Закон больших чисел

1. Закон больших чисел

Неравенство Чебышева
Пусть СВ Х имеет конечные м.о. m и дисперсию D
Тогда 0
D
Р X m
(1)
2
Р X m 1
D
2
(2)
X n X lim Р X n X 1
P
n
n
0 0 n 0 : n n 0
Р X n m 1
1

2.

Доказательство неравенство Чебышева
Пусть СВ Х непрерывна. Тогда
2
D X
x mX
x m X
2
f x dx
x mX
f x dx f x dx
2
A
2
f x dx
A x x mX
A
mX
P X A Р X m X
2
2
Р X mХ
D Х
2
0
2

3.

Задача Игральную кость подбрасывают наудачу 350 раз.
Оценить вероятность того, что среднее арифметическое
выпавших очков отклонится от математического ожидания
по абсолютной величине не более, чем на 0,2.
Пусть X k - число очков, выпавших в k -ом опыте.
35
M Х k 3.5, D Х k
X k ~Uniform 6
12
350
1
Обозначим Y
X k M Y 3.5, D Y 1 35
350 k 1
n 12
Способ 1: Согласно неравенству Чебышева
Р Y mY 1
D Y
2
Р Y 3.5 0.2 1
35
12 350 0.04
0.79
3

4.

Задача. Игральную кость подбрасывают наудачу 350 раз.
Оценить вероятность того, что среднее арифметическое
выпавших очков отклонится от математического ожидания
по абсолютной величине не более, чем на 0,2.
Пусть X k - число очков, выпавших в k -ом опыте.
Тогда
1 350
35
M Х k 3.5, D Х k
Обозначим Y
1 350
Y
Способ 2: по центральной предельной
теореме
k 1
12
M Y 3.5, D Y 1 35
n 12
Xk
350
k 1
Y ~ N mY , Y
Xk
350
Р Y mY
2
Y
0,2 12 350
2 2.19 0.99
Р Y 3.5 0.2 2
35
4

5. Закон больших чисел

Теорема Чебышева (1867г.)
Пусть X k - последовательность независимых
СВ с конечными м.о. mk и дисперсиями Dk d
Тогда
1 n
Р
1 n
mk
X k
n
n
n k 1
k N
k 1
Следствие. Пусть СВ X k k N независимы и
одинаково распределены с м.о. m
и дисперсией
D
Р
1 n
X k m
Тогда
n
n k 1
5

6.

Доказательство теоремы Чебышева
1 n
1 n
1 n
M Yn M X k mk
Yn X k
n k 1
n k 1
n k 1
1 n
1
d
D Yn
D X k
nd
2
n
n 2 k 1
n
n
1
D Yn
d
(2) Р Yn mk 1 2 1 2
n k 1
n
d
0
0 n 0 : n n 0
2
n
n
1
Р Yn mk 1
n k 1
Р
Yn
n
1 n
mk
n
k 1
6

7. Закон больших чисел

Теорема Бернулли
Пусть р - вероятность наступления события А,
а р* - относительная частота события А в схеме
из n испытаний Бернулли.
Р
*
p p
Тогда
n
X k - индикатор события А
в k -ом опыте.
X
M X k p
D X k pq 1
- число успехов в схеме из n испытаний Бернулли
* X
p
n
1 n
Xk
n k 1
X ~ Bin n, p
По ЗБЧ
*
Р
p p
n
7

8. Закон больших чисел

Теорема Пуассона
Пусть рk - вероятность наступления события А
в k-ом опыте, а р* - относительная частота
события А в обобщенной схеме из n испытаний
Бернулли.
n
Тогда
*
p
n
X k - индикатор события
А в k -ом опыте
X
1
pk
n
k 1
M X k pk
D X k pk qk 1
- число успехов в обобщенной схеме из n испытаний
X
1 n
p
Xk
n
n k 1
*
Р
1
M X k pk
n k
D X k
1
pk qk 1
2
n k
8

9. Закон больших чисел

Относительная частота
По ЦПТ р* - относительная частота
события А в схеме из n испытаний *
p
Бернулли асимптотически
нормальна
1 n
Xk
n k 1
pq
M p p
p ~ N p,
n
n
*
Р p p 2
pq
n
γ – доверительная вероятность
2
pq
9
*
pq
Dp
n
*
*

10.

Задача Вероятность попадания в мишень при каждом
выстреле равна 0,6. Найти наименьшее количество
независимых выстрелов по мишени, чтобы с вероятностью не
меньшей 0,99 частота попаданий в мишень отклонялась от
вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,02.
1 n
p Xk
n k 1
*
*
* 0,6 0,4
M p 0,6; D p
n
Способ 1: Согласно неравенству Чебышева
Р
1
*
D p
*
p p 1 2
0,24
n (0,02)
0
,
99
2
0,99
n 60000
10

11.

Задача Вероятность попадания в мишень при каждом
выстреле равна 0,6. Найти наименьшее количество
независимых выстрелов по мишени, чтобы с вероятностью не
меньшей 0,99 частота попаданий в мишень отклонялась от
вероятности по абсолютной величине не более, чем на 0,02.
1 n
p Xk
n k 1
*
*
* 0,6 0,4
M p 0,6; D p
n
Способ 2: по центральной предельной теореме
pq
*
*
Р p p 2
p ~ N p,
n
0,02 n
0,99
2
0,24
0,02 n
2,58
0,24
n 3993,8
n
pq
n 63,2
3994
11