Поверхности. (Лекция 5)

1.

Лекция 5
Поверхности

2.

Следует рассматривать поверхность как
совокупность последовательных положений
линии a, перемещающейся в пространстве по
определенному закону.
Закон перемещения линии а целесообразно
задать в виде семейства линий m, n.
Подвижная линия а называется образующей,
неподвижные линии m, n – направляющими.
m
a''
a'
n
a

3.

Каркас поверхности – множество линий,
определяющих поверхность.
Определителем поверхности называют
совокупность независимых условий,
однозначно задающих поверхность.
Очерком поверхности называют проекцию
проецирующей цилиндрической поверхности,
которая огибает заданную поверхность.
Линия касания
Поверхность
Очерк поверхности
П1

4.

Основой классификации поверхностей могут
служить их определители или геометрические
особенности, связанные с кинематическим
способом образования.
Важными признаками формообразования поверхностей являются:
• Вид образующей;
• Постоянство образующей;
• Закон перемещения образующей;
• Развёртываемость куска поверхности.

5. Классификация поверхностей

По виду образующей:
• Линейчатые
• Нелинейчатые
По постоянству образующей:
• С постоянной образующей
• С переменной образующей
По закону движения образующей:
• Кинематические поверхности
• Поверхности вращения
• Винтовые поверхности
По развёртываемости:
• Развёртываемые
• Не развёртываемые

6. Линейчатые развёртываемые поверхности

Цилиндрические поверхности
Ф(a, m, s) [a ∩ m, a II s],
m-кривая направляющая
s-направляющий вектор
Если m-окружность и m⊥a, то
поверхностью будет прямой круговой
цилиндр.
s
a
a
a'
a'
a''
m
a''
a'''
m
a''''

7.

Призматические поверхности
Ф(a, m, s) [a ∩ m, a II s]
m-ломаная линия
s-направляющий вектор
a
s
a'''
a'
a''
m

8.

Проецирующие поверхности
Все образующие перпендикулярны
плоскости проекций.
(S2)
S1
Ф П 1
Ф П 2

9.

Конические поверхности
На эпюре Монжа коническая поверхность
однозначно задается проекциями ее образующей a
(a1, a2),направляющей n (n1, n2) и вершины S (S1, S2)
Ф(a, m, S) [a∩m, S∈ a]
S2
S2
S
l2
А2
a
S1
l1
S1
m
А1

10.

Пирамидальные поверхности
Ф(a, m, S) [a∩m, S∈ a]
S
a'''
a
a'
m
a''

11. Поверхности вращения общего вида

Ф(а, i)
A2
Ось (i)
B2
A
F
B
C
A’
B’
D’
E
E’
Горло
K
Главный
меридиан (а)
D2
E2
Экватор (е)
Меридиан
Произвольная точка образующей при вращении
вокруг оси описывает окружность – параллель.
Наиб. – экватор,
наим. – горловина
– очерковые
линии
поверхности
K2
C2
Параллель
C’
D
i2
Радиус параллели –
расстояние от точки до оси.
C1 E1 B
1
D1
A1
F1
i1
Θ1
K1

12. Поверхности вращения общего вида

Ф(а, i)
A2
Ось (i)
B2
A
F
C
A’
B’
D’
E
E’
Горло
K2
C2
D2
Параллель
C’
D
i2
K
Главный
меридиан (а)
E2
Экватор (е)
Меридиан
Меридиональные плоскости – через ось
вращения. (Главная – параллельная плоскости
проекции)
Меридианы – линии пересечения м.
плоскостями поверхности. (Главный – главной м.
п. (очерк на П2))
C1 E1 B
1
D1
F1
A1
Θ1
K1

13.

П В, образованные вращением линии
a ││ i
Прямой
круговой
цилиндр
a
Гиперболоид
однополостной
i
Гиперболоид
двухполостной
a∩i=s
Прямой
круговой
конус
Параболоид вращения

14.

П В, образованные вращением линии
i2
Прямой круговой цилиндр
Ф(а, i)
a ││ i
а – прямая
i
K2≡(K’2)
(A2)
a2
K’
K’1
A1≡ a1
K
i1
x2 + y2 = r2
K1

15.

П В, образованные вращением линии
i2
Прямой круговой конус
Ф(а, i)
а – прямая
a∩i=s
S2
i
K2≡(K’2)
a2
K’1
K’
i1≡S2
K
a1
z2 = k2 (x2 + y2)
K1

16.

П В, образованные вращением
окружности
t=0
t˂R
Сфера
Тор закрытый
t>R
Тор открытый

17.

П В, образованные вращением
окружности
Сфера
Ф(а, i) а – окружность
i2
a3
i3
a2
t=0
i
K2≡(K’2)
a1
(K’1)
0
i1
(K1)
x2 + y2 + z2 = r2
(K’3)
(K3)

18.

П В, образованные вращением
окружности
Тор закрытый
Ф(а, i)
а – окружность
t<R
i
t
R
0
(x2 + y2 + z2 + a2 – b2)2 = 4 a2 (x2 + y2), a < b

19.

П В, образованные вращением
i
окружности
2
12
Тор открытый
Ф(а, i) а – окружность
(22)
K2
t>R
i
t
K’’’1
K’’1
R
0
11
21
i1
K’1
(x2 + y2 + z2 + a2 – b2)2 = 4 a2 (x2 + y2), a > b
K1

20.

Закономерные поверхности вращения
Эллипсоид вращения
Ф(а, i)
i
а – эллипс
i
сжатый
a2(x2 + y2) + b2z2 = a2b2
вытянутый
b2(x2 + y2) + b2z2 = a2b2

21.

Гиперболоид вращения
Ф(а, i)
а – гипербола
a
i
i
i
однополостной
b2z2 – a2(x2 + y2) = a2b2
двухполостной
b2(x2 + y2) – a2z2 = a2b2

22.

Параболоид вращения
Ф(а, i) а – парабола
i
x2 + y2 = 2pz