Производные высших порядков. Формула Лейбница. Производные высших порядков. (Семинар 10)

1.

Семинар 10. Производные высших порядков. Формула Лейбница.
Производные высших порядков
Производная f’(x) функции f(x) называется производной первого порядка и
представляет собой некоторую новую функцию. Вполне допустимо, что эта функция
сама имеет производную. Тогда производная от производной первого порядка
называется производной второго порядка или второй производной.
Обозначение f”(x)=[f’(x)]’
Производная от производной второго порядка, если она существует называется
производной третьего порядка или третьей производной
Обозначение f”’(x)=[f”(x)]’ и так далее.
-производная n порядка.
f ( n ) ( x)
Пример
y x 4 2 x 3 3x 2 1 y' 4 x 3 6 x 2 6 x y' ' 12 x 2 12 x 6 y' ' ' 24 x 12 y iv 24
Производные высших порядков от функции, заданной параметрическими
уравнениями
Пусть функция y аргумента x задана параметрическими уравнениями x (t ), y (t )
(1),где (t ), (t ) - дифференцируемые функции и (t ) 0 t 0 t T
Причем на отрезке [t , T ] функция x (t ) имеет обратную функцию t (x)
0
Для первой производной имеет место формула
dy
y
y x'
dt
dx
x
dt
'
t
'
t
(2)

2.

d2y
Для нахождения второй производной y , 2
dx
имя в виду, что t есть функция от х.
''
xx
дифференцируем по х равенство (2)
d dy dx dy d dx
d2y
dy
dy
d 2 y d dt d dt dt dt dt dt dt dt dt dt
dt 2
2
dx
dx 2 dx dx dt dx dx
dx
dt
dt
dt
ytt'' xt' yt' xtt''
y
( xt' ) 3
dx dy d 2 x
dt dt dt 2
3
dx
dt
или
(3)
''
xx
Формула Лейбница
На производные высших порядков распространяются общие правила
дифференцирования. Если u=u(x), v=v(x) – дифференцируемые функции, то
(u v) ( n ) u ( n ) v ( n) , (cu) ( n ) cu ( n)
Формула Лейбница, дающая возможность вычислить производную n – го порядка от
произведения двух функций, то есть (uv) ( n ) следующая
n(n 1) ( n 2 )
-формула Лейбница.
y ( n ) (uv)( n ) u ( n )v nu ( n 1)v'
u
v' ' ...nu ' v ( n 1) uv ( n )
2!

3.

Примеры с решениями
1.Найти y' , y' ' , y' ' ' ,...
для функции
Решение.
Имеем:
4
3
2
y ' 5 x 8 x 9 x 2 x 1,
y ' ' 20 x 3 24 x 2 18 x,
y ' ' ' 60 x 2 48 x 18,
y IV 120 x 48,
y V 120 x,
y VI y VII ... 0
2.Найти
y (n )
для функции y=lnx
Решение. Имеем:
1
x 1 ,
x
y ' ' 1 x 2 ,
y'
y ' ' ' 1 2 x 3 ,
y IV 1 2 3 x 4
....
y ( n ) 1 2 3...(n 1)( 1) n 1
3.Найти
y (n )
(n 1)!
xn
для функции
2x
y x 5 2 x 4 3x 3 x 2 x 7

4.

Решение. Имеем:
y' 2 x ln 2; y' ' 2 x ln 2 2; y' ' ' 2 x ln 3 2,...., y ( n) 2 x ln n 2
4. Найти
y (n ) для функции y=sinx
Решение. Имеем:
y ' cos x sin( x
2
),
y ' ' sin x sin( x 2 ),
2
y ' ' ' cos x sin( x 3 ),
2
.....
y ( n ) sin( x n )
2
5. Найти
dy
d2y
y' ; y' ' 2
dx
dx
, если x a cos 3 t; y a sin 3 t
Решение. Имеем
dy
3a sin 2 t cos t
3
3
y'
(a sin t )' /( a cos t )'
tgt
dx
3a cos 2 t sin t
( tgt) t'
d2y
sec 2 t
1
y' ' 2
3
'
2
dx
(a cos t ) t 3a cos t sin t 3a sin t cos 4 t

5.

Замечание. При решении можно также применять формулу (3) для нахождения второй
производной функции, заданной параметрическими уравнениями.
6. Применяя формулу Лейбница найти y (n ) для функции y x 2 e x
Решение.
u e x ; v x 2 ; u ( n) u ( n 1) u ( n 2) ; v' 2 x; v' ' 2; v' ' ' 0;
( x 2 e x ) ( n ) e x x 2 ne x 2 x n(n 1)e x e x ( x 2 2nx n(n 1))
Примеры для самостоятельного решения.
1.Найти производные второго порядка:
1) y
x a(t sin t )
22
1
x arccos t
;2) y x 2 (2 ln x 3);3)
;4)
2
x 5
4
y a(1 cos t )
y t t
2.Найти производные третьего порядка
x
ln 2 x
1) y
;2) y
;3) y (2 x 3) 3 2 x 3
6( x 1)
2
3.Найти производные n-го порядка
1) y x n x ;2) y cos x;3) y 2 x 2 x ;4) y
7) y x 2 sin x;8) y x 3 ln x
1
;5) y 5 3 cos 2 x;6) y e kx ;
2x 1