Теорема о трех перпендикулярах

1. Устная работа

Тема: Теорема о трех перпендикулярах.

2.

1. Верно ли утверждение: «прямая называется
перпендикулярной плоскости, если она
перпендикулярна некоторой прямой, лежащей этой
плоскости»
2.
На практике вертикальность столба проверяют, глядя
на столб поочередно с двух направлений. Как
обосновать правильность такой проверки?
3.
Могут ли быть перпендикулярны к плоскости две
стороны треугольника одновременно?

3. Дано: ABCD – параллелограмм, BD  , АВ=7 см. Найдите Р АВCD.

Дано: ABCD – параллелограмм,
BD , АВ=7 см.
Найдите Р АВCD.
A
B
C
D

4.

BH
В
12
?
6
30 0
А
H
8
?
С

5.

6.

7. Отрезок АВ длины a перпендикулярен плоскости. Точка А лежит в плоскости. В этой плоскости проведена прямая. Найти расстояние от

точки В до прямой, если
расстояние от точки А до прямой равно b.
В
K
a
?
А
Н
b
t
Дано: ВА , AB=a
ρ( А; t)=b
Найти: ρ( В; t)
ρ( А; t)=AH=b
ρ( В; t)=ВК ?

8. Iспособ

Дано: BA , AH t
Доказать: BH t
Доказательство:
B
K
1. Пусть BH не перп. t.
Проведем BK t, тогда BH> BK. ?
2. Из прямоугольных треугольников BAH
и BAK
AH BH BA ,
AK BK BA
2
2
A
H
t
2
2
2
2
Т.К BH > BK, то AH > AK.
3. Из прямоугольного треугольника АHK
АH < AK,?
противоречие с условием AH t
Значит, BH t.

9. Теорема о трёх перпендикулярах.

Прямая, проведённая в плоскости через основание
наклонной перпендикулярно к её проекции на эту
плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной

10.

Теорема о трех перпендикулярах: Прямая, проведенная в
плоскости через основание наклонной перпендикулярно к
ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой
наклонной.
п
е
р
п
е
н
д
и
к
у
л
я
р
1) АС
2) BС m
А
3) АB m по ТТП
1)Два
Найти
перпендикуляр к плоскости
перпендикуляра
есть
устанавливаем третий
С
В
m

11. III способ (свойства равнобедренного треугольника)

Дано: SO , OA t
Доказать: SA t
Доказательство:
S
O
M
A
N
t
1.
От точки А отложим равные
отрезки: АМ= АN.
2.
В MON : ОА-мед.и выс.
ОМ = ОN. ?
3.
Т.к прямоугольные треугольники
OSM и OSN равны (по двум
катетам),то SM= SN
SA- медиана равнобедренного
треугольника MSN,значит, SA
одновременно и высота этого
треугольника, т. е. SA┴MN.
4.

12.

Назовите отрезок, длина которого равна расстоянию
от т. М до выделенной прямой. Ответ обоснуйте.
С
п
е
р
п
е
н
д
и
к
у
л
я
р
М
Анализируем дано!
СМ (АВС) по …
СВ АВ по …
Строим МВ!
проекция
В
Делаем вывод!
D
ТТП
А
МВ АВ по ТТП
МВ – искомое расстояние

13. Задача № 1

Дано:
М
МВ ( АВС )
В
C
АВСК –прямоугольник.
Доказать:
МСК 90
0
А
К
Задача № 154

14. Задача №154 (Атанасян)

Прямая BD перпендикулярна к плоскости
треугольника АВС. Известно, что BD = 9 см,
АС = 10 см, ВС = ВА = 13 см.
Найдите: а) расстояние от точки D до прямой АС;
б) площадь треугольника ACD.

15. Задача № 3 Определите вид диагонального сечения куба.

В1
А1
С1
D1
В
А
C
D

16.

Задача №4
Среди точек прямой b точка В является
ближайшей к точке А.
Докажите, что она ближайшая к точке С
C
A
a
B
b
α

17. Задача №5 Назовите несколько прямых перпендикулярных диагонали куба.

B1
А1
C1
D1
В
А
С
D

18. Задача № 6 (145)

D
Дано:
АВС , С 90 , AD ( ABC )
0
Доказать:
DCB прямоуголь ный.
A
B

19. Подведение итогов.

Дано: AD┴ (АВС),
D
ВАС 62 , АСВ 28 .
0
М
A
N
C
B
Каково взаимное
расположение прямых
СВ и BD ?
Ответ обоснуйте.
MN и DB ?
0