Уравнение линии

1.

2.

Уравнением линии на плоскости XOY
называется уравнение, которому удовлетворяют
координаты x и y каждой точки этой линии
и не удовлетворяют координаты любой точки,
не лежащей на этой линии.
В общем случае уравнение линии может быть
записано в виде
F ( x, y) 0
или
y f (x)

3.

Пусть задана прямая, пересекающая ось у в
точке В (0,в) и образующая с осью х угол α
0
2
Выберем на прямой произвольную точку
М(х,у).

4.

y
y
B
M
N
0
x
x

5.

Координаты точки N (x,в). Из треугольника
BMN:
MN y b
tg
k
NB
x
k – угловой коэффициент прямой.
y kx b
1

6.

Пусть задана прямая, проходящая через
заданную точку
M 1 ( x1 , y1 )
и образующая с осью х угол α
2

7.

y
y1
M1
0
x1
x

8.

Т.к. точка М1 лежит на прямой, ее
координаты
должны
удовлетворять
уравнению (1):
y1 kx1 b
Вычитаем это уравнение из уравнения (1):
y y1 k ( x x1 )
2

9.

Если в этом уравнении угловой коэффициент
не определен, то оно задает пучок прямых,
проходящих через данную точку, кроме
прямой, параллельной оси у, не имеющей
углового коэффициента.
y
x

10.

Пусть задана прямая, проходящая через две
точки:
M 1 ( x1 , y1 )
M 2 ( x2 , y2 )
Запишем
уравнение
пучка
проходящих через точку М1:
y y1 k ( x x1 )
прямых,

11.

Т.к. точка М2 лежит на данной прямой,
подставим ее координаты в уравнение
пучка прямых:
y2 y1 k ( x2 x1 )
y2 y1
k
x2 x1
Подставляем k в уравнение пучка прямых.
Тем самым мы выделяем из этого пучка
прямую, проходящую через две данные
точки:

12.

y2 y1
x x1
y y1
x2 x1
или
y y1
x x1
y2 y1 x2 x1
3

13.

ПРИМЕР.
Составить уравнение прямой,
проходящей через точки А(-5,4) и
В(3,-2).

14.

РЕШЕНИЕ.
Подставляем координаты точек в уравнение
прямой, проходящей через две точки.
y 4 x 5
2 4 3 5
6
y 4 ( x 5)
8
3
1
y x
4
4

15.

Пусть задана прямая, отсекающая на осях
координат отрезки, равные а и в.
Это значит, что она проходит через точки
A(a,0)
B(0, b)
Найдем уравнение этой прямой.

16.

y
B
b
A
0
a
x

17.

Подставим
координаты точек А и В в
уравнение прямой, проходящей через две
точки (3):
y 0 x a
b 0 0 a
y x a
b a
x y
1
a b
y
x
1
b a
4

18.

Рассмотрим уравнение:
Ax By C 0
5
Рассмотрим частные случаи этого уравнения
и покажем, что при любых значениях
коэффициентов А, В (не равных нулю
одновременно) и С, это уравнение есть
уравнение прямой на плоскости.