Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. (Семинар 26)

1. Семинар 26

Признак Даламбера.
Радикальный признак Коши.
Интегральный признак Коши.

2.

Признак Даламбера
Рассмотрим ряд u1 u2 ... un ...(un 0) (*)
Если при n существует предел отношения последующего элемента к
u
предыдущему, то есть lim n n 1 , то при
un
1 - ряд сходится; 1 - ряд расходится; 1 - признак Даламбера не
действует.
Радикальный признак Коши.
Рассмотрим ряд u1 u 2 ... u n ...(u n 0) (*)
Если при n существует , lim n n u n то при
1 - ряд сходится; 1 - ряд расходится; 1 - радикальный признак
Коши не действует.
Интегральный признак Коши
Не трудно заметить полную аналогию определений сходимости ряда и
сходимости несобственного интеграла с бесконечным верхним пределом.
Много общего и в признаках сходимости рядов с положительными
элементами и интегралов с положительной подынтегральной функцией.

3.

Рассмотрим признак, позволяющий в некоторых случаях сводить вопрос о
сходимости ряда, к вопросу о сходимости интеграла.
Рассмотрим ряд u1 u 2 ... u n ...(u n 0) (*), элементы которого являются з
начениями непрерывной положительной функции f(x) при целых значениях
аргумента х: u1 f (1), u2 f (2),..., un f (n),.... и пусть f(x) монотонно убывает в
интервале [1, ).
Тогда ряд сходится, если сходится несобственный интеграл f ( x ) dx
1
и расходится, если этот интеграл расходится.
Ряды с произвольными элементами. Абсолютная сходимость
Знакочередующиеся ряды
Знакочередующийся ряд можно записать в таком виде:
(u1 u 2 u3 ...) (*), где u1 , u 2 , u3 ,...- положительные числа.
Достаточный признак сходимости – признак Лейбница
Если в знакочередующемся ряду абсолютные величины элементов ряда
убывают, то есть в ряде (*) u1 u 2 u3 ... и общий элемент u n 0 , то ряд
сходится, причем его сумма по абсолютной величине меньше u1 ;

4.

остаток ряда rn по абсолютной величине меньше абсолютной величины
первого из отбрасываемых элементов rn un 1 .
Абсолютная сходимость
Для рядов с произвольным распределением знаков существует следующий
достаточный признак сходимости
Если ряд, составленный из абсолютных величин данного ряда, сходится,
то сходится и данный ряд.
Примеры с решениями
1. Исследовать сходимость рядов
2 2 2 23
2n
1) 10 10 ... 10 ...
n
10
n 1
10
1 2
3
n
Решение. Применим признак Даламбера; имеем u n 2 / n ; u n 1 2 /( n 1)
10
u
2
n
2
n
1
тогда lim
lim
lim
2 1 расходится
n u
n ( n 1)10
n
1
n
(1 )10
n
1 2
3
n
2)
... n / 2 ...
3
3
3 3
3
n/2
( n 1) / 2
Решение. Применим признак Даламбера; имеем u n n / 3 ; u n 1 (n 1) / 3
u
n 1
1 1/ n
1
тогда lim n 1 lim
lim
1 сходится
n
un
n
n 3
n
3
3

5.

2
3)
3
n
1 2 3
n
...
...
3 5 7
2n 1
n
n
n n
Решение. Применим радикальный признак Коши; имеем u n
un
2n 1
2n 1
n
1
1
тогда lim n u n lim
n
4)
n
1 1
1
n
n
2
n 1
2n 1
lim
n
2 1/ n
2
1 сходится
n2
Решение. Применим радикальный признак Коши; имеем
n2
n
n
1 1
1 1
1
1
n
u n n 1 u n 1 , тогда lim n u lim 1 e 1 расходится
n
2 n
2 n
n
n 2
2
n
5)
1
1
1
...
...
2 ln 2 3 ln 3
n ln n
Решение. Применим интегральный признак Коши.u n
1
1
, f ( x)
(n 1) ln( n 1)
( x 1) ln( x 1)
dx
d (ln( x 1))
ln
ln(
x
1
)
|
1
1 ( x 1) ln( x 1) 1 ln( x 1)
- интеграл расходится, поэтому
и ряд расходится

6.

6. 1 1 1 1 ...
Решение. Общий элемент ряда не стремится к нулю, поэтому ряд расходится
1 1
1
1
1
7. 1 2 3 4 5 ... Решение. Составим ряд из абсолютных
2 2
2
2
2
1
1
1
1
1
величин: 1 2 3 4 5 ... Этот ряд есть бесконечно
2 2
2
2
2
убывающая геометрическая и, следовательно, сходится. Значит, и данный ряд
сходится, причем абсолютно.
Примеры для самостоятельного
решения:
n
n3
2
n!
5
n
1. Исследовать сходимость рядов 1.
2. n 1 3.
23
n 1
5 n
n
n 1
n
n 1
( n 1)!
2. Исследовать на условную
и абсолютную сходимость знакопеременного
1
3
n
2
n
1
n
(
1
)
ряда: 1. ( 1)
2.
n ln n
n 2
n ln n
n 2
3. Вычислить
сумму ряда с указанной
точностью
n
n
( 1)
1. ( 1) n
2.
, 0.001
,
0
.
01
3
n
1 n
n 1
n 0 n! 2