Неопределенный интеграл. Основные понятия и определения

1.

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Основные понятия и определения.
Степанова Наталия Вадимовна,
к.ф.-м. н., доцент кафедры математики ВоГУ

2.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Первый уровень - простейшие элементарные функции:
Степенные
Степенные ::
xr, r ;
5
1
1
3
x 2 ; x 3; 12 x 2 ; x x 2 ; 1 x 2 ; x 3; x 4 ; 3 x 5 x 3...
x
x
а x , a 0, x ;
x
2
x
x
x
2 ; 3 ; e exp x ; ; 10 x ; 0.5 x ; ....
3
loga x a 0, a 1 , x 0 ; ln x
Логарифмические:
Логарифмические:
Показательные:
Показательные:
Тригонометрические:
Тригонометрические:
sin x ; cos x ; tgx ; ctgx
Обратные
Обратные тригонометрические:
тригонометрические:
arcsin x ; arccos x ; arctgx ; arcctgx

3.

ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Второй уровень – элементарные функции, которые получаются из простейших
элементарных функций с помощью арифметических операций: сложения, вычитания,
умножения, деления, подстановки функции в функцию (сложные функции).
Многочлены:
Многочлены:
3x 2 2 x 4 ; x 3 27 ; x 4 25; x 3 2 x 2 4 x 3....
Дробно-рациональные:
Дробно-рациональные:
2 x 3 ;
x 2 3x 1
2
sin
x;
Сложные
Сложные функции:
функции:
2x ;
arctgx
3
1
....
2
x 2x 4
cos (3x 3 4 ) ; etgx ; ln( x 2 4) ; sin 2 x 5 ;
ln (3x 3 4 )
ex x
3x 1 ;
2 x
e tgx
;
;
2
cos x
3
x 2 ln x 2 4 ; sin ln 2 x 5

4.

ПОВТОРЕНИЕ.
1. ЗАДАЧА
ЗАДАЧА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ.
1.
Определение (значения производной функции в точке).
Определение (производной функции от данной функции).

5.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.
ФУНКЦИИ.
ДИФФЕРЕНЦИАЛ
Определение (дифференциал функции).
Дифференциалом
Дифференциалом функции
функции y f x называется
называется произведение
произведение
производной
производной этой
этой функции
функции на
на дифференциал
дифференциал независимой
независимой переменной
переменной х.
х.
dy x df x f ' x dx
d sin x sin x ' dx cos x dx
d ln x ln x ' dx 1 dx
x
'
d e x e x dx e x dx
d x 2 2 xdx
'
'
d x 27 x 27 dx 1 x 27 dx 1 dx
5
5
5
5
d arcsin x arcsin x ' dx
1
dx
2
1 x

6. ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ ОТ ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

ТАБЛИЦА
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
ПРОИЗВОДНЫХ ОТ
ОТ ПРОСТЕЙШИХ
ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
ФУНКЦИЙ
0
С
1)
r r x r 1
x
2)
2.1) x 1
2.2)
2.3)
x
7)
8)
1
2
1 1
2
x
x
x
3)
sin x cos x
4)
cos x sin x
5)
tg x
6)
1
2
cos x
1
сtg x
sin 2 x
9)
10)
11)
1
arcsin x
1 x2
1
1 x2
arccos x
1
arctg x
2
1 x
1
arcctg x
2
1 x
a x a x ln a
12)
e x e x
13)
loga x
14)
ln x
1
x ln a
1
x

7. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
ПРАВИЛА
Конец повторения

8.

2. ПЕРВООБРАЗНАЯ
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ.
ФУНКЦИЯ. ЕЁ
ЕЁ СВОЙСТВА.
СВОЙСТВА.
2.
Дана функция y f x. , определена и непрерывна на a ; b . Считаем её
производной функцией некоторой другой функции F x , т.е. f x F ' x для
любого x a ; b .
Определение.
Замечание. Правильность вычисления первообразной функции проверяется
дифференцированием.
2
x 1 обе являются
x
F1 x
x и F2 x
2
2
первообразными для функции f x x 1.
2
2
2 x 1
x
1
Решение.
x
2x
F ' x
x 1
2
Пример 1. Доказать, что функции
F1' x x
1 x 1
2
2
2
2
2

9.

Два свойства
свойства первообразных
первообразных функций
функций
Два
для одной
одной и
и той
той же
же функции.
функции.
для

10.

3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
ИНТЕГРАЛ
3.
Чтобы
Чтобы найти
найти все
все первообразные
первообразные функции
функции F(x)
F(x) для
для функции
функции уу == f(x),
f(x),
нужно
нужно найти
найти какую-нибудь
какую-нибудь одну
одну первообразную
первообразную F(x)
F(x) ии прибавить
прибавить кк ней
ней
произвольную
произвольную константу
константу .. Полученное
Полученное бесконечное
бесконечное множество
множество
первообразных
первообразных функций
функций F(x)+C
F(x)+C ии называется
называется неопределенным
неопределенным
интегралом
интегралом от
от функции
функции уу == f(x).
f(x).
Символьное обозначение
f x d x

11.

f x d x F x C

12.

Нахождение конкретной первообразной
Задача: найти первообразную функцию F x для функции f x , удовлетворяющую
условию F(x0 )=y0 . Равенство F(x0 )=y0 называется начальными данными.
Интегральная
Интегральная кривая
кривая –– это
это график
график первообразной
первообразной функции
функции F(x).
F(x).
Задача: найти первообразную функцию F(x), интегральная кривая (график) которой
проходит через точку М0(x0 ; y0 ).

13.

Пример. Известно, что первообразная функция F x для функции f x 2 x
x 2
удовлетворяет условию F 1 1.5 . Найти значение этой первообразной в
точке
.

14.

15.

4. ТЕХНИКА
ТЕХНИКА ВЫЧИСЛЕНИЯ
ВЫЧИСЛЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ИНТЕГРАЛОВ
4.
0 dx C
«Какая функция имеет производную 0?»
1 r 1 x r dx 1
x r dx r 1 x r dx
r 1
r 1
r 1
r 1
x
x dx
C
r 1
r
1 x r 1 C
r
r
1
x
dx
r 1
r 1
«Какая функция имеет производную
y 1 ОДЗ : x ; 0 0 ;
x
y ln x ОДЗ : x 0 ;
y ln | x | ОДЗ : x ; 0 0 ;
1
?»
x
?

16. ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ОТ ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

ТАБЛИЦА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ
НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
ИНТЕГРАЛОВ ОТ
ОТ ПРОСТЕЙШИХ
ПРОСТЕЙШИХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
ФУНКЦИЙ
ТАБЛИЦА
1)
2)
0 d x C
x
r
x
dx
r 1
r 1
C , если r 1
2.1)
dx x C
9)
2.2)
dx
10)
dx 1 C
x
x2
2.3)
x
2
x
C
dx ln x C
3)
x
4) sin x dx cos x C
5) cos xdx sin x C
6)
dx
tg x C
cos2 x
dx
7)
8)
sin 2 x
11)
12)
13)
arcsin x C
dx
1 x2
arccos x C
dx
arcsin x C
2
a
a x
dx arctgx C
1 x 2 arcctgx C
2
dx
1 arctg x C
2
a x a
a
1
1
a x
a 2 x 2 dx 2a ln a x C
( высокий логарифм )
dx
2
x 2 k ln x x k C
2
( длинный
14)
ctg x C
15)
логарифм)
x
a
x
a dx ln a C
e x dx e x C

17.

Два свойства неопределенного интеграла
1. Постоянный сомножитель можно выносить за знак неопределенного
интеграла.
С f x dx C f x dx
2.
Неопределенный интеграл от суммы или разности функций
равен сумме или разности интегралов от этих функций.
f x g x dx f x dx
g x dx
К сожалению, нет единых правил интегрирования произведения и частного
функций. Также нет единого правила интегрирования сложной функции.
Интегрирование функций – это более сложная операция, чем дифференцирование.

18.

Пример 2. Найти неопределенный интеграл
Решение.
2 x sin x dx
2 x sin x dx 2 x dx sin x dx
x 2 cos x С1 C2
x 2 С1 cos x C2
x 2 cos x C
С1 C2 С
Сколько писать констант? Две или одну?
Одну!!!

19.

Куда девается dx ?
1. «Указатель переменной интегрирования»
Символы и d x рассматриваются
f x d x
как открывающая и закрывающая скобки.
Символ d x не считается сомножителем!
Знака умножения нет!!!
В данной трактовке символ d x определяет переменную интегрирования. Тип
подынтегральной функции, а значит и нужный табличный интеграл, определяется тем,
какие операции делаются в функции над переменной интегрирования .
Как только тип подынтегральной функции определен и выбран нужный табличный
интеграл, символ d x свое дело сделал и тихо удалился.

20.

Пример 3.
x
x
y
y
dx
dy
Пример 4.
y const y 1
y 1
x
r 1
C
x
r
y 1
x dx
C
r 1
x const x 0; x 1
x
a
a dx
C
ln a
x
y
x
C
ln x
sin x dx cos x C
2
sin x d sin x sin x t t dt t
2
sin x 2
C
C
2

21.

2. «ДИФФЕРЕНЦИАЛ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ В ДИФФЕРЕНЦИАЛЕ ФУНКЦИИ»
Символ d x рассматривается как дифференциал переменной
сомножителем (есть операция умножения).
х
и он является
f ' x dx df x
Пример 5.
sin x cos x dx sin x sin x dx sin x d sin x sin x t
2
sin x C
t
t dt C
2
2
2
Способ 2.
sin x cos x dx cos x sin x dx cos x cos x dx
2
cos x 2
t
cos x d cos x cos x t t dt
C
C
2
2