Пересечение поверхностей, метод вспомогательных концентрических сфер

1. Лекция 14 «Пересечение поверхностей, метод вспомогательных концентрических сфер»

1

2.

Для применения метода концентрических сфер необходимо
выполнение трех условий:
1) Обе пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями
вращения;
2) Оси поверхностей должны пересекаться;
3) Поверхности должны иметь общую плоскость симметрии, т.е.оси
поверхностей должны лежать в одной плоскости.
2

3.

Алгоритм решения 2 ГПЗ.
1. Находим центр секущих сфер – точку пересечения осей вращения
заданных поверхностей.
2. Находим минимальный радиус сферы (Rmin). Сфера минимального
радиуса должна одну поверхность пресекать, а другой касаться, т.е.
быть вписанной.
3. Находим радиус
максимальной секущей сферы, она должна
проходить через самую дальнюю точку пересечения очерков
поверхностей.
4. Строим линии пересечения сферы Rmin с заданными поверхностями.
5. Определяем точки пресечения построенных линий.
6. Произвольно выбираем последовательно ряд промежуточных секущих
сфер и повторяем построения по пунктам 4 и 5.
7. Соединяем точки плавной кривой линией с учетом видимости.
3

4.

4

5.

5

6.

6

7.

7

8.

8

9.

9

10.

10

11.

11

12.

12

13.

13

14.

14

15.

15

16.

16

17.

17

18.

18

19.

19

20. Лекция 15 «Пересечение прямой с поверхностью (1 ГПЗ)»

20

21.

Алгоритм решения такой же как при пересечении прямой с
плоскостью.
21

22.

22

23.

23

24.

24

25.

25

26.

26

27.

27

28.

28

29.

29

30.

Условие задачи: Определить точки пересечения
прямой, заданной отрезком АВ, с поверхностью.
Решить вопрос видимости прямой.
30

31.

S2
Заданы поверхность
прямого кругового
конуса и отрезок
прямой общего
положения АВ
A2
B2
S1
B1
A1
31

32.

S2
A2
B2
S1
Для того, чтобы секущая
плоскость пересекла обе
фигуры по простым для
построения линиям, ее
надо задать «через»
прямую, так как
пересечением прямой и
плоскости, если прямая
принадлежит этой
плоскости, является сама
прямая.
B1
A1
32

33.

S2
α2 A
2
B2
S1
A1
B1
Однако, если зададим
фронтально проецирующую
плоскость α (α2 ), то линией
пересечения этой плоскости с
поверхностью конуса будет
эллипс, что не является простой
для построения линией.
33

34.

S2
A2
B2
S1
B1
Если зададим горизонтально
проецирующую плоскость α (α1),
то линией пересечения этой
плоскости с поверхностью конуса
будет гипербола, что так же не
является простой для построения
линией.
α1
A1
34

35.

S2
A2
B2
S1
A1
Если в качестве посредника
воспользоваться плоскостью
общего положения и задать ее
через вершину конуса, то линией
B1 пересечения этой плоскости с
поверхностью будут две
пересекающиеся прямые.
35

36.

S
Рассмотрим решение задачи на
примере пространственной
модели. Следует иметь ввиду, что
линия среза (основание
конуса) должна принадлежать
плоскости проекций, или надо
дополнительно вводить плоскость
уровня П0 , чтобы основание
принадлежало этой плоскости. .
A
B
П0
36

37.

S
Зададим плоскость общего
положения двумя
пересекающимися прямыми, одна
из которых - заданная АВ, а
другую зададим через вершину S
и точку на прямой АВ, например,
через точку А
( можно задать
любую другую точку на этой
прямой).
A
B
П0
37

38.

S
Построим следы плоскости
общего положения SАВ на
плоскости проекций (П0 ), для чего
найдем следы прямой S А (точка
М).
A
B
П0
M
38

39.

S
Построим следы плоскости
общего положения SАВ на
плоскости проекций (П0 ), для чего
найдем следы прямой S А (точка
М).
И следы прямой АВ (точка Т).
A
П0
B
Т
M
39

40.

S
Следом плоскости общего
положения SАВ на плоскости
проекций (П0 ) является прямая
(отрезок) МТ. В этой же плоскости
П0 лежит основание конуса.
A
П0
B
Т
M
40

41.

Следом плоскости общего
положения SАВ на плоскости
проекций (П0 ) является прямая
(отрезок) МТ. В этой же плоскости
П0 лежит основание конуса.
S
Отмечаем точки 1 и 2 взаимного
пересечения основания конуса и
следа плоскости МТ.
A
П0
B
Т
M
2
1
41

42.

Пересечением плоскости общего
положения SАВ с поверхностью
конуса являются две прямые
S1 и S2.
S
A
П0
B
Т
M
2
1
42

43.

Отрезки АВ, S1 и S2 принадлежат
плоскости SМТ.
Следовательно, точки D и Е
(пересечение АВ с отрезками S1 и
S2) являются точками пересечения
АВ с поверхностью конуса.
S
A
C
D
П0
B
Т
M
2
1
43

44.

Отрезки АВ, S1 и S2 принадлежат
плоскости SМТ.
Следовательно, точки D и Е
(пересечение АВ с отрезками S1 и
S2) являются точками пересечения
АВ с поверхностью конуса.
S
A
C
D
B
Т
M
2
1
44

45.

S
A
C
D
B
45

46.

S
A
C
D
B
46

47.

47

48.

48

49.

49

50.

50

51.

51

52.

52

53.

53

54.

54

55.

55

56.

56