Дифференциальное исчисление

1. Тема ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Российский университет кооперации
a a a ...
M ( X ) ( M ( X ))
a 2 1 a 2 2 a 2 3 ...
Тема
a 3 1 a 3 2 a 3 3 ...
b
A
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
... ... ... ...
ИСЧИСЛЕНИЕ
an1 an 2 an 3 ...
по дисциплине
«Математика»
Краснодарский кооперативный
11
1 2институт
13
2
2
Кафедра
информационных
технологий и математики
f
(
x
)
dx
a
Лекция
Подготовил
к.п.н., доцент
Третьякова Н.В.
Краснодар
2015
a1 n
a2n
a3n
...
an n

2.

Цель лекции: изучить основные понятия
дифференциального исчисления,
геометрический смысл производной,
правила вычисления производной и
дифференциала, производные сложной
функции, производные высших порядков
Материально-техническое обеспечение:
компьютер, видеопроектор, экран
Учебно-методическое обеспечение:
учебно-методический материал в
электронном виде, программный комплекс
«Дифференциальное исчисление»

3. Основные вопросы

1. Понятие производной
2. Геометрический смысл производной
3. Формулы дифференцирования элементарных функций
4. Основные правила дифференцирования
5. Дифференциал функции
6. Производная сложной функций
7. Производные высших порядков
8. Правило Лопиталя
9. Формула Тейлора

4.

Рекомендуемая литература
1.Быкова О., Колягин С., Кукушкин Б. Практикум по математическому
анализу. - М., 2011, 276 с.
2.Геворкян Э. А. Математика. Математический анализ. Учебнометодический комплекс.-М.: Евразийский открытый институт, 2010.- 343 с.
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=93168
3.Гусак А.А. Высшая математика. Часть 1. М.: Высшая школа, 2005.
4.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в
упражнениях и задачах. Т1, Т2. М., Высшая школа, 1997.
5.Демидович В.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
М., Наука, 1990.
6.Курзина, В.М. Математика.[текст]: Практическое пособие/В.М. Курзина,
В.В. Казей, Д. С. Васильева.-М.:РУК,2010.-105 с
7.Математика: Учебник / А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум, 2010. - 544 с.:
60x90 1/16. - (Профессиональное образование).
http://znanium.com/bookread.php?book=242366

5.

Рекомендуемая литература
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
Математика: Учебное пособие / Н.А. Березина, Е.Л. Максина. - М.: ИЦ
РИОР: НИЦ Инфра-М, 2013. - 175 с.
http://znanium.com/bookread.php?book=369492
Математика: Учебник / А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум: НИЦ ИНФРА-М,
2013. - 544 с. http://znanium.com/bookread.php?book=397662
Математика: Учебное пособие / Ю.М. Данилов, Н.В. Никонова, С.Н.
Нуриева; Под ред. Л.Н. Журбенко, Г.А. Никоновой. - М.: НИЦ ИНФРА-М,
2014. - 496 с. http://znanium.com/bookread.php?book=471655
Пухначев Ю. Семь семинаров по математическому анализу. – М.: 2012, 592 с.
Туганбаев А. А. Дифференциальные уравнения: Учебное пособие.-3-е
издание.-М.: Издательство «ФЛИНТА», 2012.-34 с.
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=115139
Шапкин А. С. Математические методы и модели исследования операций:
Учебник.-М.: Дашков и Ко, 2012.-397 с.
http://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=112204
Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа, 2006.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.
1, Т .2

6.

Электронные ресурсы:
- www.iprbookshop.ru, http://www.iprbookshop.ru
- Научная электронная библиотека eLIBRARY.RU http://elibrary.ru
- Электронная библиотека Grebennikon http.//grebennikon.ru/
- Универсальная справочно-информационная полнотекстовая база данных
периодических изданий East View http://ebiblioteka.ru/
- Электронная библиотечная система znanium.com

7. 1. Понятие производной

y f (x )
x0 X
y f ( x0 x ) f ( x0 )
x
Производной функции y = f(x) в точке x0 называется
предел отношения приращения функции к приращению
аргумента, когда последнее стремится к нулю:
y
y
y lim
x 0 x
или
f(x0+ ∆x)
∆y
f(x0)
f ( x0 x ) f ( x0 )
f ( x0 ) lim
x 0
x
∆x
x0
x0+ ∆x
x

8.

Найти производную функции по определению
f ( x) x
2
y f ( x x) f ( x)
( x x ) 2 x 2 x 2 2 x x ( x ) 2 x 2
2 x x ( x )
2
x ( 2 x x )
y
2 x x ( x )
lim
lim
lim
x 0
x 0 x
x 0
x
x
2
lim ( 2 x x ) 2 x
x 0

9. 2. Геометрический смысл производной

Касательной к графику функции y = f(x) в точке M(x0;y0)
называется предельное положение секущей MN, когда точка N
стремится к точке M по кривой y = f(x).
y
tg ( x0 x )
x
y
N
f(x0+ ∆x)
y
tg 0 lim
f ( x0 )
x 0 x
tg 0 f ( x0 )
∆y
M
f(x0)
Уравнение касательно й
y y0 f ( x0 )( x x0 )
φ0
A
∆x
x0
x0+ ∆x
x

10.

3. Формулы дифференцирования элементарных функций
mx
2) e e
m
1) x
x
x
a
3) a
x
m 1
x
ln a
1
4) log a x
x ln a
5) sin x cos x
6 ) cos x sin x
1
7 ) tgx
2
cos x
1
8) ctgx 2
sin x
1
9) arcsin x
2
1 x
1
10) arccos inx
2
1 x
1
11) arctgx
1 x2
1
12) arcctgx
2
1 x

11.

4. Основные правила дифференцирования
Пусть u = u(x), v = v(x), C = const, тогда
1) C 0
( 20 ) 0
2 ) Cu C u
(12 sin x ) 12 (sin x ) 12 cos x
3) u v u v
( x 4 3 x 3 5 x 2 2 x 6 ) ( x 4 ) (3 x 3 ) (5 x 2 )
( 2 x ) (6) 4 x 4 1 3 3 x 3 1 5 2 x 2 1 2 1x1 1 0
4 x 9 x 10 x 2
3
2

12.

4 ) uv u v u v
(cos x log 3 x ) (cos x ) log 3 x cos x (log 3 x )
1
sin x log 3 x cos x
x ln 3
u u v uv
5)
2
v
v
3 x 5 (3 x 2 5) x (3 x 2 5) x
2
x
x
2
2
2
2
6 x x (3 x 5) 1 6 x 3 x 5 3 x 5
2
2
2
x
x
x
2

13.

5. Дифференциал функции
Дифференциалом dx независимой переменной x в точке x0
называется приращение переменной :
dx x
Дифференциалом функции y = f(x) в точке x0 называется ее
главная, линейная относительно Δx часть приращения функции в
этой точке:
dy f ( x 0 ) x
y
dy f ( x 0 ) dx
dy
f ( x )
dx
N
f(x0+ ∆x)
B
∆y
M
f(x0)
φ0
x0
φ0
dx
∆x
dy
A
x0+ ∆x
x

14.

6. Производная сложной функции
Если y = f(u) , а u = φ(x), т.е. y = f(φ(x)),
a функции f(u) и φ(x) имеют производные, тогда
y ( x ) f ( u ) ( x )
y x y u u x
sin( 2 x 1) ( 2 x 1) 2 sin( 2 x 1)
cos( 2 x 1)
e
arctg x
arctg x
1
e
e arctg x ( arctg x ) e arctg x
2
2
1 x
1 x

15.

7. Производные высших порядков
Производной n порядка
производной n - 1 порядка:
y ( y ) ;
y ( y ) ;
называется
y ( 4 ) ( y ) ;
производная
от
y ( n ) ( y ( n 1) )
(4)
(5)
( n 1)
(n)
y , y , y , y , y , ... , y
, y , ...
2 x
4
x 2 x 5x 6 8x 3x 4 x 5
3
2
3
2
24 x 2 6 x 4 .
sin 2 x
2 cos 2 x ( 4 sin 2 x ) ( 8 cos 2 x )
(16 sin 2 x ) 32 cos 2 x.
(5)
( 4)

16.

8. Правило ЛОПИТАЛЯ
Пусть
lim f ( x ) lim g ( x ) 0 или
x a
x a
и
lim f ( x ) lim g ( x )
x a
x a
тогда
f ( x)
f ( x )
lim
lim
x a g ( x)
x a g ( x )
g ( x ) 0 ,

17.

6 x 1
2x x 1
1) lim 3
lim
2
2
x x 4 x
x 3 x 8 x
12 x
12
lim
lim
2
x 6 x 8
x 6
3
2
ln x
1x
1
2) lim
lim
lim
0
x x
x x
x 1
1 cos x 0
sin
x
0
3) lim
lim
2
x 0
x
0 x 0 2 x
0
1
sin x 0 1
cos x
1
lim
lim
2 x 0 x
2
0 2 x 0 1

18. БЛАГОДАРЮ за внимание!

a1 1 a1 2 a1 3
2
2
M ( X ) ( M ( X ))
a 21 a 22 a 23
A a31 a32 a33
b
... ... ...
БЛАГОДАРЮ
an 1 a n 2 a n 3
за внимание!
f
(
x
)
dx
a
... a1n
... a 2 n
... a 3 n
... ...
... an n