Плоские электромагнитные волны. (Лекция 9)

1. Плоские электромагнитные волны

Лекция 9

2. ОПРЕДЕЛЕНИЯ

В области, достаточно удаленной от вибратора
R поле имеет волновой характер.
Волны называются сферическими, так как
поверхности равной фазы – сферы.
При R небольшую часть сферической
поверхности можно считать плоской и волну в
этой области рассматривать как плоскую.
Плоская волна называется однородной, если
векторы поля Е и Н зависят от одной
пространственной координаты и времени

3. Монохроматическая волна. Поляризация.

Монохроматической или гармонической
волной называется волна, у которой вектора Е
и Н изменяются синусоидально
I m l
R
H H
sin sin t
4 R
2
Iml
R
E E
sin sin t
2
4 0 R
2
Если плоская волна линейно поляризована, то
направление векторов Е во всем пространстве
параллельно друг другу (аналогично – вектор
Н).

4. Уравнения однородной линейно поляризованной плоской монохрома-тической электромагнитной волны

Уравнения однородной линейно
поляризованной плоской монохроматической электромагнитной волны
E x E x m sin ( t 1 )
E y Тогда,
E y m sin (
t 2 )
направление
E z E z m sinЕ
( tво
всех
3)
вектора
точках
фазы
трех проекций
полявсех
одинаково,
а углы,
одинаковы : 1 2 3
которые вектор Е
Отношения амплитуд постоянное
образует
с
осями
число :
координат
– постоянны:
Ey m
Ez m
Ex m
a const ,
Ex m
b const
Ex
cos(E, x )
const ,
E
Ey
cos(E, y )
const ,
E
Ez
cos(E, z )
const
E
E E 2x E 2y E 2z
Ex 1 a 2 b 2

5. Уравнение плоской волны

Рассмотрим распространение плоской волны в
однородной среде:
, , const
Расположим координатные оси так, чтобы
вектор Е имел только одну проекцию – Ех.
Ех синусоидально зависит только от одной
координаты Z и от времени t.
Свободные заряды в рассматриваемом
пространстве отсутствуют

6. 2-е уравнение Максвелла

0 j 0 H
xm
E x m
rot Em j 0 H m
j 0 H
ym
z
0
j
H
0
zm
В рассматриваемом случае у вектора Н только одна
проекция отлична от 0 – Нy . Комплексная амплитуда:
H
H
ym
m
1 E x m
1 dE x m
j 0 z
j 0 dz

7. 1-е уравнение Максвелла

( j )E
rot H
m
0
m
dH
ym
dz
( j 0 )E
xm
Подставив Нy m в 2-ое уравнение и отбросив
индексы у проекций векторов, получим:
H
ym H m
E
d
E
1
1
xm
xm
j 0 z
j 0 dz
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
d 2E
m
j
(
j
)
E
0
0
m
2
dz

8. Решение волнового уравнения

d 2E
m
0
j
(
j
)
E
0
0
m
2
dz
Назовем коэффициентом распространения
( j )
j 0 ( j 0 )
d 2E
2
m
Em 0
2
dz
Решение этого уравнения имеет вид:
E M
e z M
e z
m
1
2

9. Коэффициент распространения

( j )
j 0 ( j 0 )
Возведем в квадрат
2 2 j 2 j 0 2 0 0
2
0 0 ( 1 j
) 2 0 0 ( 1 j tg ( ))
0
Получим систему уравнений
Тангенс угла диэлектрических потерь tg 2
0
2
2
2
активной
0 0 и
Он определяет
соотношение
реактивной
2
мощностей в диэлектрике.
2 Чем
меньше
2 tg , тем
2 2
2 tg
лучше диэлектрик.
0

10. Коэффициент распространения

0 0 2
2
2 2
0
2
2
Решая систему
уравнений,
получим
1
2
1
2
2
2
0
1 1
0
1 1
2
2
,

11. Уравнения прямой и отраженной волны для Е.

Перейдем
в уравнении
Мгновенное
значение
Е равно сумме ординат
z
z
Em M
M–2eпадающая
прямой и обратной
волн.
Е пад
1e
к мгновенным значениям, считая, что
волна распространяется в сторону
j
j
возрастающих
Z,
а
отраженная
волна
в
M 1 M 1e , M 2 M 2e
сторону убывания Z
1
E M1e
z
2
sin( t z 1 ) M 2e sin( t z 2 )
E Eпад Eотр
az

12. Уравнения прямой и отраженной волны для Н.

1
e
e
Мгновенное
значение
H
M
M
j
напряженности магнитного поля
Обозначим волновое сопротивление :
равно
разностиj
ординат падающей
Z волн. z e
и отраженной
z
m
z
1
2
0
в
H
m
0
в
j В
M
M
z
1
2
e
e z
Zв
Zв
Перейдем к мгновенным значениям:
M 1 z
M 2 z
H
e sin( t z 1 B )
e sin( t z 2 B )
zB
zB
H H пад H отр

13. Уравнения плоских электромагнитных волн

E M1e z sin( t z 1 ) M 2eaz sin( t z 2 )
E Eпад Eотр
M 1 z
M 2 z
H
e sin( t z 1 B )
e sin( t z 2 B )
zB
zB
H H пад H отр
Мгновенное значение вектора Пойнтинга:
E H

14. Амплитуды падающей и отраженной волн:

z
Eпад M 1e
Eотр M 2e
M 1 z
M 2 z
H пад
e
H отр
e
zB
zB
Амплитуды волн затухают в
направлении распространения.
Падающая волна – в направлении оси Z
Отраженная волна - в направлении -Z
az

15.

Прямая
волна
Обратная
волна

16. Коэффициент затухания

Быстрота затухания зависит от
действительной составляющей
коэффициента распространения Г.
( j )
Коэффициент
затухания
j 0 ( j 0 )
1
2
0
1
1
2
Он показывает уменьшение амплитуды
волна при ее распространении

17. Затухание плоской волны

При прохождении некоторого
расстояния l амплитуда волны убывает:
Eпад ( z )
e l
Eпад ( z l )
Ослабление, испытываемое плоской
волной принято выражать в неперах или
децибелах:
Eпад ( z )
ln
Eпад ( z l )
l , [Нп ] ,
Eпад ( z )
20 ln
8.69 l , [ Дб]
Eпад ( z l )

18. Глубина проникновения поля

Для среды с высокой проводимостью вводят
понятие – глубина проникновения поля.
Это расстояние, при прохождении которого
электромагнитное поле ослабевает в е раз
Eпад ( z )
1
l 0
e e l 0 1 l 0
Eпад ( z l 0 )

19. Волновое сопротивление

Eотр
Eпад
j 0
j В
Zв
z вe
Н пад
Н отр
Волновое сопротивление имеет индуктивный
характер. Нпад и Нотр отстают соответственно
от Епад и Еотр на угол B

20. Фазовая скорость

Фазовой скоростью называется скорость
перемещения плоскости равных фаз
волны:
dz
Ф
dt
Момент
Фаза
времени
t1 , z1
t 1 z 1 1
t 2 t 1 t
(t 1 t ) ( z1 z ) 1
z 2 z 1 z
dt dz 0
dz
Фазовая скорость падающей волны ф
dt

21. Фазовая скорость

Фазовой скоростью называется скорость
перемещения плоскости равных фаз
волны:
dz
Ф
dt
Момент
Фаза
времени
t1 , z1
t 1 z 1 1
t 2 t 1 t
(t 1 t ) ( z 1 z ) 1
z 2 z 1 z
dt dz 0
dz
Фазовая скорость обратной волны ф
dt

22. Фазовая скорость

dz
ф
dt
Фазовая скорость зависит от частоты.
Такие среды называют
диспергирующими

23. Длина волны

Это расстояние, на котором фаза волны
изменяется на 2 [рад ] :
Пусть z1 z 2 , тогда
( t 1 z 1 1 ) ( t 2 z 2 2 ) 2
или ( z1 z 2 ) 2 2
2 ф
f

24. ВЫВОД -1

1.
2.
В каждой точке поля мгновенное
значение напряженности
электрического поля равно сумме
ординат падающей и отраженной волн.
В каждой точке поля мгновенное
значение напряженности магнитного
поля равно разности ординат падающей
и отраженной волн.

25. ВЫВОД - 2

1.
2.
3.
Направление вектора Е одинаково во
всех точках поля и перпендикулярно к
направлению вектора Н.
Оба вектора перпендикулярны к
направлению распространения волны.
Плоские волны относятся к классу
поперечных электромагнитных волн
TEM (Transverse Electro-Magnetic)

26. Распространение плоской волны в идеальном диэлектрике

Идеальным называют диэлектрик, у которого
проводимость 0
Рассмотрим диэлектрик , у которого
const , 1
Тогда коэффициент поглощения 0
Коэффициент распространения – мнимое
число:
j j 0 0 j
Коэффициент фазы 0 0

27. Распространение плоской волны в идеальном диэлектрике

Волновое сопротивление – вещественное число:
ZB
j 0
0
120
RB
[Ом ]
0
Уравнения плоской волны примут вид:
e
E m Eпад Eотр M
1
j z
e
M
2
j z
j z M
j z
M
H H 1e 2e
H
m
пад
отр
Rв
Rв
Если среда не ограниченна в направлении z, то
М2=0 и существует только прямая волна.

28. Распространение плоской волны в идеальном диэлектрике

При z = 0 мгновенные значения векторов поля:
E Ex Ex 0 sin t z ,
E Ex 0
H Hy
sin t z
RB RB
Следовательно амплитуды векторов поля неизменны.
Волна распространяется без затухания, среда
непоглощающая.
Вектор Пойнтинга
E 2x 0
2
[ EH ] z
sin t z
RB

29.

Прямая
волна
Обратная
волна

30. Распространение плоской волны в идеальном диэлектрике

Так как волновое сопротивление – RВ
вещественное число, то волны Е и Н
совпадают по фазе.
Фазовая скорость не зависит от частоты :
1
с
Ф
0 0