Палочки Кюизнера. Мастер-класс. Задание 19 ЕГЭ по математике

1. Палочки Кюизнера

Мастер-класс
Задание 19, ЕГЭ по математике (профиль)
Михаил Семенов
https://vk.com/mike_semenov

2. Определения

Треугольник
Периметр, полупериметр
Равнобедренный треугольник
Прямоугольный треугольник
Неравенство треугольника
Теорема Пифагора
Формула Герона
2

3. Палочки Кюизнера

Имеется пять палочек с длинами
2, 3, 4, 5, 6.
Сколько равнобедренных
треугольников можно сложить
используя все палочки?
3

4. Палочки Кюизнера

Имеется пять палочек с длинами 2, 3, 4, 5, 6. Сколько равнобедренных треугольников можно сложить используя
все палочки?
Сумма длин палочек 2+3+4+5+6=20 => периметр треугольника P=20.
Варианты:
одна сторона 2; две другие 9
одна сторона 4; две другие 8
одна сторона 6; две другие 7
одна сторона 8; две другие 6
Других вариантов нет (треугольник 10; 5 и 5 – вырождается в отрезок).
Проверка
2; 9=4+5; 9=3+6
4; 8=3+5; 8=2+6
6; 7=2+5; 7=3+4
8=3+5; 6; 6=2+4
Ответ: 4 равнобедренных треугольника
4

5. Палочки Кюизнера

Имеется пять палочек с длинами
2, 3, 4, 5, 6.
Можно ли, используя все палочки,
сложить прямоугольный треугольник?
5

6. Палочки Кюизнера

Имеется пять палочек с длинами 2, 3, 4, 5, 6. Можно ли, используя все
палочки, сложить прямоугольный треугольник?
По теореме, обратной теореме Пифагора: если a2+b2=c2, то
АВС – прямоугольный.
Треугольники со сторонами
2; 3; 4+5+6
2; 4; 3+5+6
2; 5; 3+4+6
2; 6; 3+4+5 не существуют.
Стороны больше, чем 10 быть не может.
Рассмотрим квадраты длин сторон возможных треугольников
22=4, 32=9, 42=16, 52=25, 62=36, 72=49, 82=64, 92=81
Только 32+42=52, но при этом не все палочки использованы.
Ответ: Нет.
6

7. Палочки Кюизнера

Имеется пять палочек с длинами
2, 3, 4, 5, 6.
Какой наименьшей площади можно
сложить треугольник, используя все
палочки?
Разламывать палочки нельзя.
7

8. Палочки Кюизнера

Имеется пять палочек с длинами 2, 3, 4, 5, 6. Какой наименьшей площади
можно сложить треугольник, используя все палочки? Разламывать
палочки нельзя.
Площадь треугольника S=sqrt(p(p–a)(p–b)(p–c))
Полупериметр p=10
Наименьшее значение S при наименьшем значении произведения
10(10–a)(10–b)(10–c)
(1)
Каждая сторона должна быть меньше 10.
при a=9; b=9; c=2:
10(10–9)(10–9)(10–2)=80 – наименьшее значение
при a=9; b=8; c=3:
10(10–9)(10–8)(10–3)=140
при a=9; b=7; c=4:
10(10–9)(10–7)(10–4)=180
Ответ: Равнобедренный треугольник со сторонами 9, 9, 2 имеет
наименьшую площадь.
8