Математика ЕГЭ, задания С1 и С2

1.

Ответ: (2π n; 3), n ∈ Z .
7. Решите систему уравнений
⎧⎪16 cos x − 10 ⋅ 4 cos x + 16 = 0
⎨
⎪⎩ y + 2 sin x = 0
⎛ π
⎞
Ответ: ⎜ − + 2π n; 3 ⎟, n ∈ Z .
⎝ 3
⎠
8. Решите систему уравнений
⎧⎪3 y +1 = 2 cos x
⎨ −y
⎪⎩3 = 4 cos x + 1
⎛ π
⎞
Ответ: ⎜ ± + 2π n; − 1⎟, n ∈ Z .
⎝ 3
⎠
9. Решите систему уравнений
⎧sin x = y − 3
⎨
⎩cos x = y − 2
МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2010
Задания С1 и С2
Корянов А.Г.
г.Брянск
Задания С1
● (Д – 2010) Решите систему уравнений
⎧⎪ x 2 + 3 x − x 2 + 3 x − 1 = 7
⎨
⎪⎩2 2 sin y = x
π
+ πn, n ∈ Z .
4
1. Решите систему уравнений
tgy
− tgy
⎪⎧5 ⋅ 5 + 4 = 5
⎨
⎪⎩ x − 5 + 4 cos y = 0
⎛ 3π
⎞
+ 2π n ⎟, n ∈ Z .
Ответ: ⎜13;
4
⎝
⎠
2. Решите систему уравнений
⎧2 y + 2 sin x = 0
⎪
⎨
1
⎪tgx + 1 =
cos 2 x
⎩
⎞
⎛ 5π
Ответ: ⎜
+ 2π n; 0,5 ⎟, n ∈ Z .
⎝ 4
⎠
3. Решите систему уравнений
⎧⎪4 sin y − 5 ⋅ 2 sin y + 4 = 0
⎨
⎪⎩ x + 5 cos y + 1 = 0
Ответ: x = 2, y = (−1) n ⋅
⎛ π
⎞
Ответ: (2π n; 3), n ∈ Z ; ⎜ − + 2π k ; 2 ⎟, k ∈ Z .
⎝ 2
⎠
10. Решите систему уравнений
⎧sin y = x − 6
⎨
⎩cos y = x − 7
⎞
⎛ π
Ответ: (6; π + 2π n ), n ∈ Z ; ⎜ 7; + 2π k ⎟, k ∈ Z .
⎝ 2
⎠
11. Решите систему уравнений
⎧⎪2 x = sin y
⎨ −x
⎪⎩2 = 2 sin y + 1
π
⎞
⎛
Ответ: ⎜ − 1; (−1) n ⋅ + π n ⎟, n ∈ Z .
6
⎠
⎝
12. Решите систему уравнений
⎧⎪81sin y − 30 ⋅ 9 sin y + 81 = 0
⎨
⎪⎩ x + 2 cos y = 0
⎞
⎛ 5π
+ 2π n ⎟, n ∈ Z .
Ответ: ⎜ 3;
⎠
⎝ 6
13. Решите систему уравнений
⎧⎪2 sin 2 y + 3 sin y − 2 = 0
⎨ 2
⎪⎩ x − x + 4 cos y = 0
5π
⎞
⎛
Ответ: ⎜ − 3;
+ 2π n ⎟, n ∈ Z ;
6
⎠
⎝
⎞
⎛ 5π
+ 2π k ⎟, k ∈ Z .
⎜ 4;
⎠
⎝ 6
14. Решите систему уравнений
⎧⎪3 sin x = cos 2 x + 1
⎨ 2
⎪⎩ y + 6 y + 6 cos x = 0
⎞
⎛ 5π
+ 2π n; 3 ⎟, n ∈ Z ;
Ответ: ⎜
⎠
⎝ 6
Ответ: (16; π + 2π n ), n ∈ Z .
4. Решите систему уравнений
⎧⎪4 cos 2 x − 12 cos x + 5 = 0
⎨ 2
⎪⎩ y − 4 y + 16 + 4 sin x = 0
⎛ π
⎞
Ответ: ⎜ − + 2π n; 2 ⎟, n ∈ Z .
⎝ 3
⎠
5. Решите систему уравнений
⎧⎪ y + cos 2 x − 2 = cos x
⎨
⎪⎩ y sin 2 x − sin x − 1 = 0
⎛π
⎞
Ответ: ⎜ + 2π n; 2 ⎟, n ∈ Z ;
⎝2
⎠
⎛ π
⎞
⎜ − + 2π k ; 2 ⎟, k ∈ Z .
⎝ 6
⎠
6. Решите систему уравнений
⎧⎪4 y − 10 ⋅ 2 y + 16 = 0
⎨
⎪⎩cos x = y − 2
1

2.

Ответ: (− 1; π n ), n ∈ Z ;
24. Решите систему уравнений
⎧ y 2 = 4 cos x + 1
⎨
⎩ y + 1 = 2 cos x
⎞
⎛ 5π
+ 2π k ; − 9 ⎟, k ∈ Z ;
⎜
⎠
⎝ 6
15. Решите систему уравнений
⎧⎪ 2 x 2 − 4 xy + 4 y 2 − 16 = x − 2 y
⎨ 2
⎪⎩ y − 2 xy + 16 = 0
Ответ: (−4; 4).
16. Решите систему уравнений
⎧⎪ 2 y 2 − 2 xy + x 2 − 25 = y − x
⎨ 2
⎪⎩ x − 4 xy + 100 = 0
Ответ: (−10; − 5).
17. Решите систему уравнений
⎧2 sin 2 x − 7 sin x + 3 = 0
⎨
⎩6 sin x + 5 y = 13
⎞
⎛π
Ответ: ⎜ + π n; − 1⎟, n ∈ Z .
⎠
⎝2
25. Решите систему уравнений
⎧⎪cos y sin x = 0
⎨
⎪⎩2 sin 2 x = 2 cos 2 y + 1
π
π
⎞
⎛
Ответ: ⎜ (−1) n ⋅ + π n; + π k ⎟, n ∈ Z , k ∈ Z .
4
2
⎠
⎝
26. Решите систему уравнений
⎪⎧sin y cos x = 0
⎨
⎪⎩2 sin 2 x + 2 cos 2 y = 3
⎞
⎛ π
Ответ: ⎜ ± + 2π n; π k ⎟, n ∈ Z , k ∈ Z ;
⎠
⎝ 4
π
⎞
⎛π
⎜ + π n; ± + π k ⎟, n ∈ Z , k ∈ Z .
4
⎠
⎝2
27. Решите систему уравнений
⎧⎪4 cos 2 x − 4 cos x − 3 = 0
⎨ 2
⎪⎩ y − y − 3 + 2 sin x = 0
⎞
⎛ 2π
Ответ: ⎜ −
+ 2π n; 3 ⎟, n ∈ Z ;
⎠
⎝ 3
⎞
⎛ 2π
+ 2π k ; − 2 ⎟, k ∈ Z .
⎜−
⎠
⎝ 3
28. Решите систему уравнений
⎧⎪cos 2 y = cos y
⎨ 2
⎪⎩ x − 2 x = 2 sin y
Ответ: (0; 2π n ); (2; 2π n );
2π
⎞ ⎛
⎞
⎛ 2π
+ 2π n ⎟; ⎜ − 1;
+ 2π n ⎟, n ∈ Z .
⎜ 3;
3
⎠ ⎝
⎠
⎝ 3
29. Решите систему уравнений
⎧ x tgy = 9
⎨
⎩ x ctgy = 3
π
⎞
⎛
Ответ: ⎜ (−1) n ⋅ + π n; 2 ⎟, n ∈ Z .
6
⎠
⎝
18. Решите систему уравнений
⎧2 cos 2 y + 11 cos y + 5 = 0
⎨
⎩5 cos x − 2 cos y + 4 = 0
2π
⎞
⎛
Ответ: ⎜ π + 2π n; ±
+ 2π k ⎟, n ∈ Z , k ∈ Z .
3
⎠
⎝
19. Решите систему уравнений
⎧2 tgx + 5 y = 12
⎨
⎩2 tgx + 3 y = 8
⎞
⎛π
Ответ: ⎜ + π n; 2 ⎟, n ∈ Z .
⎠
⎝4
20. Решите систему уравнений
⎧3 tgx + 4 cos y = 5
⎨
⎩3 tgx + 8 cos y = 7
π
⎞
⎛π
Ответ: ⎜ + π n; ± + 2π k ⎟, n ∈ Z , k ∈ Z .
3
⎠
⎝4
21. Решите систему уравнений
y
⎪⎧3 + 2 cos x = 0
⎨
⎪⎩2 sin 2 x − 3 sin x − 2 = 0
1⎞
⎛ 5π
Ответ: ⎜ −
+ 2π n; ⎟, n ∈ Z ;
2⎠
⎝ 6
22. Решите систему уравнений
x
⎪⎧3 + 2 sin y = 0
⎨
⎪⎩4 cos 2 y − 4 cos y − 3 = 0
π
⎞
⎛
Ответ: ⎜ 3 3; + π n ⎟, n ∈ Z ;
3
⎠
⎝
π
⎞
⎛
⎜ − 3 3; − + π k ⎟, k ∈ Z .
3
⎠
⎝
30. Решите систему уравнений
⎧ y tgx = −2
⎨
⎩ y ctgx = −6
⎞
⎛ 1 2π
Ответ: ⎜ ; −
+ 2π n ⎟, n ∈ Z ;
3
⎠
⎝2
23. Решите систему уравнений
⎧ x 2 = 8 sin y + 1
⎨
⎩ x + 1 = 2 sin y
⎞
⎛ π
Ответ: ⎜ − + π n; 2 3 ⎟, n ∈ Z ;
⎠
⎝ 6
2

3.

⎞
⎛π
⎜ + π k ; − 2 3 ⎟, k ∈ Z .
⎠
⎝6
31. Решите систему уравнений
⎧ sin 2 x − cos x
=0
⎪
y +1
⎨
⎪ y = 4 sin x − 3
⎩
Критерии:
Содержание критерия
Обоснованно получен верный ответ.
Получен ответ, возможно,
неверный, но только из-за
того, что в решении не учтено, что знаменатель дроби
существует и отличен от
нуля.
Решение не соответствует
ни одному из критериев, перечисленных выше.
π
+ 2π n, n ∈ Z , y = 1.
2
32. Решите систему уравнений
⎧ sin 2 x + cos x
=0
⎪
y −1
⎨
⎪ y = 4 sin x + 3
⎩
Ответ: x =
Ответ: x = −
1
0
π
+ 2π n, n ∈ Z , y = −
6
35. Решите систему уравнений
⎧16 sin x − 6 ⋅ 4 sin x + 8
=0
⎪
⎨ log 2 (1 − 2 y )
⎪ y = cos x
⎩
3
.
2
3
5π
.
+ 2π n, n ∈ Z , y = −
2
6
36. Решите систему уравнений
⎧ 81cos x − 12 ⋅ 9 cos x + 27
=0
⎪
log 7 (1 + 2 y )
⎨
⎪ y = sin x
⎩
Ответ: x =
Ответ: x =
π
+ 2π n, n ∈ Z , y =
3
.
2
3
37. Решите систему уравнений
⎧sin x − sin y = 1
⎨ 2
2
⎩sin x + cos y = 1
Ответ:
⎞
⎛
n π
k +1 π
⎜ (−1) ⋅ + π n; (−1) ⋅ + π k ⎟, n ∈ Z , k ∈ Z .
6
6
⎠
⎝
38. Решите систему уравнений
2
⎪⎧ 2 x − 5 x − 3 cos y = 0
⎨
⎪⎩sin y = x
π
+ 2π n, n ∈ Z .
6
Таким образом, исходная система имеет реше3
π
ния x = + 2π n, n ∈ Z , y =
.
6
2
3
π
Ответ: x = + 2π n, n ∈ Z , y =
.
6
2
x=
2
34. Решите систему уравнений
⎧ 2 sin 2 x + 3 sin x + 1
=0
⎪
−y
⎨
⎪ y = − cos x
⎩
π
+ 2π n, n ∈ Z , y = 7.
2
33. Решите систему уравнений
⎧ 2 sin 2 x − 3 sin x + 1
=0
⎪
y
⎨
⎪ y − cos x = 0
⎩
Решение. Из первого уравнения системы следует
2 sin 2 x − 3 sin x + 1 = 0 и y > 0 . Пусть
sin x = t , где
− 1 ≤ t ≤ 1 . Из уравнения
1
2t 2 − 3t + 1 = 0 получаем корни t1 = 1, t 2 = ,
2
которые удовлетворяют условию − 1 ≤ t ≤ 1 .
а) Если sin x = 1 , то cos x = 0 и из второго уравнения системы имеем y = 0 . Это значение не
удовлетворяет условию y > 0 .
1
б) Пусть sin x = , тогда из тождества
2
3
sin 2 x + cos 2 x = 1 получаем
cos x =
и
2
3
3
3
. Отсюда y =
или y = −
(не
cos x = −
2
2
2
удовлетворяет условию y > 0 ).
1
Из
уравнения
sin x =
имеем
2
Ответ: x =
Баллы
(
)
π
⎞
⎛
Ответ: ⎜ (−1) n ; + π n ⎟, n ∈ Z ;
2
⎠
⎝
⎞
⎛ 1 π
⎜ − ; − + 2π k ⎟, k ∈ Z .
⎠
⎝ 2 6
3

4.

5π
⎞
⎛π
+ 2π k ⎟, k ∈ Z .
⎜ + 2π k ;
6
⎠
⎝6
39. Решите систему уравнений
1
⎧
⎪cos( x + y ) = −
2
⎨
⎪sin x + sin y = 3
⎩
Критерии:
Содержание критерия
Обоснованно получен верный ответ.
Получен ответ, но решение
не верно из-за ошибки в
формулах или значениях
тригонометрических функций, из-за неверной записи
ответа.
Решение не соответствует
ни одному из критериев, перечисленных выше.
π
⎞
⎛π
Ответ: ⎜ + 2π n; + 2π k ⎟;
3
⎠
⎝3
2π
⎞
⎛ 2π
+ 2π n;
+ 2π k ⎟, n ∈ Z , k ∈ Z .
⎜
3
⎠
⎝ 3
40. Решите систему уравнений
⎧sin x + sin y = 1
⎪
2π
⎨
⎪⎩ x − y = 3
Решение. Рассмотрим два случая, связанные с
раскрытием модуля.
2π
2π
1. Если x − y =
, то y = x −
. Первое урав3
3
нение системы примет вид
2π ⎞
⎛
sin x + sin ⎜ x −
⎟ = 1;
3 ⎠
⎝
2π
2π
sin x + sin x ⋅ cos
− cos x ⋅ sin
= 1;
3
3
1
3
sin x − sin x −
cos x = 1;
2
2
π⎞
3
1
⎛
cos x = 1; sin ⎜ x − ⎟ = 1;
sin x −
2
3⎠
2
⎝
5π
x=
+ 2π n, n ∈ Z . Отсюда
6
y=
π
6
Баллы
2
1
0
41. Решите систему уравнений
⎧sin x = sin 2 y
⎪cos x = sin y
⎪
⎨
⎪0 ≤ x ≤ π
⎪⎩0 ≤ y ≤ π
⎛π π ⎞ ⎛ π ⎞
Ответ: ⎜ ; ⎟; ⎜ 0; ⎟ .
⎝3 6⎠ ⎝ 2⎠
42. Решите систему уравнений
2π
⎧
⎪⎪ x + y = 3
⎨ sin x
⎪
=2
⎪⎩ sin y
π
⎞
⎛π
Ответ: ⎜ + π n; − π n ⎟, n ∈ Z .
6
⎠
⎝2
+ 2π n, n ∈ Z .
2π
2π
, то y = x +
. Первое
3
3
уравнение системы примет вид
2π ⎞
⎛
sin x + sin ⎜ x +
⎟ = 1;
3 ⎠
⎝
2π
2π
sin x + sin x ⋅ cos
+ cos x ⋅ sin
= 1;
3
3
1
3
sin x − sin x +
cos x = 1;
2
2
π⎞
3
1
⎛
cos x = 1; sin ⎜ x + ⎟ = 1;
sin x +
2
3⎠
2
⎝
2. Если x − y = −
Задания С 2
РАССТОЯНИЯ И УГЛЫ
В ПРОСТРАНСТВЕ
Методы решения задач
1.
2.
3.
4.
5.
6.
π
+ 2π k , k ∈ Z . Отсюда
6
5π
y=
+ 2π k , k ∈ Z .
6
π
⎞
⎛ 5π
+ 2π n; + 2π n ⎟, n ∈ Z ;
Ответ: ⎜
6
⎠
⎝ 6
x=
Поэтапно-вычислительный метод
Координатный метод
Координатно-векторный метод
Векторный метод
Метод объемов
Метод ключевых задач
Ключевые задачи
1. Координаты точки M ( x; y; z ) , делящей отрезок M 1 M 2 между точками M 1 ( x1 ; y1 ; z1 ) и
4

5.

M 2 ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) в отношении M 1 M : MM 2 = λ ,
x + λx 2
определяются формулами x = 1
,
1+ λ
y + λy 2
z + λz 2
, z= 1
.
y= 1
1+ λ
1+ λ
2. Найти угол между диагоналями смежных граней куба.
3. Найти угол между диагональю куба и скрещивающейся с ней диагональю грани.
4. Найти угол между диагональю куба и плоскостью, проведенной через концы трех ребер куба,
выходящих из той же вершины, что и диагональ.
5. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 диагональ BD1 перпендикулярна плоскостям AB1C и A1 DC1 и делится ими на три равные части.
6. Отрезки, соединяющие середины противолежащих ребер тетраэдра, пересекаются в одной
точке и делятся этой точкой пополам.
7. В правильной треугольной пирамиде скрещивающиеся ребра перпендикулярны.
8. Отрезок, соединяющий середины скрещивающихся ребер правильного тетраэдра, является их общим перпендикуляром и имеет длину
а 2
, где а – длина ребра.
2
9. Любое сечение треугольной пирамиды плоскостью, параллельной ее скрещивающимся ребрам, является параллелограммом.
10. Любое сечение правильной треугольной пирамиды плоскостью, параллельной ее скрещивающимся ребрам, есть прямоугольник.
Решение. Длину отрезка EF найдем по теореме
косинусов из треугольника D1 EF (рис. 1), в коπ
2
1
тором D1 F =
2 , D1 E =
2 , ∠FD1 E =
3
3
3
(треугольник AB1 D1 является равносторонним).
Имеем
EF 2 = D1 E 2 + D1 F 2 − 2 D1 E ⋅ D1 F ⋅ cos
=
3) по формуле AB =
=
2 8
2 2 2 1 2
6
+ − 2⋅
⋅
⋅ = , откуда EF =
.
9 9
3
3 2 3
3
Ответ:
6
.
3
1. (П) Ребра правильной четырехугольной призмы равны 1, 4 и 4. Найдите расстояние от вершины до центра основания призмы, не содержащего эту вершину.
Ответ: 3.
Расстояние между точками А и В можно вычислить:
1) как длину отрезка АВ, если отрезок АВ удается включить в некоторый треугольник в качестве одной из его сторон;
2) по формуле
(x 2 − x1 )2 + ( y 2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2
A( x1 ; y1 ; z1 ) , B( x 2 ; y 2 ; z 2 ) ;
3
Рис. 1
1. Расстояние между двумя точками
ρ ( A; B ) =
π
2. Расстояние от точки до прямой
Расстояние от точки до прямой, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, проведенного из этой точки на прямую.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.
Расстояние между двумя параллельными прямыми равно расстоянию от любой точки одной
из этих прямых до другой прямой.
, где
2
AB .
Пример 1. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 на
диагоналях граней AD1 и D1 B1 взяты точки Е и
1
2
F так, что D1 E = AD1 , D1 F = D1 B1 . Найдите
3
3
длину отрезка EF.
Расстояние от точки до прямой можно вычислить:
5

6.

ABCDA1 B1C1 D1 − ромб
1) как длину отрезка перпендикуляра, если удается включить этот отрезок в некоторый треугольник в качестве одной из высот;
2) используя векторный метод;
3) используя координатно-векторный метод.
АВ = 10, АС = 6 7 . Боковое ребро АА1 равно
3 21. Найдите расстояние от вершины В до
прямой АС1 .
Ответ: 8.
Пример 2. При условиях примера 1 найдите
расстояние от точки D1 до прямой EF.
Решение. Пусть h – длина высоты треугольника
D1 EF , опущенной из точки D1 . Найдем h, используя метод площадей. Площадь треугольни1
ка D1 EF равна D1 F ⋅ D1 E ⋅ sin ∠FD1 E =
2
1 2 2 2 3
3
= ⋅
⋅
⋅
=
. С другой стороны
2 3
3 2
9
D1 EF
равна
площадь
треугольника
3. Расстояние от точки до плоскости
• Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость.
• Расстояние между прямой и параллельной ей
плоскостью равно длине их общего перпендикуляра.
• Расстояние между прямой и параллельной ей
плоскостью равно расстоянию от любой точки
этой прямой до плоскости.
• Расстояние между двумя параллельными
плоскостями равно длине их общего перпендикуляра.
• Расстояние между двумя параллельными
плоскостями равно расстоянию между точкой
одной из этих плоскостей и другой плоскостью.
1
6
3
6
FE ⋅ h =
h . Из уравнения
h нахо=
2
6
9
6
2
.
дим искомое расстояние h =
3
Замечание. Можно заметить, что выполняется
равенство FE 2 + D1 E 2 = D1 F 2 , то есть треугольник D1 EF прямоугольный и длина отрезка
D1 E является искомым расстоянием.
2
.
3
1. (П) В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите расстояние от точки А до прямой:
a) B1 D1 ; б) А1С ; в) BD1 .
Ответ:
Расстояние от точки М до плоскости α
1) равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на прямой l, которая
проходит через точку М и параллельна плоскости α ;
2) равно расстоянию до плоскости α от произвольной точки Р, лежащей на плоскости β , которая проходит через точку М и параллельна
плоскости α ;
r
3) вычисляется по формуле ρ = ρ1 , где
r1
ρ = ρ (M ; α ) ,
ρ1 = ρ (M 1 ;α ) ,
OM = r ,
OM 1 = r1 , MM 1 ∩ α = O ; в частности, ρ = ρ1 ,
если r = r1 :
прямая m, проходящая через точку М, пересекает плоскость α в точке О, а точка М 1 лежит
на прямой m;
4) вычисляется по формуле
3V
ρ (M ;α ) = ρ (M ; ABC ) = ABCM , где треугольник
S ABC
АВС расположен на плоскости α, а объем пирамиды АВСМ равен V ABCM ;
6
6
6
; б)
; в)
.
2
3
3
2. (П) В правильной треугольной призме
ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите
расстояние от точки А до прямой ВС1 .
Ответ: а)
14
.
4
3. (П) В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны
1, найдите расстояние от точки А до прямой:
а) DЕ; б) D1 E1 ; в) B1C1 ; г) BE1 ; д) BC1 ; е) CE1 ;
ж) CF1 ; з) CB1 .
Ответ:
7
2 5
; г)
; д)
2
5
30
30
; з)
.
е) 2 ; ж)
5
4
4. (П) Основание прямой призмы
Ответ: а)
3 ; б) 2; в)
ABCD, в котором
14
;
4
6

7.

5) вычисляется по формуле
Ax0 + By 0 + Cz 0 + D
, где
ρ (M ; α ) =
A2 + B 2 + C 2
M ( x0 ; y 0 ; z 0 ) , плоскость α задана уравнением
Ax + By + Cz + D = 0 ;
6) находится с помощью векторного метода;
7) находится с помощью координатновекторного метода.
Так
как
В1О1 =
2
,
2
О1О = 1 ,
то
1
3
+1 =
. Выражая двумя способами
2
2
площадь
треугольника
В1О1О ,
получим
ОВ1 =
h⋅
Пример 3. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1
найдите расстояние от точки С1 до плоскости
АВ1С .
Решение. Так как прямая А1С1 параллельна АС,
то прямая А1С1 параллельна плоскости АВ1С
(рис. 2). Поэтому искомое расстояние h равно
расстоянию от произвольной точки прямой А1С1
до плоскости АВ1С . Например, расстояние от
центра О1 квадрата A1 B1C1 D1 до плоскости
АВ1С равно h.
3
3
2
=
⋅ 1 , откуда h =
.
3
2
2
Ответ:
3
.
3
1. Ребро AD пирамиды DABC перпендикулярно плоскости основания АВС. Найдите расстояние от вершины А до плоскости, проходящей
через середины ребер АВ, АС и AD, если
AD = 2 5 , AB = AC = 10, BC = 4 5.
Ответ: 2.
4. Расстояние между
скрещивающимися прямыми
Расстояние между двумя скрещивающимися
прямыми равно длине отрезка их общего перпендикуляра.
Расстояние между скрещивающимися прямыми
1) равно расстоянию от любой точки одной из
этих прямых до плоскости, проходящей через
вторую прямую параллельно первой прямой;
2) равно расстоянию между двумя параллельными плоскостями, содержащими эти прямые;
3) равно ρ (a; b ) = ρ ( A; b1 ) , где A = aα , b1 = bα :
если ортогональная проекция на плоскость α
переводит прямую а в точку А, а прямую b в
прямую b1 , то расстояние между скрещивающимися прямыми а и b равно расстоянию от
точки А до прямой b1 ;
4)
вычисляется
по
формуле
6V ABCD
ρ ( AB; CD ) =
где А и В – точки
AB ⋅ CD ⋅ sin ϕ
на одной прямой, С и D – точки на другой прямой, ϕ - угол между данными прямыми;
5) определяется с помощью векторного метода;
6) определяется с помощью координатновекторного метода.
Рис. 2
Пусть Е – основание перпендикуляра, опущенного из точки О1 на прямую В1О , где О –
центр квадрата ABCD . Прямая О1 Е лежит в
плоскости BB1 D1 D , а прямая АС перпендикулярна этой плоскости. Поэтому О1 Е ⊥ АС и
О1 Е - перпендикуляр к плоскости АВ1С , а
О1 Е = h .
Пример 4. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1,
найдите расстояние между прямыми BD и SA.
7

8.

Решение. Пусть Е – основание перпендикуляра
(рис. 3), опущенного из точки О на ребро SA.
Так как прямая BD перпендикулярна плоскости
AOS, то BD ⊥ OE .
Таким образом, ОЕ – общий перпендикуляр к
скрещивающимся прямым BD и SA.
Найдем его длину, вычислив двумя способами площадь треугольника AOS.
AO ⋅ SO = AS ⋅ OE , где
Из
равенства
2
,
2
1
OE = .
2
AO =
AS = 1,
SO =
2
2
следует,
1) формулу cos ϕ =
b2 + c2 − a2
для нахожде2bc
ния угла ϕ между прямыми m и l , если стороны а и b треугольника АВС соответственно параллельны этим прямым;
p⋅q
2) формулу cos ϕ =
или в координатной
p⋅q
форме
что
x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2
cos ϕ =
для на2
2
2
2
2
2
x1 + y1 + z1 ⋅ x 2 + y 2 + z 2
хождения угла ϕ между прямыми m и l , если
векторы p ( x1 ; y1 ; z1 ) и q( x 2 ; y 2 ; z 2 ) параллельны
соответственно этим прямым; в частности, для
того чтобы прямые m и l были перпендикулярны, необходимо и достаточно, чтобы
p ⋅ q = 0 или x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 = 0 ;
3) ключевые задачи.
Пример 5. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол
между прямыми A1 D и D1 E , где Е – середина
ребра CC1 .
Решение. Пусть F – середина ребра ВВ1 , а –
ребро куба, ϕ - искомый угол.
Так как A1 F D1 E , то ϕ - угол при вершине
Рис. 3
Ответ: 0,5.
1. В пирамиде DABC известны длины ребер:
AB = AC = DB = DC = 10, BC = DA = 12. Найдите расстояние между прямыми DA и ВС.
Ответ: 2 7 .
A1 в треугольнике A1 FD .
Из треугольника BFD имеем
a 2 9a 2
FD 2 = BD 2 + BF 2 = 2a 2 +
=
, а из тре4
4
угольника A1 B1 F получаем
5. Угол между двумя прямыми
2
A1 F 2 = A1 B1 + B1 F 2 = a 2 +
• Углом между двумя пересекающимися прямыми называется наименьший из углов, образованных при пересечении прямых.
• 0 D < ∠(a; b ) ≤ 90 D .
a 2 5a 2
=
, откуда
4
4
a 5
.
2
Далее в треугольнике A1 FD используем теорему косинусов
FD 2 = A1 D 2 + A1 F 2 − 2 A1 D ⋅ A1 F cos ϕ ,
A1 F =
• Углом между скрещивающимися прямыми
называется угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным
скрещивающимся.
• Две прямые называются перпендикулярными,
если угол между ними равен 90 D .
• Угол между параллельными прямыми считается равным нулю.
a 5
5a 2
9a 2
cos ϕ , откуда
= 2a 2 +
− 2a 2 ⋅
2
4
4
1
1
и ϕ = arccos
.
cos ϕ =
10
10
• При нахождении угла между прямыми используют:
8

9.

7.
В
правильной
треугольной
призме
ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми АВ и A1C .
2
.
4
8.
В
правильной
треугольной
призме
ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите
косинус угла между прямыми AВ1 и BC1 .
1
Ответ: .
4
9. Непересекающиеся диагонали двух смежных
боковых граней прямоугольного параллелепипеда образуют с плоскостью его основания углы
ϕ и ψ. Найдите угол между этими диагоналями.
Ответ: arccos(sin ϕ ⋅ sinψ )
10. В правильной треугольной призме
ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, точки D,
Е – середины ребер соответственно A1 В1 и B1C1 .
Найдите косинус угла между прямыми АD и
ВЕ.
Ответ: 0,7.
11. В правильной треугольной призме
ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, точка D
– середина ребра A1 В1 . Найдите косинус угла
между прямыми АD и BC1 .
Ответ:
Рис. 4
Ответ: arccos
1
10
.
1. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 точки Е, F – середины
ребер соответственно A1 В1 и B1C1 . Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF.
Ответ: 0,8.
2. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 точки Е, F – середины
ребер соответственно A1 В1 и C1 D1 . Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF.
5
Ответ:
.
5
3. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 точка Е – середина
ребра A1 В1 . Найдите косинус угла между прямыми АЕ и ВD1 .
3 10
.
20
12. В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны
1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и
BC1 .
Ответ: 0,75.
13. В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны
1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и
BD1 .
Ответ:
15
.
5
4. К диагонали куба провели перпендикуляры из
остальных вершин куба. На сколько частей и в
каком отношении основания этих перпендикуляров разделили диагональ?
Ответ: на три части в отношении 1:1:1.
5. К диагонали A1C куба ABCDA1 B1C1 D1 провели перпендикуляры из середин ребер АВ и
AD. Найдите угол между этими перпендикулярами.
Ответ: 60 D .
6. К диагонали A1C куба ABCDA1 B1C1 D1 провели перпендикуляры из вершин А и В. Найдите угол между этими перпендикулярами.
Ответ: 60 D .
Ответ:
2
.
4
14. В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны
1, найдите косинус угла между прямыми AB1 и
BE1 .
Ответ: 90 D .
15. В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны
1, точки G, H – середины ребер соответственно
A1 В1 и B1C1 . Найдите косинус угла между прямыми АG и BH.
Ответ:
9

10.

Ответ: 0,9.
16. В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны
1, точка G – середина ребра A1 В1 . Найдите косинус угла между прямыми АG и BC1 .
3) по формуле sin ϕ =
n⋅ p
n⋅ p
или в координат-
ной форме
sin ϕ =
10
Ответ:
.
4
17. В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны
1, точка G – середина ребра A1 В1 . Найдите косинус угла между прямыми АG и BD1 .
x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2
2
2
2
2
2
2
x1 + y1 + z1 ⋅ x 2 + y 2 + z 2
, где
n( x1 ; y1 ; z1 ) - вектор нормали плоскости α ,
p( x 2 ; y 2 ; z 2 ) - направляющий вектор прямой l;
• прямая l и плоскость α параллельны тогда и
только тогда, когда x1 x 2 + y1 y 2 + z1 z 2 = 0 ;
4) используя векторный метод;
5) используя координатно-векторный метод;
6) используя ключевые задачи.
5
.
5
18. Найдите угол между непересекающимися
медианами граней правильного тетраэдра.
2
1
Ответ: arccos ; arccos .
3
6
19. В правильной четырехугольной пирамиде
SABCD, все ребра которой равны 1, точки Е, F –
середины ребер соответственно SB и SC. Найдите косинус угла между прямыми АЕ и BF.
1
Ответ: .
6
20. Ребра АD и ВС пирамиды DABC равны 24
см и 10 см. Расстояние между серединами ребер
BD и AC равно 13 см. Найдите угол между
прямыми АD и ВС.
Ответ: 90 D .
Ответ:
Пример 6. В правильной треугольной призме
ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите
угол между прямой АВ1 и плоскостью АА1С1С .
Решение. Пусть D – середина А1С1 , тогда B1 D перпендикуляр к плоскости АА1С1С , а D – проекция точки В1 на эту плоскость (рис. 5).
BD
Если ϕ - искомый угол, то sin ϕ = 1 , где
AB1
AB1 = 2 , B1 D =
ϕ = arcsin
3
6
, и поэтому sin ϕ =
,
2
4
6
.
4
6. Угол между прямой и плоскостью
• Углом между плоскостью и не перпендикулярной ей прямой называется угол между этой
прямой и ее проекцией на данную плоскость.
• 0D < ∠(a;α ) < 90D .
• Угол между взаимно перпендикулярными
прямой и плоскостью равен 90 D .
• Если прямая параллельна плоскости (или лежит в ней), то угол между ними считается равным 0 D .
Угол между прямой l и плоскостью α можно
вычислить:
1) если этот угол удается включить в прямоугольный треугольник в качестве одного из острых углов;
ρ (M ; α )
2) по формуле sin ϕ = sin ∠(l ; α ) =
, где
AM
M ∈ l , l ∩ α = A;
Рис. 5
Ответ: arcsin
10
6
.
4

11.

1. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол между
прямой AВ1 и плоскостью ABC1 .
Ответ: 30 D .
2. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите тангенс угла
между прямой AA1 и плоскостью BC1 D .
Ответ:
1
.
10
10. В правильной треугольной призме
ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, точка D
– середина ребра A1 В1 . Найдите синус угла между прямой АD и плоскостью BСC1 .
2
.
2
3. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите тангенс угла
между прямой AC1 и плоскостью BCC1 .
Ответ:
15
.
10
11. В основании прямой призмы MNKM 1 N 1 K 1
лежит прямоугольный треугольник MNK, у которого угол N равен 90 D , угол M равен 60 D ,
NK = 18 . Диагональ боковой грани M 1 N составляет угол 30 D с плоскостью MM 1 K 1 . Найдите высоту призмы.
Ответ: 6 6 .
12. В основании прямой призмы ABCA1 B1C1 лежит прямоугольный треугольник АВС, у которого угол С равен 90 D , угол А равен 30 D ,
AC = 10 3 . Диагональ боковой грани B1C со-
Ответ:
2
.
2
4. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 точка Е – середина
ребра A1 В1 . Найдите синус угла между прямой
АЕ и плоскостью ВDD1 .
Ответ:
10
.
10
5. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 точка Е – середина
ребра A1 В1 . Найдите синус угла между прямой
АЕ и плоскостью ВDC1 .
Ответ:
ставляет угол 30 D с плоскостью AA1 B1 . Найдите
высоту призмы.
Ответ: 10 2 .
Критерии:
Содержание критерия
Баллы
Обоснованно получен вер2
ный ответ.
Способ нахождения искомой величины верен, но по1
лучен неверный ответ или
решение не закончено.
Решение не соответствует
ни одному из критериев, пе0
речисленных выше.
15
.
15
6.
В
прямоугольном
параллелепипеде
ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол между плоскостью
AA1C и прямой A1 В , если AA1 = 3 , AB = 4 ,
BC = 4.
2 2
Ответ: arcsin
.
5
7.
В
прямоугольном
параллелепипеде
ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол между плоскостью
A1 BC и прямой BC1 , если AA1 = 8 , AB = 6 ,
BC = 15 .
24
Ответ: arcsin .
85
8.
В
прямоугольном
параллелепипеде
ABCDA1 B1C1 D1 , у которого AA1 = 4 , A1 D1 = 6 ,
C1 D1 = 6 найдите тангенс угла между плоскостью ADD1 и прямой EF, проходящей через середины ребер АВ и B1C1 .
3
Ответ: .
5
9.
В
прямоугольном
параллелепипеде
ABCDA1 B1C1 D1 , у которого AB = 4 , BC = 6 ,
CC1 = 4 найдите тангенс угла между плоскостью АВС и прямой EF, проходящей через середины ребер AA1 и C1 D1 .
Ответ:
13. В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны
1, точка G – середина ребра A1 В1 . Найдите синус угла между прямой АG и BСС1 .
15
.
10
14. В правильной шестиугольной призме
ABCDEFA1 B1C1 D1 E1 F1 , все ребра которой равны
1, точка G – середина ребра A1 В1 . Найдите синус угла между прямой АG и BDD1 .
Ответ:
5
.
5
15. В правильной четырехугольной пирамиде
SABCD, все ребра которой равны 1, найдите ко-
Ответ:
11

12.

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0 , n2 ( A2 ; B2 ; C 2 ) - вектор
нормали плоскости A2 x + B2 y + C 2 z + D2 = 0 ;
7) используя ключевые задачи.
синус угла между прямой АВ и плоскостью
SAD.
3
.
Ответ:
3
16. В правильной шестиугольной пирамиде
SABCDEF, боковые ребра которой равны 2, а
стороны основания – 1, найдите косинус угла
между прямой АС и плоскостью SAF.
5
.
Ответ:
5
Пример 7. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1,
найдите двугранный угол между основанием и
боковой гранью.
Решение. Пусть Е и К – середины ребер AD и
BC соответственно, О – центр основания ABCD
(рис. 6). Тогда SE ⊥ AD , EK ⊥ AD и поэтому
∠SEK = ϕ - линейный угол данного двугранного угла.
1
Так как AD = 1 , OE = , SD = 1 , то
2
1
3
SE = SD 2 − ED 2 = 1 − =
,
4
2
1
1
OE
cos ϕ =
=
, ϕ = arccos
.
SE
3
3
7. Угол между плоскостями
• Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла,
получаемого при пересечении двугранного угла
плоскостью, перпендикулярной его ребру.
• Величина двугранного угла принадлежит
промежутку (0 D ;180 D ) .
• Величина угла между пересекающимися плоскостями принадлежит промежутку (0 D ; 90 D .
• Угол между двумя параллельными плоскостями считается равным 0 D .
]
Угол между пересекающимися плоскостями
можно вычислить:
1) как угол между прямыми, лежащими в этих
плоскостях и перпендикулярными к линии их
пересечения;
2) как угол треугольника, если удается включить линейный угол в некоторый треугольник;
ρ (M ; β )
3) по формуле
sin ∠(α ; β ) =
, где
ρ (M ; l )
M ∈α; α ∩ β = l ;
S′
4) по формуле cos ∠(α ; β ) = , где S – площадь
S
фигуры Ф, расположенной в плоскости α , S ′ площадь проекции фигуры Ф на плоскость β ;
5) как угол между перпендикулярными им прямыми;
n1 ⋅ n2
6) по формуле cos ∠(α ; β ) =
или в коорn1 ⋅ n2
динатной форме cos ∠(α ; β ) =
A1 A2 + B1 B2 + C1C 2
=
,
2
2
2
2
2
2
A1 + B1 + C1 ⋅ A2 + B2 + C 2
n1 ( A1 ; B1 ; C1 )
-
вектор
нормали
Рис. 6
Ответ: arccos
1
3
.
1. Дан куб ABCDA1 B1C1 D1 . Найдите угол между
плоскостями AB1C1 и A1 B1C .
Ответ:
π
.
3
2. Диагональ A1C куба ABCDA1 B1C1 D1
служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через середины ребер АВ и DD1 .
Найдите величину этого угла.
Ответ: 120 D .
3. Диагональ A' C куба ABCDA' B' C ' D'
служит ребром двугранного угла, грани которого проходят через В и D . Найдите величину
этого угла.
где
плоскости
12

13.

11. Сторона основания правильной треугольной
призмы ABCA1 B1C1 равна 2, а диагональ боко-
Ответ: 120 D .
4. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 точки Е, F – середины
ребер соответственно A1 В1 и A1 D1 . Найдите
тангенс угла между плоскостями АЕF и ВCC1 .
вой грани равна 5 . Найдите угол между плоскостью A1 BC и плоскостью основания призмы.
Ответ: 30 D .
12. В правильной треугольной призме
ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, найдите
угол между плоскостями
ACВ1 и A1С1 В .
1
Ответ: arccos .
7
13. (Демо 2010) Сторона основания правильной
треугольной призмы ABCA1 B1C1 равна 2, а диа-
5
.
2
5. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 точки Е, F – середины
ребер соответственно A1 В1 и A1 D1 . Найдите
тангенс угла между плоскостями АЕF и ВDD1 .
Ответ:
2
.
4
6. В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA1 B1C1 D1 известны длины ребер: AA1 = 5,
AB = 12, AD = 8. Найдите тангенс угла между
плоскостью АВС и плоскостью, проходящей
через точку В перпендикулярно прямой АК,
если К - середина ребра C1 D1 .
Ответ: 2.
7. В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA1 B1C1 D1 , у которого AB = 4 , BC = 6 ,
CC1 = 4 найдите тангенс угла между плоскостями CDD1 и BDA1 .
Ответ:
5 . Найдите угол
гональ боковой грани равна
между плоскостью A1 BC и плоскостью основания призмы.
Ответ: 30 D .
14. В правильной треугольной призме
ABCA1 B1C1 , все ребра которой равны 1, точки D,
Е – середины ребер соответственно A1 В1 и А1C1 .
Найдите тангенс угла между плоскостями АDЕ
и ВCC1 .
3
.
4
15. Основанием прямой треугольной
призмы ABCA1 B1C1 является равнобедренный
треугольник АВС, в котором AB = BC = 10,
AC = 16. Боковое ребро призмы равно 24. Точка
Р – середина ребра BB1 . Найдите тангенс угла
между плоскостями A1 B1C1 и АСР.
Ответ: 2.
16. Основанием прямой треугольной
призмы ABCA1 B1C1 является равнобедренный
треугольник АВС, в котором AB = BC = 20,
AC = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка
Р принадлежит ребра
BB1 , причем
BP : PB1 = 1 : 3. Найдите тангенс угла между
плоскостями A1 B1C1 и АСР.
Ответ: 0,5.
17. Основанием прямой треугольной
призмы ABCA1 B1C1 является треугольник АВС,
в котором AB = AC = 8, а один из углов равен
60 D . На ребре AA1 отмечена точка Р так, что
AP : PA1 = 2 : 1. Найдите тангенс угла между
плоскостями АВС и СВР, если расстояние между прямыми АВ и C1 B1 равно 18 3 .
Ответ: 3.
18. Основанием прямой треугольной
Ответ:
3 2
.
Ответ:
2
8. В прямоугольном параллелепипеде
ABCDA1 B1C1 D1 , у которого AB = 6 , BC = 6 ,
CC1 = 4 найдите тангенс угла между плоскостями ACD1 и A1 B1C1 .
2 2
.
3
9. Основание прямой четырехугольной призмы
ABCDA1 B1C1 D1 - прямоугольник ABCD , в кото-
Ответ:
ром АВ = 5 , AD = 33 . Найдите тангенс угла
между плоскостью грани AA1 D1 D призмы и
плоскостью, проходящей через середину ребра
CD перпендикулярно прямой B1 D , если расстояние между прямыми A1C1 и BD равно 3 .
Ответ: 1,2.
10. Основание прямой четырехугольной призмы
ABCDA1 B1C1 D1 - прямоугольник ABCD , в котором АВ = 12 , AD = 31 . Найдите тангенс угла
между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD
перпендикулярно прямой BD1 , если расстояние
между прямыми AC и B1 D1 равно 5.
Ответ:
2
.
4
13

14.

стороны треугольника равны а, b и с.
ab bc ac
;
;
.
Ответ:
2c 2a 2b
3. Плоскость пересекает боковые ребра SA, SB
и SC треугольной пирамиды SABC в точках
K, L и M соответственно. В каком отношении
делит эта плоскость объем пирамиды, если изSK SL
вестно, что
=
= 2 , а медиану SN треKA LB
угольника SBC эта плоскость делит пополам.
8
Ответ:
.
37
4. Найти угол при вершине в осевом сечении
конуса, если на его поверхности можно провести три попарно перпендикулярные образующие.
⎛ 1⎞
Ответ: arccos⎜ − ⎟ .
⎝ 3⎠
5. Какие значения принимает угол между образующими конуса, если его образующая в два
раза больше радиуса основания?
Ответ: (0 D ;60 D .
призмы ABCA1 B1C1 является треугольник АВС,
в котором AC = BC = 6, а один из углов равен
60 D . На ребре CC1 отмечена точка Р так, что
CP : PC1 = 2 : 1. Найдите тангенс угла между
плоскостями АВС и АВР, если расстояние между прямыми АС и A1 B1 равно 18 3 .
Ответ: 4.
19. Основанием прямой призмы
ABCA1 B1C1 является прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АС. Найдите тангенс угла между плоскостью A1 B1C1 и плоскостью,
проходящей через середину ребра AA1 и прямую ВС, если AB = 4, BB1 = 12.
Ответ: 1,5.
20. Основание пирамиды DABC - равнобедренный
треугольник
АВС,
в
котором
AB = BC = 13, AC = 24. Ребро DB перпендикулярно плоскости основания и равно 20. Найдите
тангенс двугранного угла при ребре АС.
Ответ: 4.
21. В правильной четырехугольной пирамиде
SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между плоскостями АВС и BCS.
3
.
Ответ:
3
22. Диаметр окружности основания цилиндра
равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Найдите тангенс угла между этой
плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
Ответ: 2 или 14.
23. Диаметр окружности основания цилиндра
равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Найдите тангенс угла между этой
плоскостью и плоскостью основания цилиндра.
21
.
Ответ: 3 или
17
]
9. Координатный метод
Пример 8. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1
точки Е и К - середины ребер AA1 и CD соответственно, а точка М расположена на диагонали B1 D1 так, что B1 M = 2 MD1 . Найдите расстояние между точками Q и L, где Q – середина
отрезка ЕМ, а L – точка отрезка МК такая, что
ML = 2LK .
Решение. Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке 7. Тогда
1⎞
⎛
⎛ 1 ⎞
Е ⎜ 0;0; ⎟ , К ⎜1; ;0 ⎟ , В1 (0;1;1) , D1 (1;0;1) . Для
2⎠
⎝
⎝ 2 ⎠
нахождения координат точки М используем
формулу координат точки, делящей отрезок
B1 D1
в
отношении
2:1.
Имеем
⎛ 0 + 2 ⋅1 1 + 2 ⋅ 0 1 + 2 ⋅1 ⎞ ⎛ 2 1 ⎞
;
;
М⎜
⎟ = ⎜ ; ;1⎟ . Анало1+ 2 1+ 2 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠
⎝ 1+ 2
гично получим координаты точки L, делящей
отрезок МК
в отношении 2:1. Имеем
1
1
⎞
⎛2
⎜ + 2 ⋅1 + 2 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 ⎟
2;
⎟ = ⎛⎜ 8 ; 4 ; 1 ⎞⎟ КоорL⎜ 3
;3
1+ 2
1+ 2 ⎟ ⎝ 9 9 3⎠
⎜ 1+ 2
⎟
⎜
⎠
⎝
динаты точки Q равны полусуммам соответствующих координат точек Е и М, поэтому
8. Разные задачи
1. Найдите радиус сферы, внутри которой расположены четыре шара радиуса r. Каждый из
этих шаров касается трех других и поверхности
сферы.
⎛
6⎞
⎟.
Ответ: r ⎜⎜1 +
⎟
2
⎝
⎠
2. Три сферы, попарно касаясь друг друга, касаются плоскости треугольника в его вершинах.
Найти радиусы сфер, если
14

15.

⎛1 1 3⎞
Q⎜ ; ; ⎟ . Применим формулу для расстояния
⎝3 6 4⎠
между точками с заданными координатами
2
2
2
⎛1 8⎞ ⎛1 4⎞ ⎛ 3 1⎞
QL = ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ + ⎜ − ⎟ =
⎝3 9⎠ ⎝ 6 9 ⎠ ⎝ 4 3⎠
=
725 5 29
=
.
36
36 2
Рис. 8
Ответ:
2
3
.
10. Координатно-векторный метод
Пример 10. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1
найдите расстояние между диагональю куба
BD1 и диагональю грани AB1 .
Решение. Введем прямоугольную систему координат (рис. 9), тогда
А(0;0;0) , В (0;1;0) , В1 (0;1;1) , D1 (1;0;1) .
Пусть EF – общий перпендикуляр скрещивающихся прямых BD1 и AB1 , то есть EF ⊥ AB1 ,
EF ⊥ BD1 , причем E ∈ AB1 и F ∈ BD1 . ОбознаAE
BF
, μ=
и воспользуемся форчим λ =
B1 E
D1 F
мулами для координат точки, которая делит
данный отрезок в заданном отношении. Полуλ
λ ⎞ ⎛ μ
1
μ ⎞
⎛
;
⎟⎟ .
;
;
чим E ⎜ 0;
⎟ , F ⎜⎜
⎝ 1+ λ 1+ λ ⎠
⎝1+ μ 1+ μ 1+ μ ⎠
Рис. 7
Ответ:
5 29
.
36
Пример 9. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1
найдите расстояние от точки А1 до плоскости
BDC1 .
Решение. Составим уравнение плоскости, проходящей через точки B (0;1;0) , D(1;0;0) и
C1 (1;1;1) . Для этого подставим координаты этих
точек в общее уравнение плоскости
Ax + By + Cz + D = 0 . Получим систему уравнений
⎧B + D = 0
⎧B = − D
⎪
⎪
или ⎨ A = − D Отсюда нахо⎨A + D = 0
⎪A + B + C + D = 0
⎪C = D
⎩
⎩
λ
μ
= q , тогда E (0; p; p) ,
1+ μ
1+ λ
F (q;1 − q; q ) . Так как вектор
Пусть
= p,
EF = (q; 1 − q − p; q − p ) должен быть перпендикулярным векторам AB1 = (0;1;1) и
дим уравнение − Dx − Dy + Dz + D = 0 или
x + y − z − 1 = 0 . По формуле находим расстояние от точки А1 (0;0;1) до плоскости β = BDC1 :
0 + 0 −1−1
2
ρ ( А1 ; β ) =
=
.
1+1+1
3
BD1 = (1; − 1; 1) , то имеем систему уравнений:
⎧⎪ AB1 ⋅ EF = 0
⎧1 − q − p + q − p = 0
или ⎨
⇔
⎨
q
1
q
p
q
p
0
−
+
+
+
−
=
⎪⎩ BD1 ⋅ EF = 0
⎩
1
⎧
⎪⎪ p = 2
⎨
⎪q = 1
⎪⎩
3
15

16.

⎛1 1 1⎞
Отсюда EF = ⎜ ; ; − ⎟ ,
⎝3 6 6⎠
1 1
1
1
EF = EF =
+
+
=
.
9 36 36
6
Рис. 10
Ответ: arccos
1
6
130
.
Пример 12. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1
найдите угол между прямой АD1
и плоскостью α, проходящей через точки А1 , Е
и F, где точка Е – середина ребра C1 D1 , а точка
F лежит на ребре DD1 , так, что D1 F = 2 DF .
Решение. Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке 11. Тогда
⎛ 1 ⎞
А1 (0; 0;1) ,
D1 (1; 0;1) ,
А(0;0;0) ,
Е ⎜1; ;1⎟ ,
⎝ 2 ⎠
1⎞
⎛
⎛ 1 ⎞
АD1 = (1; 0;1) ,
A1 E = ⎜1; ; 0 ⎟ ,
F ⎜1; 0; ⎟ ,
3⎠
⎝
⎝ 2 ⎠
2⎞
⎛
А1 F = ⎜1; 0; − ⎟ . Пусть n = ( x; y; z ) - вектор,
3⎠
⎝
перпендикулярный плоскости α, ϕ - искомый
AD1 ⋅ n
угол. Тогда sin ϕ =
.
AD1 ⋅ n
Рис. 9
Ответ:
2
.
Пример 11. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1
найдите угол между прямыми АЕ и DF, где Е и
F – точки, расположенные на ребрах CD и C1 D1
1
1
так, что DE = DC , C1 F = C1 D1 .
3
3
Решение. Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке 10. Тогда
⎛ 1 ⎞
⎛ 2 ⎞
А(0;0;0) , D(1; 0; 0) , Е ⎜1; ; 0 ⎟ , F ⎜1; ;1⎟ ,
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
⎛ 1 ⎞
⎛ 2 ⎞
AE = ⎜1; ; 0 ⎟ , DF = ⎜ 0; ;1⎟ ,
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
2
AE ⋅ DF
2
9
cos α =
=
=
,
10 13
130
AE ⋅ DF
⋅
3
3
2
α = arccos
, где α - искомый угол.
130
Вектор n найдем из условий перпендикулярности этого вектора векторам
A1 E и А1 F , т.е. из условий
y
⎧
⎪⎪ x + 2 = 0
⎧⎪n ⋅ A1 E = 0
⎧ y = −2 x
или ⎨
⇔ ⎨
Пусть
⎨
⎪⎩n ⋅ A1 F = 0
⎩ z = 1,5 x.
⎪x − 2 z = 0
⎪⎩
3
x = 2 , тогда y = −4 , z = 3 и n = (2; − 4; 3) ,
n = 29 .
16

17.

⎞
⎛1
⎛ 1 ⎞
F ⎜ ;1;1⎟ , АD1 = (1; 0;1) , AE = ⎜ 0; ;1⎟ ,
⎠
⎝2
⎝ 2 ⎠
⎞
⎛ 1
СD1 = (0; − 1;1) , СF = ⎜ − ; 0;1⎟ .
⎠
⎝ 2
Найдем вектор n = ( x; y; z ) , перпендикулярный
плоскости AD1 E . Этот вектор должен быть пер-
AD1 ⋅ n = 1 ⋅ 2 + 0 ⋅ (−4) + 1 ⋅ 3 = 5 ,
5
AD1 = 2 , то sin ϕ =
.
58
Так
как
пендикулярным векторам AE и АD1 и поэтому
⎧y
⎧⎪n ⋅ AE = 0
⎧ y = −2 z
⎪ +z=0
⇔ ⎨2
⇔ ⎨
⎨
⎪⎩n ⋅ AD1 = 0
⎩ x = − z.
⎪⎩ x + z = 0
Пусть z = −1 , тогда x = 1 , y = 2 и n = (1; 2; − 1) .
Найдем вектор m = ( x; y; z ) , перпендикулярный
плоскости D1 FC . Этот вектор должен быть
перпендикулярным векторам СD1 и СF и поэтому
⎧− y + z = 0
⎧⎪m ⋅ CD1 = 0
⎧y = z
⎪
⇔⎨ x
⇔ ⎨
⎨
⎪⎩m ⋅ CF = 0
⎩ x = 2z.
⎪⎩− 2 + z = 0
Пусть z = 1 , тогда x = 2 , y = 1 и m = (2;1;1) .
Для нахождения искомого угла ϕ используем
n⋅m
формулу cos ϕ =
. Так как
n⋅m
Рис. 11
Ответ: arcsin
5
58
.
Пример 13. Найдите угол между плоскостями
2x + 3y + 6z − 5 = 0 и 4x + 4 y + 2z − 7 = 0 .
Решение. Рассмотрим векторы
n = (2; 3; 6) и
n ⋅ m = 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 + (−1) ⋅ 1 = 3 , n = 6 , m = 6 ,
m = (4; 4; 2) , перпендикулярные к данным плоскостям. Искомый угол найдем по формуле
n⋅m
cos ϕ =
.
n⋅m
то cos ϕ =
1
, откуда ϕ = 60 D .
2
Так как n ⋅ m = 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 + 6 ⋅ 2 = 32 ,
n = 4 + 9 + 36 = 7 , m = 16 + 16 + 4 = 6 , то
cos ϕ =
16
16
, откуда arccos ϕ =
.
21
21
Ответ: arccos
16
.
21
Пример 14. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1
найдите угол между плоскостями AD1 E и
D1 FC , где точки Е и F – середины ребер А1 В1 и
В1С1 соответственно.
Решение. Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке 12. Тогда
⎛ 1 ⎞
А(0; 0; 0) , С (1;1; 0) , D1 (1; 0;1) , Е ⎜ 0; ;1⎟ ,
⎝ 2 ⎠
Рис. 12
D
Ответ: 60 .
17

18.

11. Векторный метод
1
1⎛1
1
⎞ 1
⋅ PQ − PD1 = ⎜ а + b − c ⎟ + b − a =
6
6⎝2
2
⎠ 2
11
7
1
= − a+ b− c.
12
12
6
Длина вектора
D1 N =
Пример 15. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1
на диагоналях граней AD1 и D1 B1 взяты точки Е
1
2
и F так, что D1 E = AD1 , D1 F = D1 B1 . Найди3
3
те длину отрезка EF.
Решение. Пусть AD = a , AB = b , AA1 = c (рис.
=
a = b = c = 1, a ⋅ b = a ⋅ c = b ⋅ c = 0 .
1), тогда
2
7
1 ⎞
⎛ 11
D1 N = D1 N = ⎜ − a + b − c ⎟ = .
12
6 ⎠
⎝ 12
2
121 49
1
174
+
+
=
.
144 144 36
12
Выразим вектор FE через базисные векторы a ,
b, c:
2
1
FE = EA + AB1 + B1 F = − a + c + b + c + a − b =
3
3
1
2
1
= − a + b + c . Тогда
3
3
3
(
) (
) (
)
2
2
1 ⎞
1 4 1
⎛ 1
FE = FE = ⎜ − a + b + c ⎟ =
+ + =
3
3 ⎠
9 9 9
⎝ 3
2
=
6
6
=
.
9
3
Ответ:
6
.
3
Пример 16. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1
найдите расстояние от точки D1 до прямой РQ,
где Р и Q – середины соответственно ребер
A1 B1 и ВС.
Рис. 13
Ответ:
Пример 17. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1
найдите расстояние от точки А1 до плоскости
BDC1 .
Решение. Пусть AD = a , AB = b , AA1 = c (рис.
1), тогда
a = b = c = 1, a ⋅ b = a ⋅ c = b ⋅ c = 0 .
Выразим вектор PQ через базисные векторы a ,
Решение. Пусть AD = a , AB = b , AA1 = c (рис.
b, c:
PQ = PB1 + B1 B + BQ =
14), тогда a = b = c = 1 , a ⋅ b = a ⋅ c = b ⋅ c = 0 .
1
1
1
1
b−c+ a = a+ b−c
2
2
2
2
Выразим некоторые векторы через базисные
векторы a , b , c : DB = b − a , DC1 = b + c ,
1
PD1 = − b + a . Пусть D1 N ⊥ PQ , где
2
N ∈ PQ . Выразим вектор D1 N , учитывая кол-
.
линеарность
векторов
PN
D1 N = PN − PD1 = x ⋅ PQ − PD1 .
и
C1 A1 = − a − b . Пусть МА1 ⊥ BDC1 , где
M ∈ BDC1 . Вектор C1 M = x ⋅ DB + y ⋅ DC1 , поэтому
MA1 = C1 A1 − C1 M = C1 A1 − x ⋅ DB + y ⋅ DC1 .
PQ :
Так
(
как
1
)
⎧⎪MA ⊥ DB
⎧⎪MA1 ⋅ DB = 0
Далее имеем ⎨ 1
⇔ ⎨
⇔
⎪⎩MA1 ⊥ DC1
⎪⎩MA1 ⋅ DC1 = 0
⎧⎪C A ⋅ DB − x ⋅ DB 2 + y ⋅ DC ⋅ DB = 0
1 1
1
⎨
2
⎪⎩C1 A1 ⋅ DC1 − x ⋅ DB ⋅ DC1 + y ⋅ DC1 = 0
D1 N ⊥ PQ , то D1 N ⋅ PQ = 0 . Отсюда получаем
(x ⋅ PQ − PD )⋅ PQ = 0 ,
174
.
12
2
x ⋅ PQ = PD1 ⋅ PQ ,
(
2
1
1
⎞
⎞⎛ 1
⎛ 1
⎞
⎛1
x ⋅ ⎜ a + b − c ⎟ = ⎜ − b + a ⎟⎜ a + b − c ⎟ ,
2
2
⎠
⎠⎝ 2
⎝ 2
⎠
⎝2
1
⎛1 1 ⎞ 1 1
х ⋅ ⎜ + + 1⎟ = − , х = .
6
⎝4 4 ⎠ 2 4
)
(
(
)(
)
)
2
2
Так как C1 A1 ⋅ DB = − a − b b − a = a − b = 0 ,
(
)(
)
2
DC1 ⋅ DB = b + c b − a = b = 1 ,
18

19.

( )(
)
= (b − a ) = b + a = 2 ,
= (b + c ) = b + c = 2 , то имеем
2
= (1 − y ) ⋅ a + ( x + y ) ⋅ b + x ⋅ c .
DC1 ⋅ C1 A1 = b + c − a − b = −b = −1 ,
DB
2
2
2
2
2
2
2
Вектор MN перпендикулярен векторам AB1 и
DB , поэтому имеем
⎪⎧MN ⋅ AB1 = 0
⇔
⎨
⎪⎩MN ⋅ BD = 0
⎧⎪ (1 − y ) ⋅ a + ( x + y ) ⋅ b + x ⋅ c b + c = 0
⇔
⎨
⎪⎩ (1 − y ) ⋅ a + ( x + y ) ⋅ b + x ⋅ c b − a = 0
2
DC1
⎧2 x + y = 0
⎧0 − ( x ⋅ 2 + y ⋅ 1) = 0
⇔
⇔⎨
⎨
⎩ x + 2 y = −1
⎩− 1 − ( x ⋅ 1 + y ⋅ 2) = 0
1
⎧
⎪⎪ x = 3
⎨
⎪y = − 2
⎪⎩
3
Отсюда получаем
1
2
2
2
2
MA1 = −a − b − b − a + b + c = − a − b + c
3
3
3
3
3
(
) (
2
2
2 ⎞
⎛ 2
MA1 = ⎜ − a − b + c ⎟ =
3
3 ⎠
⎝ 3
(
(
)(
)(
⎧⎪( x + y ) ⋅ b 2 + x ⋅ c 2 = 0
⇔
⇔⎨
2
2
⎪⎩− (1 − y ) ⋅ a + ( x + y ) ⋅ b = 0
1
⎧
x=−
⎪
⎧2 x + y = 0
⎪
3
⇔⎨
⎨
⎩x + 2 y − 1 = 0
⎪y = 2
⎪⎩
3
)
4 4 4 2 3
+ + =
9 9 9
3
.
Итак,
2 3
.
3
Ответ:
)
)
MN = −
(
)
(
)
1
2
1
1
1
b+c +a+ b−a = a+ b− c,
3
3
3
3
3
2
1
1 ⎞
1 1 1
3
⎛1
+ + =
MN = ⎜ a + b − c ⎟ =
.
3
3 ⎠
9 9 9
3
⎝3
Рис. 14
Пример 18. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1
найдите расстояние между прямыми AB1 и BD .
Рис. 15
Решение. Пусть AD = a , AB = b , AA1 = c (рис.
15), тогда a = b = c = 1 , a ⋅ b = a ⋅ c = b ⋅ c = 0 .
Ответ:
Если M и N – основания общего перпендикуляра прямых AB1 и BD соответственно, то имеем
Пример 19. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол
между прямыми EF и PQ, где E, F, P, Q –
середины ребер DD1 , BC, AA1 и B1C1 соответственно.
AB1 = b + c , DB = b − a ,
MN = MA + AD + DN = x ⋅ AB1 + a + y ⋅ DB =
(
)
(
3
.
3
)
= xb+c +a+ y b−a =
19

20.

дина апофемы SF грани ASB, и плоскостью
ASC.
Решение. Так как прямая ОD перпендикулярна
плоскости ASC, то вектор OD является вектором нормали плоскости ASC.
Пусть AD = a , AB = b , AS = c (рис. 17), где
a = b = c = 1, a ⋅ b = 0 ,
Решение. Пусть AD = a , AB = b , AA1 = c (рис.
16), где a = b = c = 1 , a ⋅ b = a ⋅ c = b ⋅ c = 0 . То1
1
гда EF = ED + DC + CF = − c + b − a ,
2
2
1
1
PQ = PA1 + A1 B1 + B1Q = c + b + a , откуда на2
2
ходим
1 ⎞⎛ 1
1 ⎞
⎛1
PQ ⋅ EF = ⎜ c + b + a ⎟⎜ − c + b − a ⎟ =
2 ⎠⎝ 2
2 ⎠
⎝2
2
2
2
1 1 1
1
1
= b − c − a = 1− − = ,
4 4 2
4
4
2
1 ⎞
⎛1
PQ = ⎜ c + b + a ⎟ =
2 ⎠
⎝2
1
1
+1+ =
4
4
=
2
1 ⎞
⎛ 1
EF = ⎜ − c + b − a ⎟ =
2 ⎠
⎝ 2
1
1
+1+ =
4
4
=
cos ϕ =
PQ ⋅ EF
PQ ⋅ EF
=
1
. Тогда
2
1
1
OD = OA + AD = − a + b + a = a − b ,
2
2
1
1⎛
1 ⎞
DE = DA + AF + FE = −a + b + ⎜ c − b ⎟ =
2
2⎝
2 ⎠
1
1
= −a + b + c ,
4
2
1
1 ⎞⎛ 1
1 ⎞
⎛
DE ⋅ OD = ⎜ − a + b + c ⎟⎜ a − b ⎟ =
4
2 ⎠⎝ 2
2 ⎠
⎝
1 2 1 2 1
1
1 1 3
= − a − b + a⋅c − b⋅c = − = ,
2
8
4
4
2 8 8
2
a ⋅ c = b ⋅ c = a cos 60 D =
(
2
1 2
1 2
c +b + a =
4
4
3
,
2
2
1 2
1 2
c +b + a =
4
4
3
,
2
)
(
)
2
1
1 ⎞
⎛
DE = ⎜ − a + b + c ⎟ =
4
2 ⎠
⎝
1
1 3 1
: = , ϕ = arccos , где ϕ
3
2 2 3
2
= a +
- искомый угол.
= 1+
1 2 1 2
1
1 1
b + c − 2⋅ ⋅a ⋅c + 2⋅ ⋅ ⋅b⋅c =
16
4
2
4 2
1 1 1 1
15
+ − + =
,
16 4 2 8
16
2
1 ⎞
⎛1
OD = ⎜ a − b ⎟ =
2 ⎠
⎝2
sin ϕ =
DE ⋅ OD
DE ⋅ OD
ϕ = arcsin
3
30
=
1 1
+ =
4 4
3 4
3
,
⋅
⋅ 2=
8 15
30
, где ϕ - искомый угол.
Рис. 17
Рис. 16
1
Ответ: arccos .
3
Ответ: arcsin
Пример 20. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD , все ребра которой равны 1,
найдите угол между прямой DE, где E – сере-
20
1
,
2
3
30
.

21.

Решение. Искомое расстояние х равно высоте
CQ (рис. 19), опущенной в пирамиде BCDC1 из
вершины С на основание BDC1 .
Объем этой пирамиды равен
1
1 1
a3
S BCD ⋅ CC1 = ⋅ ⋅ BC ⋅ CD ⋅ CC1 =
. С другой
3
3 2
6
стороны, так как треугольник BDC1 равносто-
Пример 21. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол
между плоскостями AB1C и BC1 D .
Решение. Пусть AD = a , AB = b , AA1 = c (рис.
18), где a = b = c = 1 , a ⋅ b = a ⋅ c = b ⋅ c = 0 .
Векторы BD1 и CA1 являются векторами нормали плоскостей AB1C и BC1 D соответственно,
так как BD1 ⊥ AB1C и CA1 ⊥ BC1 D . Тогда
ронний со стороной а 2 , объем пирамиды ра-
( )
BD1 = a − b + c , CA1 = − a − b + c ,
(
)(
)
2
2
2
BD1 ⋅ CA1 = a − b + c − a − b + c = −a + b + c = 1
BD1 =
CA1 =
cos ϕ =
(a − b + c ) = a + b + c = 3 ,
(− a − b + c ) = a + b + c = 3 ,
2
2
2
BD1 ⋅ CA1
BD1 ⋅ CA1
2
2
1
=
3⋅ 3
2
2
=
2
a2 3
⋅x =
⋅ x . От6
a3 a2 3
=
⋅ x , из косюда получаем уравнение
6
6
a 3
.
торого находим x =
3
1
1 a 2
вен S BC1D ⋅ CQ = ⋅
3
3
4
2
3
1
1
, ϕ = arccos ,
3
3
где ϕ - искомый угол.
Рис. 19
Ответ:
Рис. 18
1
Ответ: arccos .
3
a 3
.
3
13. Метод ключевых задач
Ключевая задача № 1
12. Метод объемов
• Если S – площадь фигуры Ф, расположенной в
плоскости α , S ′ - площадь проекции фигуры Ф
на плоскость β , то справедлива формула
S′
cos ∠(α ; β ) = .
S
• При составлении уравнения используется объем фигуры, выраженный двумя независимыми
способами.
Пример 22. Ребро куба ABCDA1 B1C1 D1 равно а.
Найдите расстояние от точки С до плоскости
BDC1 .
Пример 23. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол
между плоскостями AB1C и АВС.
21

22.

Решение. Пусть α - искомый угол. Используем
соотношение S ABC = S AB1C ⋅ cos α (рис. 20), где
Ключевая задача № 3 (теорема о трех косинусах)
( )
2
1
2 3
3
S ABC = , S AB1C =
=
(треугольник
2
4
2
AB1C равносторонний). Отсюда имеем
cos α =
• Пусть α - величина угла между наклонной l и
ее проекцией на некоторую плоскость, β - величина угла между проекцией наклонной l и прямой, проведенной через основание той же наклонной в плоскости проекции, и γ - величина
угла между наклонной l и прямой, проведенной
через ее основание в плоскости проекции. Тогда
справедливо следующее соотношение:
cos γ = cos α cos β .
1 3
1
3
:
=
, α = arccos
.
2 2
3
3
Пример 25. Угол между боковыми ребрами
правильной четырехугольной пирамиды, не лежащими в одной грани, равен 120°. Найдите
плоский угол при вершине пирамиды.
Решение. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD проведем диагональное сечение
ASC (рис. 21); SD – наклонная к плоскости сечения, SO - высота пирамиды и проекция SD на
эту плоскость, SC – прямая, проведенная в
плоскости ASC через основание наклонной. По
условию ∠ASC = 120 D .
На основании теоремы о трех косинусах имеем:
cos ∠DSC = cos ∠DSO ⋅ cos ∠CSO .
Отсюда
1
cos ∠DSC = cos 60 D ⋅ cos 60 D = cos 2 60 D = ,
4
1
∠DSC = arccos .
4
Рис. 20
Ответ: arccos
3
.
3
Ключевая задача № 2 (теорема о трех синусах)
• Пусть в одной из граней двугранного угла, величина которого равна α, проведена прямая,
составляющая с ребром двугранного угла угол β
( 0 D < β < 90 D ), γ - величина угла между этой
прямой и другой гранью. Тогда справедливо
следующее соотношение:
sin γ = sin α sin β .
Пример 24. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол
между плоскостями AB1C и АВС.
Решение. Пусть α - искомый угол (рис. 20). Так
как β = ∠B1 AC = 60 D , γ = ∠B1 AB = 45 D , то име-
ем sin 45 D = sin α sin 60 D , sin α =
α = arcsin
2
3
=
:
2
2
2
,
3
2
.
3
Ответ: arcsin
Рис. 21
1
Ответ: arccos .
4
2
.
3
22

23.

• Если некоторая прямая образует углы α, β и γ с
тремя попарно перпендикулярными прямыми,
то cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 .
Ключевая задача № 4 (теорема косинусов для
трехгранного угла)
• Пусть для трехгранного угла плоские углы
равны α, β и γ и двугранный угол при ребре,
противолежащий плоскому углу γ, равен ϕ. Тогда справедливо следующее соотношение:
cos γ − cos α ⋅ cos β
cos ϕ =
.
sin α ⋅ sin β
Пример 27. Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1 B1C1 D1 . Его диагональ В1 D составляет с ребром AD угол 45 D , а с ребром DC
угол 60 D , Найдите угол между прямыми В1 D и
DD1 .
Решение.
Используем
соотношение
2
2
2
cos α + cos β + cos γ = 1 , где ∠ADB1 = α ,
∠CDB1 = β , ∠D1 DB1 = γ (рис. 23). Получаем
cos 2 45 D + cos 2 60 D + cos 2 γ = 1 ,
1 1 1
1
cos 2 γ = 1 − − = , cos γ = , γ = 60 D .
4 2 4
2
Пример 26. В кубе ABCDA1 B1C1 D1 найдите угол
между прямыми AD1 и DM , где М – середина
ребра D1C1 .
Решение. Пусть ребро куба равно 1, N – середина ребра А1 В1 , тогда искомый угол γ равен углу
между AD1 и AN (рис. 22). Используем теорему косинусов для трехгранного угла с вершиной
А, в котором ∠A1 AD1 = α , ∠A1 AN = β ,
∠NAD1 = γ . Так как ϕ = 90 D , то имеем
cos γ = cos α cos β .
Из треугольника A1 AD1 находим
2
, из треугольника A1 AN по2
AA1
5
2
= 1:
=
. Отсюда
лучаем cos β =
2
AN
5
cos α = cos 45 D =
cos γ =
2 2
⋅
=
2
5
2
2
, γ = arccos
.
5
5
Рис. 23
Ответ: 60 D .
Ключевая задача № 6
• Если AB и CD – скрещивающиеся ребра
треугольной пирамиды ABCD, r – расстояние
между ними, АВ = а , CD = b , ϕ - угол между
AB и CD, V – объем пирамиды ABCD, то
6V
r=
.
ab sin ϕ
Рис. 22
Ответ: arccos
Пример 28. В единичном кубе ABCDA1 B1C1 D1
найдите расстояние между диагональю куба
BD1 и диагональю грани AB1 .
Решение. Найдем искомое расстояние по фор6V
, где V – объем пирамимуле r =
AB1 ⋅ BD1 sin ϕ
2
.
5
Ключевая задача № 5
23

24.

5. ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые
задания /под ред. А. Л. Семенова, И. В.
Ященко. – М.: Издательство «Экзамен»,
2010.
6. Ященко И. В., Шестаков С. А., Захаров П.
И. Подготовка к ЕГЭ по математике в 2010
году. Методические указания. – М.:
МЦНМО, 2009.
7. www.mathege.ru - Математика ЕГЭ 2010
(открытый банк заданий)
ды ABB1 D1 (рис. 24), AB1 = 2 , BD1 = 3 ,
ϕ=
π
- угол между прямыми BD1 и AB1 . Так
2
как площадь основания АВВ1 пирамиды
1
ABB1 D1 равна , а высота A1 D1 равна 1, то
2
1
1
1
=
.
V = . Следовательно, r =
6
2⋅ 3
6
Рис. 24
Ответ:
1
6
.
Литература
1. Самое полное издание типовых вариантов
реальных заданий ЕГЭ 2010: Математика
/авт.-сост. И. Р. Высоцкий, Д. Д. Гущин, П.
И. Захаров и др.; под ред. А. Л. Семенова, И.
В. Ященко. – М.: АСТ: Астрель, 2009. – (Федеральный институт педагогических измерений).
2. ЕГЭ. Математика. Тематическая тетрадь.
11 класс / И. В. Ященко, С. А. Шестаков, П.
И. Захаров. – М.: МЦНМО, Издательство
«Экзамен», 2010.
3. Единый государственный экзамен 2010.
Математика. Универсальные материалы для
подготовки учащихся / ФИПИ – М.: Интеллект-Центр, 2010.
4. ЕГЭ 2010. Математика: Сборник тренировочных работ / Высоцкий И.Р., Захаров П.И.,
Панфёров В.С., Семёнов А.В., Сергеев И.Н.,
Смирнов В.А., Шестаков С.А., Ященко И.В.
– М.: МЦНМО, 2009.
24