Производные высших порядков

1. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

2. Задание

• Выпишите определение производной n-ого порядка
• Выполнить задания 1-3

3. Определения и обозначения

Производной второго порядка функции y=f(x)
называется производная от её производной.
Вторая производная обозначается так: у′′ или f ′′ (x) .
• Аналогично производная третьего порядка есть
производная от производной второго порядка: у′′′
=(у′′ )′, и т. д.: уIV=(y′′′)′, …
• Вообще, производной n-го порядка называется
производная от производной (n-1)-го порядка:
у (n) = ( y (n-1) )′ или f (n) =( f (n-1) (x) )′.
ПРИМЕР
у = х4 + 2х3 – 3х2 + 5х + 8;
у′= 4х3 + 6х2 – 6х + 5;
у′′= 12х2 +12х – 6
у′′′= 24х +12;
у IV= 24;
y V= 0.

4. ПРИМЕРЫ

1. Найти производные второго порядка:
1 2
22
;
а) у
б) у х ( 2 ln x 3 );
4
х 5
1
2
в) y x sin 3 x
cos 3 x ;
9
27
г) y x ln( x
x2 a2 )
x2 a2 .
2. Найти производные третьего порядка:
а)
x
y
;
6( x 1 )
1 2
б) y ln x ;
2
в) y ( 2 x 3 )3 2 x 3 .

5.

3. Показать, что данная функция y
удовлетворяет данному уравнению:
функция у=х3 уравнение
yV+yIV+y′′′+y′′+y′+y=x3+3x2+6x+6.