Проецирование плоскости

1.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ

2.

ПРОЕЦИРОВАНИЕ ПЛОСКОСТИ
Плоскость – неопределяемое понятие геометрии
Классификация плоскостей
Плоскость общего положения – не параллельна и не перпендикулярна ни
одной из плоскостей проекций.
Плоскость частного положения – параллельна или перпендикулярна к
плоскости проекций:
плоскость уровня – плоскость, параллельная какой-либо плоскости проекций;
проецирующая плоскость – плоскость, перпендикулярная какой-либо
плоскости проекций.

3.

ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
Задание плоскости на чертеже
Три точки, не лежащие на одной прямой, задают плоскость в пространстве
рис. 3.1

4.

Задание плоскости следами
Следы плоскости – прямые, по которым данная плоскость пересекается
с плоскостями проекций.
- горизонтальный след плоскости («нулевая горизонталь» плоскости) h0α
- фронтальный след плоскости («нулевая фронталь» плоскости) f0α
- профильный след плоскости («нулевая профильная прямая»)
p0α
xα , yα , zα - точки схода следов
Рис. 3.2
Рис. 3.3

5.

ТОЧКА И ПРЯМАЯ В ПЛОСКОСТИ
Признаки принадлежности:
Теорема. Если точка принадлежит плоскости, то проекции точки принадлежат
одноименным проекциям прямой, лежащей в этой плоскости.
A
α < = > A'
lα' ᴧ A''
lα''
Построение неизвестной проекции точки, принадлежащей плоскости α
План решения:
1. Провести через заданную проекцию точки
одноименную проекцию вспомогательной
прямой l , принадлежащей данной плоскости.
2. Построить вторую проекцию вспомогательной
прямой l .
3. Найти недостающую проекцию точки на
основании
инвариантного
свойства
ортогонального проецирования.
Рис. 3.4

6.

Построение неизвестной проекции точки, принадлежащей плоскости α
1
2
Рис. 3.4
3

7.

Теорема. Если прямая принадлежит плоскости, то
проекции хотя
бы двух ее точек принадлежат
одноименным проекциям прямых, лежащих
в
этой плоскости.
Следствие. Если прямая принадлежит
плоскости, то следы прямой принадлежат
одноименным следам плоскости.
Рис. 3.5
Рис. 3.6

8.

ПРЯМЫЕ ЛИНИИ ОСОБОГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ
1. Линии уровня плоскости – прямые, принадлежащие плоскости и
параллельные какой-либо плоскости проекций:
hα
Рис. 3.7
– горизонталь плоскости
α
Рис. 3.8
h'' ║ 0x , h' ║ h0α
hα ║ π1
Рис. 3.9

9.

fα
Рис. 3.10
– фронталь плоскости
α
Рис. 3.11
f ' ║ 0x , f '' ║ f0α
fα ║ π2
Рис. 3.12

10.

ПРЯМЫЕ ЛИНИИ ОСОБОГО ПОЛОЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ
2. Линии наибольшего наклона (ЛНН) плоскости к плоскостям проекций –
прямые, принадлежащие плоскости и образующие с соответствующей
плоскостью проекций наибольший угол:
- линия наибольшего наклона плоскости α к горизонтальной плоскости
проекций (линия ската)
перпендикулярна к горизонтали плоскости α
a ┴ hα
- линия наибольшего наклона плоскости α к фронтальной плоскости
проекций перпендикулярна к фронтали плоскости α
b ┴ fα
Линии наибольшего наклона используются для определения двугранных углов
между заданной плоскостью и соответствующей плоскостью проекций.
ПРАВИЛО определения угла наклона заданной плоскости к плоскости проекций
1. Провести линию наибольшего наклона (ЛНН)
перпендикулярно к одноименной линии уровня
плоскости.
2. Определить угол наклона построенной ЛНН к
выбранной плоскости проекций (см. правило
определения длины отрезка прямой).
3. Построенный угол для ЛНН равен углу наклона
самой данной плоскости к выбранной плоскости
проекций.

11.

Линии наибольшего наклона плоскости α
к π1
к
π2
Рис. 3.14

12.

Построение ЛНН плоскости α к горизонтальной плоскости проекций
Построение ЛНН плоскости α к фронтальной плоскости проекций
Рис. 3.15

13.

Плоскости частного положения
1. Проецирующие плоскости:
Горизонтально-проецирующая плоскость – перпендикулярна к
горизонтальной плоскости проекций
Рис. 3.16
f0α ┴ x
α ┴ π1
Рис. 3.17
β = α^π2
A' , a' , Ф'
h0α

14.

Фронтально-проецирующая плоскость – перпендикулярна к
фронтальной плоскости проекций
Рис. 3.18
h0α ┴ 0x
α ┴ π2
Рис. 3.19
α = α^π1
A'' , a'' , Ф''
f0α

15.

Профильно-проецирующая плоскость – перпендикулярна к профильной
плоскости проекций
α ┴ π3
Рис. 3.20
h0α || x , f0α || x , α = α^π1 , β = α^π2 ,
Рис. 3.21
A''' , a''' , Ф'''
p0α

16.

Плоскости частного положения
2. Плоскости уровня:
Горизонтальная плоскость – параллельна горизонтальной плоскости
проекций
α ║ π1
Рис. 3.22
f0α || 0x ,
Рис. 3.23
p0α || 0x ,
A'B'C' = ABC

17.

Фронтальная плоскость – параллельна фронтальной плоскости
проекций
α ║ π2
Рис. 3.24
h0α ┴ 0y ,
Рис. 3.25
p0α ┴ 0y ,
A''B''C'' = ABC

18.

Профильная плоскость – параллельна профильной плоскости
проекций
α ║ π3
Рис. 3.26
h0α ┴ x ,
Рис. 3.27
f0α ┴ x ,
A'''B'''C''' = ABC

19.

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ
ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ

20.

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
ТЕОРЕМА. Если прямая параллельна плоскости, то проекции данной
прямой параллельны одноименным проекциям какой-либо прямой,
принадлежащей данной плоскости:
a ║ α < = > a' ║ lα ' ᴧ a'' ║ lα ''
a ║ α (h, f) , b
α < = > a' ║ b ' ᴧ a'' ║ b ''

21.

ПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
ТЕОРЕМА.
Две плоскости параллельны, если проекции
двух
пересекающихся прямых одной плоскости параллельны одноименным
проекциям двух пересекающихся прямых другой плоскости
СЛЕДСТВИЕ. Если две плоскости параллельны, то их одноименные следы
параллельны
Рис. 4.1
Рис. 4.2
α (a ∩ b) ║ β (c ∩ d) < = > a' ║ c' , b' ║ d' ᴧ a''║ c'' , b'' ║ d''
α ║ β < = > h0α ║ h0β
ᴧ f0α ║ f0β

22.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
В общем случае отношение перпендикулярности в пространстве не сохраняет
признаков перпендикулярности на чертеже.
ТЕОРЕМА. Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция
прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а
фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали
данной плоскости.
n ┴ α(h, f) < = > n' ┴ h'
ᴧ n'' ┴ f ''
Пример: Построить проекции прямой, перпендикулярной к заданной плоскости
и проходящей через точку A.
Рис. 4.3
Рис. 4.4
Рис. 4.5

23.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
ТЕОРЕМА. Если плоскости взаимно перпендикулярны, то одна из них содержит
хотя бы одну прямую, горизонтальная проекция которой перпендикулярна
горизонтальной проекции горизонтали (горизонтальному следу) плоскости, а
фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали
(фронтальному следу) данной плоскости.
Пример: Построить проекции плоскости, перпендикулярной к заданной плоскости
и проходящей через точку A и прямую a.
Рис. 4.6
Рис. 4.7

24.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Рис. 4.7

25.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
β (а , n) ┴ α (c , d ) < = > n' ┴ h' , n'' ┴ f''
Рис. 4.7

26.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ
Пример: Построить проекции плоскости, перпендикулярной к
заданной плоскости и проходящей через точку A и прямую a.
β (а , n)
┴
α (h0α , f0α ) < = > n' ┴ h0α , n'' ┴ f0α

27.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
Пересечение плоскостей, одна из которых проецирующая
Примечание. Одна из проекций искомой линии пересечения известна сразу:
она совпадает с соответствующим следом проецирующей плоскости.
Вторая проекция находится по принадлежности искомой линии другой,
непроецирующей плоскости.
Рис. 4.8
Рис. 4.9

28.

Пересечение плоскостей, одна из которых проецирующая
β ∩ α (α ┴ π1) = > l '
Рис. 4.9
h0α

29.

Пересечение двух плоскостей общего положения
Пример: Построить линии пересечения заданных плоскостей
1.
2.
3.
4.
Рис. 4.11
5.
α ∩ β = K1K2
Алгоритм решения:
Ввести плоскость-посредник γ1 (γ1 ┴ π)
Построить линии пересечения плоскости
γ1 с каждой из заданных плоскостей:
γ1 ∩ β = m1
γ1 ∩ α = n1
Найти точку K1 пересечения
построенных линий
m1 ∩ n1 = K1
Ввести вторую плоскость-посредник γ2
(γ2 ┴ π) и повторить построения (п.п. 2, 3)
для нахождения точки K2
γ2 ∩ β = m2
γ2 ∩ α = n2
m2 ∩ n2 = K2
Провести искомую прямую K1 K2 через
две найденные точки

30.

Пересечение двух плоскостей общего положения
Рис. 4.11

31.

Пересечение двух плоскостей общего положения
Рис. 4.11

32.

Пересечение двух плоскостей общего положения
Рис. 4.11

33.

Пересечение двух плоскостей общего положения
Рис. 4.12

34.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ
Одна из поверхностей – проецирующая
1. Пересечение прямой общего положения с проецирующей плоскостью
Рис. 4.13
α ∩ а = A , α ┴ π1 = > A '
Рис. 4.14
h0α

35.

2. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения
Рис. 4.15
Рис. 4.16

36.

2. Пересечение проецирующей прямой с плоскостью общего положения
α ∩ а = K , а ┴ π1 = > K '
Рис. 4.16
а'

37.

Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения
Алгоритм
определения точки пересечения прямой и
плоскости общего положения
1. Заключить прямую a в проецирующую
плоскость-посредник β .
а
β,
β ┴ π1
2. Определить линию l пересечения заданной
плоскости α и вспомогательной плоскости β
.
Рис. 4.17
a ∩ β=l
3. Найти точку K пересечения заданной прямой a
и построенной линии l пересечения
плоскостей.
a ∩ l=K

38.

Задача. Построить проекции точки пересечения прямой а с плоскостью,
заданной пересекающимися прямыми b и c .
1.
а
β,
Рис. 4.18
β ┴ π1

39.

2. a ∩ β = l
Рис. 4.18

40.

3. a ∩ l = K
Рис. 4.18