x cos x
dx
4
В данном случае m 4,
2
n 2,
m n 6
dx
sin x cos x
dx
4
2
4
2
sin x cos x
sin x cos x
dx
dx
2
2
4
sin x cos x
sin x
2
2
sin 2 x cos2 x
1
dx
dx
2
2
2
2
sin x cos x
sin x sin x
ctg x 1 d ctgx
dx
dx
2
2
cos x
sin x
2
ctg 3 x
ctg 3 x
tgx ctgx
ctgx C tgx 2ctgx
C
3
3

10. Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы типа:
tg m xdx;
ctg m xdx, m 2,3,...
Используются следующие формулы:
1
tg x
1,
2
cos x
2
ctg 4 xdx ctg 2 x
ctg 2 x
1
2
sin x
1
1
1
2
2
1
dx
ctg
x
dx
ctg
xdx
2
2
sin x
sin x
1
ctg 3 x
dx
ctg xd ctgx 2 1 dx
dx
2
3
sin x
sin x
2
ctg 3 x
ctgx x C
3

11. Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы типа:
sin ax cos bx dx; cos ax cos bx dx; sin ax sin bx dx
Вычисляются с помощью формул тригонометрии:
sin x cos x 0.5(sin( ) sin( ));
cos x cos x 0.5(cos( ) cos( ));
sin x sin x 0.5(cos( ) cos( ))
sin 8 x cos 2xdx 0.5 (sin10 x sin 6 x ) dx
1
1
0.5( cos10 x cos6 x) C
10
6
1
1
cos10 x cos6 x C
20
12

12. Интегрирование иррациональных функций

Простейшие интегралы, содержащие
квадратный трехчлен
Интегралы вида
ax bx c
dx
2
приводятся к табличным интегралам путем
выделения полного квадрата в квадратном
трехчлене.

13. Интегрирование иррациональных функций

1 4x x
dx
2
2
x
2 2 x 4 4 1
1 4x x x 4x 1
2
2
x 2 5 5 x 2
2
2
d x 2
1 4 x x 5 x 2 5 x 2
dx
2
x 2
arcsin
C
5
dx
2
2
2

14. Интегрирование иррациональных функций

Интегралы вида
mx n
ax bx c
2
dx
приводятся к интегралам, рассмотренным выше,
путем выделения в числителе производной 2ax b
квадратного трехчлена из знаменателя по формуле
m
mb
mx n 2ax b n
2a
2a

15. Интегрирование иррациональных функций

mx n
ax bx c
2
m
2a
dx
d ax2 bx c
m
mb
2ax b n
2a
2a
n mb
ax bx c
2
ax 2 bx c
2a
m
mb
2
ax bx c n
a
2a
dx
ax bx c
dx
2
ax bx c
dx
2

16. Интегрирование иррациональных функций

x 3
x 2x 2
2
x 3
dx
1
2 x 2 3 2 1 2 x 2 2
2
2 2
1
2 x 2 2
x 3
2
dx
dx
2
2
x 2x 2
x 2x 2
1
2x 2
dx
dx 2
2
2
2
x 2x 2
x 2x 2
1 d x 2 2 x 2
2
2
x2 2 x 2
x 1 1
dx
2
x 2 2 x 2 2 ln x 1 x 2 2 x 2 C

17. Интегрирование иррациональных функций

Интегралы вида
mx n ax bx c
dx
2
приводятся к интегралам, рассмотренным выше с
помощью обратной подстановки
1
t
mx n

18. Интегрирование иррациональных функций

x 1 x 2x
dx
2
1
1
1
1
t
x 1 , x 1, dx 1 dt 1 dt
x 1
t
t2
t
t
1
2 dt
t
dt
2
1
x 1 x 2 2 x 1 1 1 2 1 1
t 2 1
t t
t
t
dx
1 t
dt
1
arcsin
t
C
arcsin
C
2
x 1

19. Интегрирование иррациональных функций

Рассмотрим интегралы от некоторых иррациональных функций,
которые с помощью подстановок приводятся к интегралам от
рациональных функций новой переменной.
Интегралы вида:
m n
R
(
x
,
x
,
x
)dx
сводятся к интегралу от рациональной функции подстановкой
N
x t где N – наименьшее общее кратное (НОК) значений m и n.
ax b n ax b
Интегралы вида: R( x,
,
)dx
cx d
cx d
где a, b, c, d – постоянные, приводится к интегралу от
m
рациональной функции с помощью подстановки:
ax b
tN
cx d
где N – наименьшее общее кратное m и n.

20. Интегрирование иррациональных функций

dx
x 3 x
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей 1 и 1 есть 6.
2 3
dx
x t6; t 6 x
6t 5dt
t3
6
dt
3
2
3
t t
t 1
x x dx 6t 5dt
t 1 1
1
t 1 t t 1 1
6
dt 6
dt
dt 6 t t 1
3
t 1
2
t 1
2
t 1
t3 t2
6 t ln t 1 C
3 2
2 x 3 3 x 6 6 x 6 ln 6 x 1 C

21. Интегрирование иррациональных функций

dx
4
x 3 1 x 3
Наименьшее общее кратное знаменателей дробей 1 и 1 есть 4
2 4
x 3 t ; x t 3
dx
4
3
x 3 1 x 3 dx 4t dt; t 4 x 3
4
4t 3dt
t
4
dt 4
2
t 1 t
t 1
4
t 1 1 dt 4 dt 4
t 1
4t 4 ln t 1 C 4 4 x 3 4 ln 4 x 3 1 C
dt
t 1

22. Интегрирование иррациональных функций

Иррациональные функции вида:
R( x, ax 2 bx c )
выделением полного квадрата сводятся к 3-м видам функций, для
каждой, из которой применяется свой вид подстановки:
1) R(u,
l 2 u 2 ) подстановка: u l sin t
2) R(u,
l 2 u 2 ) подстановка: u l tg t
3) R(u,
u l ) подстановка:
2
2
l
u
cost

23. Интегрирование иррациональных функций

3 2x x dx 3 ( x 2x ) dx 4 x 1 dx
2
2
2
u x 1
u 2 sin t
2
4 u du
du 2 cos tdt
du dx
4 4 sin2 t 2 cos tdt 2 cos2 t 2 cos t dt
1 cos 2t
dt 2t sin 2t C
4 cos tdt 4
2
2
u
u2 x 1
3 2x x 2
sin t sin 2t 2 sin t cos t u 1
2
4
2
x 1
x
1
x
1
2
t arcsin
2
arcsin
3
2
x
x
C
2
2
2

24. Интегрирование иррациональных функций

x 2 sin t
dx 2 cos tdt
4 x2
dx
2
x
t arcsin x
2
4 4 sin 2 t
2 costdt
2
4 sin t
cos2 t
2 1 sin 2 t
costdt
dt
2
2
2 sin t
sin t
1
dt dt ctgt t C
2
sin t
1 sin 2 t
dt
2
sin t
4 x2
x
arcsin C
x
2

25. Интегрирование иррациональных функций

При выполнении обратной замены воспользовались
следующим
2
x
1
2
cost
1 sin t
4 x2
2
ctgt
x
sin t
sin t
x
2

26. Интегрирование иррациональных функций

I
x2 2x 4
dx
3
x 1
x 2 2 x 4 x 2 2 x 1 5 x 1 5
2
u x 1 du dx I
u2 5
du
3
u
5
t
u
du 52 sin t dt 5 sin
dt,
2
cost
cos t
cos t
u 5
2
5
5
2
cos t
1 cos2 t
5
2
cos t
sin t
1
5 sin t
cos
t
I
dt
2
1
cos t
5
5 5
3
cos t
5
sin 2 t
5
2
cos t
sin t
5
cost
1 1 cos 2t
dt
sin tdt
2
5
2

27. Интегрирование иррациональных функций

5
5
5
5
dt
cos 2tdt
t
cos 2t d 2t
10
10
10
20
5
5
5
5
t
sin t cost C
t
sin 2t C
10
10
10
20
cost
5
5
t arccos ,
u
u
2
2
5
u
5
u
5
2
sin t 1 cos t 1 2
2
u
u
u
5
5
5 5 u2 5
I
arccos
C
10
u
10 u
u
5
5
5 x 2 2 x 4
arccos
C
2
10
x 1
x 1