Дифференциальное исчисление

1. Дифференциальное исчисление

2. Производная функции

3.

Пусть задана функция y f ( x ) , определенная на
некотором промежутке. При каждом значении
аргумента х из этого промежутка функция принимает
определенное значение.
Пусть аргумент х получил некоторое приращение,
тогда функция также получит некоторое приращение.
x
y f ( x)
x x
y y f ( x x)

4.

Тогда приращение функции выразится формулой:
y f x x f ( x)
Рассмотрим отношение вида:
y f ( x x ) f ( x )
x
x
Определение: Производной функции y f x по
аргументу х называется предел отношения
приращения функции к приращению аргумента,
когда последнее произвольным образом стремится к
нулю:
f x x f x
y
y lim
lim
.
x 0 x
x 0
x

5.

Обозначения производной:
dy
y , f x , f x0 , y x0 ,
dx
Для каждого значения х производная функции
имеет определенное значение, то есть производная
также является функцией от аргумента х.
Операция вычисления производной называется
дифференцированием функции.

6.

Геометрический смысл производной: значение
производной f x0 в точке х0 равняется тангенсу
угла наклона касательной, проведенной к графику
функции y f x в точке М0(х0; у0):
tg f x0 или
k f x0 .
Механический смысл производной: производная от
пути по времени есть скорость движения в данный
момент времени.
S
S (t1 t ) S (t1 )
vмгн lim
lim
.
t 0 t
t 0
t

7. Дифференцируемость функций

8.

Определение: Если функция y f x имеет производную
в точке х=х0 , то есть существует
f x x f x
y
lim
lim
,
x 0 x
x 0
x
то говорят, что при данном значении х=х0 функция
дифференцируема.
Теорема: Если функция y f x дифференцируема в
некоторой точке х=х0 , то она в этой точке непрерывна.
Таким образом, в точке разрыва функция не может
иметь производной.
Обратное заключение неверно, то есть из того, что в
какой-либо точке х=х0 функция непрерывна еще не
следует, что в этой точке функция дифференцируема.

9.

Пример: Функция определена на отрезке [0; 2]:
при 0 x 1,
x,
y f x
2 x 1, при 1 x 2.
Решение:
График данной функции изображен на рисунке:
При х=1 данная
функция непрерывна:
lim f x lim f x f 1 1.
x 1 0
x 1 0

10.

Найдем производную в точке х=1.
При x 0 имеем:
f (1 x) f (1)
2(1 x) 1 1
2 x
lim
lim
lim
2.
x 0
x 0
x 0 x
x
x
При x 0 имеем:
f (1 x) f (1)
1 x 1
x
lim
lim
lim
1.
x 0
x 0
x 0 x
x
x
Таким образом, рассматриваемый предел зависит
от того, каков знак при x . Это означает, что в
точке х=1 данная функция не имеет производной.
Геометрически это означает, что в точке х=1
график функции не имеет касательной.

11. Производная сложной функции

12.

Пусть дана сложная функция y f u , где
u x , то есть функция вида y f x .
Теорема: Если функция u x имеет в точке х
производную u x x , а функция y f u имеет
при соответствующем значении u производную
yu f u , то сложная функция y f x в точке
х также имеет производную, которая определяется
по формуле:
y x fu u x x .

13. Таблица производных основных функций

1. C 0, C const
2.
u n u u
3.
u
u
a
a
ln a u
n
n 1
4. log a u
5.
6.
1
u
2
cos u
8. ctg u 1 u
sin 2 u
9. (arctg u ) 1 u
1 u2
10. arcctg u 1 u
1 u2
sin u cos u u
11. arcsin u
cos u sin u u
12. arccos u
1
u
u ln a
7. tg u
1
1 u
2
u
1
1 u
2
u

14.

При вычислении производных достаточно часто
встречаются производные следующих функций,
которые следует запомнить:
x 1
1
1
1
u
u
2 u
2 u
u
u
e e u
u
u
1
ln u u
u

15.

2
5
y
(3
x
1)
.
Пример. Вычислить производную
Решение:
Данная функция является степенной функцией
y 5(3x 2 1)4 (3x 2 1) 5(3x 2 1)4 (6 x 0)
30 x(3x 2 1) 4 .
Пример. Вычислить производную y sin(ln 3 x).
Решение:
Данная функция является тригонометрической
функцией
y cos(ln 3 x) (ln 3 x) cos(ln 3 x) 3ln 2 x (ln x)
1
3
2
cos(ln x) 3ln x .
x

16. Основные правила дифференцирования

17.

1.Постоянный множитель можно выносить за знак
производной:
C u , C const.
C
u
2. Производная суммы функций равна сумме
производных функций:
(u v) u v .
3. Производная произведения двух функций
определяется по формуле:
(uv) u v v u.
4. Производная частного
двух функций
определяется по формуле:
u u v v u
.
2
v
v

18.

Пример. Вычислить производную y tgx.
Решение:
Воспользуемся формулой производной частного
двух функций:
(sin
x
)
cos
x
sin
x
cos
x
sin
x
y tgx
2
cos x
cos x
cos x cos x sin x ( sin x) cos 2 x sin 2 x
1
.
2
2
2
cos x
cos x
cos x

19.

Пример: Вычислить производную
y x3 1 arctg 2 x ln 2.
Решение:
Воспользуемся
формулами
производной
произведения и суммы двух функций:
3
y x 1 arctg 2 x x 3 1 arctg 2 x ln 2
1
2 x3 1
3
x 1 arctg 2 x x 1
3
3x 2 arctg 2 x
2 x3 1
2 x3 1
.
2
1 4x
1
2
x
1 (2 x) 2

20. Производная логарифмической функции

21.

При вычислении производной логарифмической
функции иногда возможно функцию сначала
упростить, используя свойства логарифмов:
1. log a a 1;
2. log a 1 0;
3. log a b n n log a b;
4. log a b c log a b log a c;
b
5. log a log a b log a c.
c

22.

2
1
5
x
Пример: Вычислить производную y ln 5 5 .
2x 3
Решение:
Преобразуем данную функцию:
1
5
2
2
2
1
5
x
1
5
x
1
1
5
x
5
y ln
ln 5
ln 5
5
2x 3
5 2x 3
2x 3
1
ln(1 5 x 2 ) ln(2 x5 3) .
5
Тогда
1 1
1
2
5
y
(1 5 x ) 5
(2 x 3)
2
5 1 5 x
2x 3
1
1 10 x
10 x 4
x3
5
2 x
5
.
2
2
5 1 5 x 2 x 3
1 5 x 2 x 3

23. Производная неявной функции

24.

Пусть функция задана уравнением F ( x; y ) 0.
При вычислении производной функции, заданной в
неявном виде, необходимо продифференцировать обе
части уравнения по аргументу х, считая, что у есть
функция от х.

25.

Пример: Вычислить производную y 6 y x 2 0.
Решение:
Продифференцируем обе части уравнения по х:
6 y 5 y y 2 x 0.
Сгруппируем слагаемые, содержащие y , получим
2x
y 6 y 1 2 x y 5 .
6 y 1
5
Замечание: Для вычисления производной неявной
функции при данном значении аргумента х нужно
знать и значение функции у при данном значении
аргумента х.

26. Логарифмическое дифференцирование

27.

Определение: Сложной показательной функцией
называется функция, у которой и основание и
показатель степени являются функциями аргумента
v( x)
y
u
(
x
)
.
х:
Для
вычисления
производной
сложной
показательной функции прологарифмируем функцию
ln y ln u ( x)
v( x)
v( x) ln u ( x)
Дифференцируем полученное равенство по х,
считая у(х): 1
1
y v ln u v u .
y
u

28.

Домножим на у левую и правую часть выражения:
1
y y v ln u v u .
u
Подставим вместо у выражение y u v , получим:
1
v
y u v ln u v u .
u
Прием вычисления производной при котором
функцию сначала логарифмируют, а затем
дифференцируют называется логарифмическим
дифференцированием.

29.

x
Пример: Вычислить производную y x 4 .
3
Решение:
Прологарифмируем данную функцию:
ln y ln x 4 x ln x 4 .
x
3
3
Продифференцируем левую и правую часть
полученного выражения:
1
1
3
3
y ln x 4 x 3
x 4 ;
y
x 4
2
3x
3
y y ln x 4 x 3
;
x 4
3
x
3
x
3
3
Тогда
y x 4 ln x 4 3
.
x 4

30.

4 x 3 e x
Пример: Вычислить производную y
.
x 4 3x 2 1
Решение:
Прологарифмируем данную функцию:
x
4
x
3
e
ln y ln
ln 4 x 3 e x ln x 4 3x 2 1
x 4 3x 2 1
1
x
ln 4 x 3 ln e ln x 4 3x 2 1 .
2
Продифференцируем левую и правую часть
полученного выражения:
1
1
1
1
4
2
y
x 3x 1
4 x 3 1 4
2
y
4x 3
2 x 3x 1

31.

4
1 4 x3 6 x
4
2 x3 3x
1 4
1 4
.
2
2
4x 3
2 x 3x 1 4 x 3
x 3x 1
Откуда
4
2 x3 3x
y y
1 4
.
2
x 3x 1
4x 3
Тогда
y
x
4
x
3
e
4
2 x3 3x
1 4
.
2
x 3x 1
x 4 3x 2 1 4 x 3