Понятие о числовом ряде Частичная сумма и числовой ряд, сходимость числового ряда. Тема 7

1.

Часть 7 Тема 1
Понятие о числовом ряде
Частичная сумма и числовой ряд, сходимость числового ряда

2. В этом видео

1. Частичная сумма
В этом видео
последовательности
2. Числовой ряд
3. Сходимость ряда

3.

Частичная сумма последовательности
Для последовательности
суммой будет называться
частичной

4.

Например

5.

Последовательность частичных сумм
Такая последовательность
в совокупности
с исходной последовательностью
и называется числовым рядом.

6.

Обозначение числового ряда
- числовой ряд

7.

Сходимость числового ряда
Числовой ряд
сходится, если сходится
последовательность его частичных сумм

8.

Абсолютная сходимость
числового ряда
Числовой ряд
сходится абсолютно, если
сходится ряд из модулей его членов

9.

Например:

10.

Например:

11.

Например:

12.

Неразрешенные проблемы:

13. Итоги

1. Дано определение частичных
сумм
Итоги
2. Сформировано понятие о
числовом ряде
3. Исследована сходимость
числовых рядов

14.

Часть 7 Тема 2
Признаки сходимости
числовых рядов
Решение задачи о сходимости числового ряда

15. В этом видео

1. Признак д’Аламбера
В этом видео
2. Признак Коши
3. Признак Лагранжа
4. Признак Раабе

16.

Признак д’Аламбера сходимости
числового ряда
- ряд сходится
- ряд
расходится

17.

Например:

18.

Например:

19.

Признак Коши сходимости
числового ряда
Пусть заданы
тогда если
то расходится.
и
, то ряд сходится, если
,
,

20.

Например:

21.

Например:

22.

Признак Лейбница сходимости
числового ряда
Пусть
Если
то ряд сходится.
И
,

23.

Теорема Лейбница
Пусть
Тогда

24.

Теорема Лейбница
Тогда

25.

Теорема об оценке остатка ряда
Пусть
Если
то
и
,

26.

Например:
- сходится условно
- сходится условно

27.

Признак Раабе сходимости
числового ряда
Пусть заданы
Если
а если
и
, то ряд сходится,
, то ряд расходится

28.

Например:

29.

Вычисление суммы ряда
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
import math
def a(i):
return (-1)**n/(i**2)
acc = 0.0001
sum = 0
i=1
while (math.fabs(a(i)) > acc and math.fabs(a(i))>math.fabs(a(i+1)))
summ = summ + a(i)
i=i+1
print (i, summ)

30. Итоги

1. Признаки сходимости
Итоги
различаются по силе
2. Все признаки сходимости
основаны на сравнении

31.

Часть 7 Тема 3
Разложение функции
в ряд
Исследование аналитичности функций

32. В этом видео

1. Ряд Тейлора
2. Ряд Фурье

33.

Ряд Тейлора
применяется для разложения функций в
бесконечный ряд степенных функций.

34.

Ряд Тейлора

35.

Например:

36.

Например:

37.

Многочлен Тейлора

38.

Например:

39.

40.

Ряд Маклорена

41.

Область сходимости ряда Тейлора

42.

Например:

43.

Формула Тейлора

44.

Аналитичность функции
1. Наличие производной бесконечного порядка

45.

Например:

46.

Ряд Фурье
применяется для разложения функции с периодом
в бесконечный ряд

47.

Ряд Фурье

48.

Тригонометрический ряд Фурье

49.

50. Итоги

1. Ряд Тейлора служит для
Итоги
приближенных вычислений
2. Ряд Фурье применяется для
периодических функций