Элементы аналитической геометрии
Линии на плоскости
Линии на плоскости
Линии на плоскости
Линии на плоскости
Линии на плоскости
Линии на плоскости
Линии на плоскости
Линии на плоскости
Линии на плоскости
Линии на плоскости
Линии и поверхности в пространстве
Линии и поверхности в пространстве
Линии и поверхности в пространстве
Линии и поверхности в пространстве
Линии и поверхности в пространстве
Линии и поверхности в пространстве
Линии и поверхности в пространстве
Линии и поверхности в пространстве
Линии и поверхности в пространстве
Линии и поверхности в пространстве
Линии и поверхности в пространстве
Линии и поверхности в пространстве
699.00K
Категория: МатематикаМатематика

Элементы аналитической геометрии

1. Элементы аналитической геометрии

Линии на плоскости
Окружность. Эллипс. Гипербола. Парабола
Линии и поверхности в пространстве
Цилиндрические поверхности. Поверхности
вращения.

2. Линии на плоскости

Уравнением линии на плоскости ОХУ называется
такое уравнение F(x,y)=0, которому удовлетворяют
координаты х и у в каждой точке линии и не
удовлетворяют координаты любой точки, не
лежащей на этой линии
Всякое уравнение первой степени относительно х
и у вида Ax+By+C=0, где A, B, C – постоянные
коэффициенты, причем A2 B 2 0 определяет на
плоскости некоторую прямую

3. Линии на плоскости

Рассмотрим прямую l и точку M 0 ( x0 , y0 ) l .
Рассмотрим произвольную точку M(x, y).
Точка M l тогда и только тогда, когда
M 0 M m ( M 0 M , m) 0
m( A, B)
M ( x, y )
l
m( A, B); M 0 M ( x x0 , y y0 )
M 0 ( x0 , y0 )
( M 0 M , m) A( x x0 ) B( y y0 ) 0
Ax By ( Ax0 By 0 ) 0
Ax By С 0 -общее уравнение прямой на
плоскости

4. Линии на плоскости

Кривой второго порядка называется линия,
определяемая уравнением второй степени
относительно текущих координат
Ax 2Bxy Cy 2Dx 2Ey F 0
2
2
Все коэффициенты действительные числа,
причем хотя бы одно из чисел A,B,C отлично от
нуля A2 B 2 С 2 0

5. Линии на плоскости

Окружностью называется множество точек
плоскости, находящихся на одинаковом
расстоянии, называемом радиусом, от
фиксированной точки, называемой центром
окружности
УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
( x x0 ) ( y y0 ) R
О( x0 , y0 ) - центр окружности
- радиус окружности
R
2
2
2

6. Линии на плоскости

Эллипсом называется множество точек плоскости,
сумма расстояний от которых до двух данных
точек F1 и F2 , называемых фокусами, есть
величина постоянная, причем эта постоянная
больше расстояния между фокусами
MF1 MF2 2a

7. Линии на плоскости

Если фокусы эллипса располагаются в точках
F1 ( c,0), F2 (c,0) , то каноническое уравнение
эллипса имеет вид
УРАВНЕНИЕ ЭЛЛИПСА
2
2
x
y
1
2
2
a
b
Числа a>0, b >0 называются большой и малой
полуосями эллипса, причем a 2 b 2 c 2 .

8. Линии на плоскости

Гиперболой называется множество точек
плоскости, абсолютная величина разности
расстояний от которых до двух данных точек F
1
и F2 , называемых фокусами, есть величина
постоянная, причем эта постоянная меньше
расстояния между фокусами
MF1 MF2 2a

9. Линии на плоскости

Если фокусы гиперболы располагаются в точках
F1 ( c,0), F2 (c,0) , то каноническое уравнение
гиперболы имеет вид
УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛЫ
2
2
x
y
1
2
2
a
b
, где
b c a
2
2
2

10. Линии на плоскости

Параболой называется множество точек
плоскости, равноудаленных от данной точки F,
называемой фокусом, и данной прямой m,
называемой директрисой
MB MF

11. Линии на плоскости

p
p
, 0 ),
Если прямая m: x
,а F(
2
2
то каноническое уравнение параболы имеет вид
УРАВНЕНИЕ ПАРАБОЛЫ
y 2 px
2
, где
p 0

12. Линии и поверхности в пространстве

Уравнением поверхности в прямоугольной системе
координат OXYZ называется такое уравнение
F(x,y,z)=0, которому удовлетворяют координаты
любой точки, принадлежащей поверхности, и не
удовлетворяют координаты любой точки, не
принадлежащей поверхности
Всякое линейное уравнение с тремя переменными
вида Ax+By+Cz+D=0, где A, B, C, D – постоянные
коэффициенты, причем A2 B 2 С 2 0 определяет
в пространстве некоторую плоскость

13. Линии и поверхности в пространстве

Рассмотрим плоскость
.
n( A, B, C)
M 0 ( x0 , y0 , z0 )
M ( x, y, z )
n( A, B, C ); M 0 M ( x x0 , y y0 , z z0 )
M 0 M m ( M 0 M , m) 0
A( x x0 ) B( y y0 ) С ( z z0 ) 0
Ax By Сz ( Ax0 By 0 Cz0 ) 0
Ax By Сz D 0 -общее уравнение плоскости
в пространстве

14. Линии и поверхности в пространстве

Прямая в пространстве может быть задана
уравнениями двух плоскостей, пересекающихся
по этой прямой, то есть в виде системы
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C2 z D2 0

15. Линии и поверхности в пространстве

a(m, n, p)
M ( x, y )
l
M 0 ( x0 , y0 )
a(m, n, p) // l
M 0 ( x0 , y0 , z0 ) l
M ( x, y, z ) l
a(m, n, p); M 0 M ( x x0 , y y0 , z z0 )
x x0
y y0 z z 0
M 0 M // a
m
n
p
x x0 y y0 z z0 - каноническое уравнение
m
n
p прямой в пространстве

16. Линии и поверхности в пространстве

Поверхность, образованная движением прямой L,
которая перемещается в пространстве, сохраняя
постоянное направление и пересекая каждый раз
некоторую кривую К, называется цилиндрической
поверхностью или цилиндром.
кривая К – направляющая цилиндра
прямая L – образующая цилиндра

17. Линии и поверхности в пространстве

Уравнение цилиндра, образующие которого
параллельны оси Оz, имеет вид F(x, y)=0
(то есть не содержит координаты z)

18. Линии и поверхности в пространстве

Если направляющая – эллипс в плоскости
Oxy, то имеем поверхность, называемую
эллиптическим цилиндром
2
2
x
y
1
2
2
a
b

19. Линии и поверхности в пространстве

Если направляющая –гипербола в плоскости
Oxy, то имеем поверхность, называемую
гиперболическим цилиндром
Z
2
2
x
y
1
2
2
a
b
Y

20. Линии и поверхности в пространстве

Поверхность, образованная вращением некоторой
плоской кривой вокруг оси, лежащей в ее
плоскости называется поверхностью вращения

21. Линии и поверхности в пространстве

Пусть некоторая кривая L лежит в плоскости
Oyz. Уравнение этой кривой имеет вид:
F ( y, z ) 0
x 0
Поверхность, образованная вращением
кривой L вокруг оси Oz, имеет вид:
F ( x y , z) 0
2
2

22. Линии и поверхности в пространстве

Если вращать кривую, заданную уравнением
F ( x, y ) 0
z 0
- вокруг оси Ox, то поверхность задается
уравнением
F ( x, y z ) 0
2
2
- вокруг оси Oy, то поверхность задается
уравнением
F ( y, x z ) 0
2
2

23. Линии и поверхности в пространстве

Oz - ось вращения
x y
z
2 1
2
a
c
2
2
2
x y 2 pz
2
2
- эллипсоид вращения
- параболоид вращения
English     Русский Правила