Метод узловых потенциалов

1. Метод узловых потенциалов

U1(t)
U2(t)
Метод узловых потенциалов
1.
2.
3.
4.
Введение
Вывод уравнений
Порядок расчета
Выводы
Кафедра
ТОЭ НГТУ

2.

Введение
Метод контурных токов позволяет составить
(m-n+1) уравнений, однако в ряде случаев
электрическая цепь имеет большое число ветвей ,
но малое число узлов, и в этом случае применение
метода контурных токов нерационально. Метод
узловых потенциалов, применяемый для таких
электрических
цепей, позволяет существенно
сократить количество уравнений и упростить
расчет.

3. Электрическая схема

Метод узловых потенциалов
Электрическая схема
Ik
I3
I1
1
R2
R1
R4
Е4
φ1, φ2, φ3 ,причем φ3 =0.
Е3
R3
I4
I2
Е1
Пусть известны потенциалы узлов
По закону Ома для участка цепи:
2
I5
Е5
R6
Е2
R5
3
3 E 5
I5 2
2g 5 E 5g 5
R5
2
I6 3
2 g 6
R6
I6
I1
1 3 E1
1g1 E1g1
R1
I2
1 3 E2
1g 2 E2g 2
R2
I3
2 1 E 3
2 g 3 1g 3 E 3g 3
R3
I4
1 2 E 4
1g 4 2 g 4 E 4 g 4
R4
Электрические цепи постоянного тока

4. Вывод уравнений

U1(t)
U2(t)
Метод узловых потенциалов
Вывод уравнений
Первый закон Кирхгофа для узла 1
I k I 3 I1 I 2 I 4 0
Подставим значения токов в полученное уравнение
Ik 2g 3 E3g 3 1g 3 1g1 E1g1 1g 2 E2g 2 1g4 2g4 E4g4 0
Приведя подобные и сгруппировав, получим:
1 (g1 g 2 g 3 g4 ) 2 (g 3 g4 ) E1g1 E2g 2 E3g 3 E4g4 Ik
2 ( g 3 g 4 g 5 g 6 ) 1 ( g 3 g 4 ) E 3 g 3 E 4 g 4 E 5 g 5 I k
По методу узловых потенциалов составляется система из (n-1) уравнений
n- число узлов
Электрические цепи постоянного тока
Кафедра
ТОЭ НГТУ

5. Система уравнений для произвольной цепи

Метод узловых потенциалов
Система уравнений для произвольной цепи
1g 1 1 2 g 1 2 3 g 1 3 ... k g 1k I 1
E1k g 1k
g g g ... g I
E 2k g 2k
1 21
2 22
3 23
k 2k
2
E 3k g 3k
1g 3 1 2 g 3 2 3 g 3 3 ... k g 3k I 3
g
g
g
...
g
I
E
g
1
k
1
2
k
2
3
k
3
k
kk
k
kk
kk
1.
Если обозначить правые части системы (1) I11, I22, I33 и
т.д. ,получим систему (2)
1g 1 1 2 g 1 2 3 g 1 3 ... k g 1k I 1 1
g
g
g
...
g
I
2 22
3 23
k 2k
22
1 21
g
g
g
...
g
I
1 31
2 32
3 33
k 3k
33
1g k 1 2 g k 2 3 g k 3 ... k g kk I kk
Электрические цепи постоянного тока
2.

6.

U1(t)
Метод узловых потенциалов
U2(t)
k1
k 2
kk
k I11
I 22
Ikk
g 1 1g 1 2 g 1k
g 2 1g 2 2 g 2k
g 3 1g 3 2 g 3k
g k 1g k 2 g kk
g11, g22, …, gkk-собственные проводимости
узлов;
g12, g13, …g1k-взаимные проводимости узлов
12,13,…1к
Δk1,..., Δkm-алгебраические дополнения
I22, I33, … ,Ikk- узловые токи
Δ km- получается из главного определителя Δ путем вычеркивания к-ой
строки и m-го столбца и умножения его на (-1)к+м
Электрические цепи постоянного тока
Кафедра
ТОЭ НГТУ

7.

Метод узловых потенциалов
U2(t)
U1(t)
Замечания к методу узловых
потенциалов:
1.Если в электрической цепи существует ветвь
без сопротивления, то заземлять нужно именно
тот узел, к которому присоединена эта ветвь.
1
R2
Ik
2
R3
E
R1
3
2.При
последовательном
соединении
сопротивлений
проводимость
этой
ветви
определяется по следующим формулам
R1
R2
1
g1 2
R1 2
Электрические цепи постоянного тока
R12 R1 R2
g 1g 2
g1 2
g1 g 2
Кафедра
ТОЭ НГТУ

8.

U1(t)
U2(t)
Метод узловых потенциалов
Порядок расчета электрической цепи методом
узловых потенциалов
1. Выбираем условно- положительные направления токов в
цепи.
2. Выбираем узел, потенциал которого принимается равным
нулю.
3.Записываем для остальных узлов уравнения по методу
узловых
потенциалов.
4. Решаем систему из (n—1) уравнений и определяем
потенциалы узлов.
5. По закону Ома для участка цепи определяем токи в ветвях
электрической цепи.
6. Осуществляем проверку полученного решения по законам
Кирхгофа или по уравнению баланса мощности.
Электрические цепи постоянного тока
Кафедра
ТОЭ НГТУ

9.

Метод узловых потенциалов
U2(t)
U1(t)
Пример
1
I2
I3
R2
I1
В электрической цепи Рис.2 определить все
токи методом узловых потенциалов.
2
R3
Ik
Решение
I
R1
E
3
Рис.2
1.Расставляем условно - положительные
направления токов.
2.Принимаем потенциал третьего узлам
равным нулю (φ3=0), тогда потенциал
второго узла будет равен Э.Д.С.(φ2=Е)
3.Записываем уравнение для узла 1.
1 (
1
1
1
1
) 2
0
R1 R 2 R 3
R2
или
1 (
1
1
1
1
) Å
0
R1 R 2 R 3
R2
Электрические цепи постоянного тока
Кафедра
ТОЭ НГТУ

10.

U1(t)
Метод узловых потенциалов
U2(t)
Из последнего выражения найдем φ1
ÅR1R 3
1
( R 2 R 3 R 1R 3 R 1R 2 )
Токи найдем по закону Ома для участка цепи
1 3 1
I3
R3
R3
2 1 E 1
I2
R2
R2
3 1
1
I1
R1
R1
Ток I в ветви с Э.Д.С. можно определить только по первому
закону Кирхгофа
I I 2 Ik 0
I I 2 Ik
Электрические цепи постоянного тока
Кафедра
ТОЭ НГТУ

11. Метод двух узлов

Узловые потенциалы
U2(t)
U1(t)
Метод двух узлов
1
I1
I2
R2
R1
Метод двух узлов - частный
случай узловых потенциалов
I3
R3
E2
E1
E3
2
Рис.2
Ik
U12
U12 E2
I2
U12g 2 E2g 2
R2
(1)
U12 E1
I1
U12g1 E1g1
R1
(2)
U12 E 3
I3
U12g 3 E 3 g 3
R3
(3)
Уравнение для узла 1 по первому закону Кирхгофа
I1 I 2 I 3 Ik 0
(4)
Электрические цепи постоянного тока
Кафедра
ТОЭ НГТУ

12.

U1(t)
Узловые потенциалы(метод двух узлов)
U2(t)
Подставив1,2,3 в 4 получим уравнение
U12g1 E1g1 U12g2 E2g2 U12g3 E3g3 Ik 0
E1 g 1 E 2 g 2 E 3 g 3 I k
U1 2
g1 g 2 g 3
n
(5)
U12
E g
k 1
n
k
g
k 1
k
k
Электрические цепи постоянного тока
Кафедра
ТОЭ НГТУ

13.

U1(t)
U2(t)
Узловые потенциалы(метод двух узлов)
Правило знаков в формуле (5)
В числителе формулы (5) все слагаемые ,имеющие направление в 1ый индекс у
напряжения записываются со знаком “плюс”.
Электрические цепи постоянного тока
Кафедра
ТОЭ НГТУ